第五章線性空間與線性變換-展示頁
2025-07-29 21:51本頁面
【正文】 +?)+?=?+(?+?)(加法結(jié)合律 )。 (4) ???V, ???V, 使 ?+(?)=0, 稱 ?為 ?的負(fù)元素 。 (6) (k+l)?=k?+l ? , ???V, k, l?K。 (8) 1?=? , ???V, 1?K。 2 基 維數(shù) 坐標(biāo) 齊次線性方程組 Ax=0的全體解的集合 U構(gòu)成解空間 ,我們知道 U中所有向量都可以有 Ax=0的基礎(chǔ)解系表示 . 這是線性空間的重要性質(zhì) . 一 . 基 維數(shù) 坐標(biāo) 定義 在線性空間 V中 , 如果有 n個向量 ?1, ?2,… ,?n線性無關(guān) , 而且 V中任意向量都可由它們線性表示 , 則稱 ?1, ?2,… ,?n為 V的一組基 , n稱為 V的維數(shù) , V稱為 n維線性空間 . 僅含零向量的線性空間維數(shù)是零 , 如果 V中有任意多個線性無關(guān)的向量 , 稱其為無限維線性空間 . 如 K[x]. 在線性代數(shù)中 , 只討論有限維線性空間 . 可見 , 如果將線性空間 V看成一向量組 , 所謂基就是 V的一個極大線性無關(guān)組 , 所謂維數(shù)就是 V的秩 . K[x]n是 n維線性空間 , 1, x, x2,… ,xn1 是它的一組基 . 例如 齊次線性方程組 Ax=0的基礎(chǔ)解系就是方程組解空間U的基 , 如果 n元方程組的系數(shù)矩陣的秩為 r, 則 U是 nr維線性空間 . Rm?n是 m?n維線性空間 , 如 R2?3的一組基為 : 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0,0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 向量組 ?1, ?2,… ?r的一個極大線性無關(guān)組 , 就是線性空間 L(?1, ?2,… ?r)的一組基 , 其維數(shù)就是向量組的秩 . 定理 設(shè) V是 n維線性空間 , 如果 V中向量組 ?1, ?2,… , ?m線性無關(guān) , 則在 V中必有 nm個向量 ?m+1, ?m+2,… ,?n, 使得 ?1, ?2,… , ?m, ?m+1, ?m+2,… ,?n是 V的一組基 . 定義 設(shè) ?1, ?2,… , ?n是線性空間 VK的一組基 , 如果 ??VK可以表示為 : 由定理可見 , 含有非零向量的線性空間一定存在基 . 基的重要性之一就是空間中每個向量都能由基線性表示 . ?=x1?1+x2?2+… +xn?n 則稱 (x1, x2,… xn)T為向量 ?在基 ?1, ?2,… , ?n下的坐標(biāo) . 可見 , 坐標(biāo)是由向量及基的選取唯一確定的 . 例 1 試求線性空間 R3中向量 ?=(1, 2, 3)T在基 : ?=x1?1+x2?2+x3?3 解 設(shè)所求坐標(biāo)為 (x1, x2, xn)T, 則 即 解之得 , x1=2, x2=1/2, x3=1/2. 所以 , 向量 ?在基 ?1, ?2, ?3下的坐標(biāo)是 (2, 1/2, 1/2)T. ?1=(1, 1, 1)T, ?2=(1, 1, 1)T, ?3=(1, 1, 1)T 下的坐標(biāo) . 1 2 31 2 31 2 3123x x xx x xx x x? ? ???? ? ??? ? ? ??也可以寫成 : ? ? 11 2 3 2122,? ? ? ??????? ???????一般地 , 向量 ?在基 ?1, ?2,… , ?n下的坐標(biāo)為 (x1, x2,… xn)T,也可表示為 : ? ?1212, , .. .,nnxxx? ? ? ??????????????二 . 基變換與坐標(biāo)變換 線性空間如果有基 , 顯然基不唯一 . 那么一個向量在不同基下就有不同的坐標(biāo) , 下面就來討論它們之間的關(guān)系 . 設(shè) ?1, ?2,… ,?n和 ?1, ?2,… , ?n是線性空間 VK的兩組基 , 則 , 這兩個向量組等價 . 如果 則合起來就有 : ? ?12, 1 , 2 , .. .,kknkccc kn??????????????k 1 2 nβ α , α , .. ., α簡記為 定義 矩陣 C稱為由基 ?1, ?2,… ,?n到基 ?1, ?2,… , ?n的過渡矩陣 . 過渡矩陣是可逆的 . ? ? ? ?1 1 1 2 12 1 2 2 212nnn n n nc c cc c cc c c????????1 2 n 1 2 nβ , β , .. ., β = α , α , .. ., α? ? ? ?1 2 n 1 2 nβ , β , . . . , β = α , α , . . . , α C 定理 設(shè) ?1, ?2,… , ?n和 ?1, ?2,… , ?n是線性空間 VK的兩組基 . 如果向量 ?在這兩組基下的坐標(biāo)分別為 x=(x1, x2,… , xn)T, y=(y1, y2,… , yn)T, 則 x=Cy. 其中 C是過渡矩陣 . 證明 由于 由于向量在一組基下的坐標(biāo)是唯一的 , 所以 x=Cy. ? ?12nyyy?????????????1 2 nξ β , β , ..., β 如例 1中 , ?=(1, 2, 3)T在基 ?1=(1, 0, 0)T, ?2=(0, 1, 0)T, ?3=(0,0,1)T下的坐標(biāo)顯然為 (1,2,3)T, ? ?12nyyy
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