第1章函數(shù)極限與連續(xù)-展示頁
2024-08-10 13:22本頁面
【正文】 01010001000001000000從上表可以看出，當(dāng)無限趨于時(shí)，的值無限趨于.經(jīng)常應(yīng)用它的變量代換形式，即或. 求下列極限.（1）；（2）.解（1）（2） 無窮小的性質(zhì)與比較1. 無窮小的性質(zhì)由于無窮小是在某種趨向下，極限為零的函數(shù)，由極限的四則運(yùn)算容易得到以下結(jié)論.性質(zhì)1 有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小. 性質(zhì)2 有限個(gè)無窮小的乘積仍是無窮小.性質(zhì)3 有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小. 求.解 因?yàn)?，為時(shí)的無窮小量，所以 設(shè)，若，則稱是的高階無窮小，記作；若，則稱是的低階無窮??；若，則稱是的階無窮??；，稱與是同階無窮??；當(dāng)時(shí)，稱與是等價(jià)無窮小，記作； 比較下面的無窮小.（1）當(dāng)時(shí)，與；（2）當(dāng)時(shí)，與；（3）當(dāng)時(shí)，與；（4）當(dāng)時(shí)，是關(guān)于幾階無窮小.解（1），此時(shí)是的高階無窮?。唬?），此時(shí)與是同階無窮??；（3），此時(shí)與是等價(jià)無窮小；（4），此時(shí)是關(guān)于二階無窮小. 設(shè)均為無窮小，且，且存在，則.此定理表明，求兩個(gè)無窮小之比的極限時(shí)，分子及分母可用與之等價(jià)的無窮小來替換. 求下列極限.（1）；（2）.解（1）當(dāng)時(shí)，.所以.（2）當(dāng)時(shí)，所以常用的等價(jià)無窮小有：當(dāng)時(shí)，.小結(jié)與思考：本節(jié)講述了極限四則運(yùn)算法則，兩個(gè)重要極限及無窮小的性質(zhì)與比較．，求與的值.. 函數(shù)的連續(xù)性 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)．函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的概念也可以如下定義：設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，記為自變量在點(diǎn)處的改變量，則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)． 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義，若（或），則稱函數(shù)在點(diǎn)處左連續(xù)（或右連續(xù)）．若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處均連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)；若函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)處右連續(xù)，在右端點(diǎn)處左連續(xù)，即，則稱該函數(shù)在閉區(qū)間內(nèi)連續(xù). （連續(xù)的四則運(yùn)算法則） 若函數(shù)和在點(diǎn)處連續(xù)，則它們的和、差、積以及商點(diǎn)處連續(xù).（復(fù)合函數(shù)連續(xù)性） 設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)，且，如果在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)復(fù)合函數(shù)有定義，：. 求.解 求.解 初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.（有界定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在上有界.（最值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在上有最大值和最小值.（介值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，和分別是函數(shù)在上的最大值和最小值，則對于任一數(shù)：，在開區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得.（零點(diǎn)定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且與異號，則在內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使得. 證明方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根.證 設(shè)，顯然在上連續(xù).，至少存在一點(diǎn)，使得，即方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根. 設(shè)函數(shù)在的某個(gè)去心鄰域內(nèi)有定義，若函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，則點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn).若點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn)，則根據(jù)極限的定義，它至少滿足以下三個(gè)條件之一：(1) 在點(diǎn)處沒有定義；(2) 不存在；(3) . 設(shè)為的一個(gè)間斷點(diǎn)，如果當(dāng)時(shí)，的左右極限都存在，當(dāng)，稱為的可去間斷點(diǎn)；當(dāng)，. 求函數(shù)的間斷點(diǎn)，并判斷是何種類型的間斷點(diǎn).解 令，是函數(shù)的間斷點(diǎn).因?yàn)?，所以是第二類間斷點(diǎn).思考：》？第一章 函數(shù)與極限習(xí)題課一、主要內(nèi)容1. 函數(shù)2. 函數(shù)的極限3. 兩條極限存在準(zhǔn)則 兩個(gè)重要極限（1）夾逼準(zhǔn)則 （2）單調(diào)有界準(zhǔn)則 （1）單調(diào)上升有上界的數(shù)列，極限一定存在；（2）單調(diào)下降有下界的數(shù)列，極限一定存在。 函 數(shù) 函數(shù)及其性質(zhì)引例 汽車以60千米/小時(shí)的速度均速行駛，那么行駛里程與時(shí)間有什么
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