d9-6幾何中的應用-展示頁
2024-08-08 09:58本頁面
【正文】 ??因此下面僅以 n = 3 的情形為代表 目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量值函數的導數運算法則 : (P92) 設 vu, 是可導向量值函數 , )(t? 是可導的數量函數 , 則 OCt ?dd)1( )()]([)2( dd tuctuct ??)()()]()([)3( dd tvtutvtut ?????)()()()()]()([)4( dd tuttuttutt ???? ???)()()()()]()([)5( d d tvtutvtutvtut ???????)()()()()]()([)6( d d tvtutvtutvtut ???????C 是常向量 , c 是任一常數 , ? ? ? ?)()()()7( dd tuttut ??? ???目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量值函數導數的幾何意義 : 在 R3中 , 設 Dttfr ?? ),(的終端曲線為 ? , 切線的生成 點擊圖中任意點動畫開始或暫停 M?xzyOrΔ)( 0tf?trΔΔ )Δ(),( 00 ttfONtfOM ???N)()Δ(Δ 00 tfttfr ???)(ΔΔlim 00tftrtt???表示終端曲線在 t0處的 切向量 , 其指向與 t 的增長方 向一致 . )( 0tf?, 則 0)( 0 ?? tf設 r目錄 上頁 下頁 返回 結束 向量值函數導數的物理意義 : 設 )(tfr ? 表示質點沿光滑曲線運動的位置向量 , 則有 )()( tftv ??)(tva ?? )(tf ???).(lim,)( s i n)( c o s)(4πtfktjtittf t ???? 求例 1. 設 速度向量： 加速度向量： 解： ktjtittftttt 4π4π4π4π lim)s i nlim()c o slim()(lim ???? ???kji 4π2 22 2 ??? ))(( 4πf?目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 2. 設空間曲線 ? 的向量方程為 求曲線 ? 上 對應于 解 : )62,34,1()( 22 tttttfr ?????的點處的單位切向量 . 故所求單位切向量為 其方向與 t 的增長方向一致 另一與 t 的增長方向相反的單位切向量為 )31,32,32( ???= 6 目錄 上頁 下頁 返回 結束 例 3. 一人懸掛在滑翔機上 , 受快速上升氣流影響作螺 求 旋式上升 , 其位置向量為 (1) 滑翔機在任意時刻 t 的速度向量與加速度向量 。 (2) 滑翔機在任意時刻 t 的速率 。6??xy z )6,0,6( ??T目錄 上頁 下頁 返回 結束 06222??????zyxzyx法平面方程 0)1(6)2(0)1(6 ?????????? zyx即 0?? zx解法 2 方程組兩邊對 x 求導 , 得 1111ddzyxyxz ???11ddzyxy ?曲線在點 M(1,–2, 1) 處有 : 切向量 解得 11?? zx,zy xz ??? zy yx ???)1,0,1( ?? ??????? MM xzxyTdd,dd,1目錄 上頁 下頁 返回 結束 切線方程 即 法平面方程 0)1()1()2(0)1(1 ?????????? zyx即 0?? zx點 M (1,–2, 1) 處的 切向量 )1,0,1( ??T目錄 上頁 下頁 返回 結束 三、 曲面的切平面與法線 設 有 光滑曲面 通過其上定點 0tt ?設 對應點 M, 切線方程為 )()()(000000tzztyytxx??? ????????不全為 0 . 則 ? 在 且 點 M 的 切向量 為 任意 引一條光滑曲線 ?下面證明 : 此平面稱為 ? 在該點的 切平面 . ? 上過點 M 的任何曲線在該點的切線都 在同一平面上 . ))(,)(,)(( 000 tttT ??? ???? MT目錄 上頁 下頁 返回 結束 M?T證 : 在 ? 上 , 0))(,)(,)
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