20xx屆新課標(biāo)數(shù)學(xué)考點(diǎn)預(yù)測(cè)(13)：圓錐曲線與方程-展示頁
2025-08-04 02:47本頁面
【正文】 3）圓錐曲線與方程一、考點(diǎn)介紹：第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)FF2的距離之和等于定值2a(2a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.第二定義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(0e1)的點(diǎn)的軌跡是橢圓,定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn),定直線叫做橢圓的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做橢圓的離心率.：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn),對(duì)稱軸軸，軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為焦點(diǎn)、焦距焦距為 離心率 (0e1)準(zhǔn)線方程：第一定義：平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)FF2的距離之差的絕對(duì)值等于定值2a(02a|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線,這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距.第二定義: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F與到定直線l的距離之比是常數(shù)e(e1)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線,定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn),定直線叫做雙曲線的準(zhǔn)線,常數(shù)叫做雙曲線的離心率.：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形頂點(diǎn)對(duì)稱軸軸，軸，實(shí)軸長(zhǎng)為，虛軸長(zhǎng)為焦點(diǎn)焦距焦距為 離心率 (e1)準(zhǔn)線方程: 平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線(點(diǎn)F不在上).定點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn), 定直線叫做拋物線的準(zhǔn)線.：標(biāo)準(zhǔn)方程圖形對(duì)稱軸軸軸軸軸焦點(diǎn)頂點(diǎn)原點(diǎn)準(zhǔn)線離心率1在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線（看作點(diǎn)的集合或適合某種條件的點(diǎn)的軌跡）上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：（1）曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；（2）以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線.11. 圓錐曲線綜合問題⑴直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和判定直線與圓錐曲線的位置關(guān)系有三種情況：相交、相切、相離.直線方程是二元一次方程,圓錐曲線方程是二元二次方程,由它們組成的方程組,經(jīng)過消元得到一個(gè)一元二次方程,直線和圓錐曲線相交、相切、相離的充分必要條件分別是、.⑵直線與圓錐曲線相交所得的弦長(zhǎng)直線具有斜率,直線與圓錐曲線的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,則它的弦長(zhǎng)上面的公式實(shí)質(zhì)上是由兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出來的,只是用了交點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)而不求的技巧而已(因?yàn)?，運(yùn)用韋達(dá)定理來進(jìn)行計(jì)算.當(dāng)直線斜率不存在是,則.注: ，一要重視定義，這是學(xué)好圓錐曲線最重要的思想方法，二要數(shù)形結(jié)合，既熟練掌握方程組理論，又關(guān)注圖形的幾何性質(zhì)，以簡(jiǎn)化運(yùn)算；，通常有兩種處理方法：一是韋達(dá)定理，二是點(diǎn)差法；:一是建立函數(shù)，用求值域的方法求范圍,二是建立不等式，通過解不等式求范圍.二、高考真題1. （2006年北京卷，文科，19）橢圓C:的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1,F2,點(diǎn)P在橢圓C上，且（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）若直線l過圓x2+y2+4x2y=0的圓心M，交橢圓C于兩點(diǎn)，且A、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，求直線l的方程.〖解析〗（Ⅰ）由橢圓的定義及勾股定理求出a,b,c的值即可，（Ⅱ）可以設(shè)出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)及直線方程，聯(lián)立直線方程和橢圓方程后利用一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系即可求出直線方程，也可以利用“點(diǎn)差法”求出直線的斜率，然后利用點(diǎn)斜式求出直線方程.〖答案〗解法一：(Ⅰ)因?yàn)辄c(diǎn)P在橢圓C上，所以，a=3.在Rt△PF1F2中，故橢圓的半焦距c=,從而b2=a2－c2=4,所以橢圓C的方程為＝1.(Ⅱ)設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）、（x2,y2）.已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）.從而可設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)+1,代入橢圓C的方程得（4+9k2）x2+(36k2+18k)x+36k2+36k－27=0.因?yàn)锳，B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱.所以解得，所以直線l的方程為即8x9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意)解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標(biāo)為（－2，1）. 設(shè)A，B的坐標(biāo)分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ②由①－②得 ③因?yàn)锳、B關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2,代入③得＝，即直線l的斜率為，所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗(yàn)，所求直線方程符合題意.)2．（2007年上海卷，文科，21）我們把由半橢圓 與半橢圓 合成的曲線稱作“果圓”，其中，． 如圖，設(shè)點(diǎn)，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．yO...Mx.（1）若是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，求該“果圓”的方程； （2）設(shè)是“果圓”的半橢圓
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