傅里葉級數(shù)及其應(yīng)用論文-展示頁
2025-07-05 16:09本頁面
【正文】 等方面有重要應(yīng)用，為我們的生活無私的奉獻(xiàn)著． 一元函數(shù)中值定理及其幾何意義 從“幾何”的角度來看待傅里葉級數(shù)，當(dāng)我們把一個周期函數(shù)表達(dá)成傅里葉級數(shù)時，其實(shí)我們只是在做一個動作，那就是把函數(shù)“投影”到一系列由三角函數(shù)構(gòu)成的坐標(biāo)軸上．考慮一個簡單的二維平面的例子. 如下圖所示，給定兩個向量和，從的末端出發(fā)作到所在直線的垂線，得到一個跟同向的新向量．這個過程就稱作到所在直線的投影，得到的新向量就是沿方向的分量。知道這個向量是“正交”于的，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)就是．馬上就可以得到 c 的表達(dá)式如下： 如下圖所示，現(xiàn)在引進(jìn)一組正交基 ，那么可以展開成以下形式 從圖上來看，式其實(shí)說的是可以把“投影”到 和這兩個坐標(biāo)軸上，和就是的新“坐標(biāo)”. 問題是：怎么求和呢？利用之前關(guān)于投影的討論，可以直接得出答案，直接利用式就可以得到如下的表達(dá)式： ； 其中系數(shù)表達(dá)式如下：；從幾何角度來看，可以用下面這組由無限多個三角函數(shù)（包括常數(shù)）組成的“正交基”來展開，從幾何投影的觀點(diǎn)來看待傅里葉級數(shù)，理解變得更加容易，因?yàn)槿菀桌斫馔队暗母拍?；同事，傅里葉級數(shù)所有的公式都可以輕松的記住，想忘記都難了. 還可以嘗試著用不同的角度去看待同一個問題，這樣做會發(fā)現(xiàn)更多的簡便方法和問題. 傅里葉級數(shù)的斂散性問題定義１ 若函數(shù)在區(qū)間除有限個第一類剪短點(diǎn)外皆連續(xù)，則稱函數(shù)在逐段連續(xù)． 若函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)都逐段連續(xù)， 則稱函數(shù)在逐段光滑．顯然，逐段光滑的函數(shù)是可積的． 相關(guān)定理定理１ 若是元函數(shù)在凸區(qū)域上以為周期的在逐段光滑的函數(shù)，則函數(shù)的傅里葉級數(shù)在收斂，其和函數(shù)式，即，有． ，使得．特別地，當(dāng)時，變?yōu)椋驗(yàn)?，所以，．即，．這就是一元函數(shù)的羅爾定理的公式．元函數(shù)羅爾定理的幾何意義：在維空間里，閉區(qū)域上有連續(xù)超曲面，超曲面上每一點(diǎn)都存在超切平面，且在超曲面的底面與面平行，則超曲面上至少有一點(diǎn)，使得過該點(diǎn)的超切平面平行于面．定理2（元函數(shù)拉格朗日定理） 設(shè)元函數(shù)在凸區(qū)域上連續(xù)，在的所有內(nèi)點(diǎn)都可微，對內(nèi)任意兩點(diǎn)，使得． (21)證明 令，．它是定義在上的一元函數(shù)，由定理中的條件知在上連續(xù)，在內(nèi)可微，于是根據(jù)一元函數(shù)微分中值定理，使得．由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ?。? ，．而=．所以，?。貏e地，當(dāng)，則由(21)式有，．這就是一元函數(shù)的拉格朗日中值公式．元函數(shù)拉格朗日定理的幾何意義：在維空間里，閉區(qū)域上有連續(xù)超曲面，超曲面上每一點(diǎn)都存在超切平面，超曲面被超平面所切得面，則超曲面上至少有一點(diǎn)，使得過該點(diǎn)的超切曲面平行于面．定理3（元函數(shù)柯西中值定理） 設(shè)元函數(shù)和在凸開域上連續(xù)，在內(nèi)關(guān)于各個變元具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，對內(nèi)任意兩點(diǎn)，則有 ，．證明 首先證明，用反證法．假設(shè)．即．根據(jù)元函數(shù)的羅爾定理，使得，與已知條件矛盾．其次作輔助函數(shù)，其中．由定理中的條件知在上連續(xù)，在內(nèi)可微，且， ，根據(jù)一元函數(shù)的羅爾定理，存在使得．由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ?。郑?，．函數(shù)在一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)表示的是曲線在這點(diǎn)的切線，一元函數(shù)微分中值定理表示的是過一點(diǎn)的切線與割線的位置關(guān)系．那么當(dāng)函數(shù)變?yōu)樵瘮?shù)時，中值定理又對應(yīng)著怎樣的幾何意義呢？通過對一元函數(shù)泰勒中值定理與二元函數(shù)泰勒中值定理的探討，不難有這樣的問題：在元函數(shù)與高階導(dǎo)數(shù)有怎樣的關(guān)系，泰勒中值定理又會變成怎樣的形式呢？定理4（元函數(shù)的泰勒中值定理） 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，使得 ， 其中．證明 考慮函數(shù)，．則，．由于函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)，并且具有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，從而復(fù)合函數(shù)在的鄰域內(nèi)對有連續(xù)的一階及二階導(dǎo)數(shù)．由一元函數(shù)的泰勒公式可以得到，． (22)因?yàn)?， ．所以，．把代?22)式后再令，便得到泰勒公式 ， 其中．如果設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)連續(xù)且具有階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則，使得 ，其中，這稱為拉格朗日余項(xiàng)．證明 作輔助函數(shù)，．則，．因?yàn)椤 。 。脭?shù)學(xué)歸納法可以得到，．由一元泰勒公式 ，． (23)將，代入(23)式得 ，其中，． 利用元函
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