正弦定理和余弦定理(教師版)-展示頁
2025-07-03 03:33本頁面
【正文】 余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以變形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.3． S△ABC＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)r(r是三角形內(nèi)切圓的半徑)，并可由此計(jì)算R、r.4． 在△ABC中，已知a、b和A時(shí)，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsin Absin Aaba≥bab解的個(gè)數(shù)一解兩解一解一解[難點(diǎn)正本 疑點(diǎn)清源]1．在三角形中，大角對大邊，大邊對大角；大角的正弦值也較大，正弦值較大的角也較大，即在△ABC中，AB?ab?sin Asin B；tanA+tanB+tanC=tanAtanC；在銳角三角形中，cosAsinB,cosAsinCa＝，則＝________.2． (2012重慶)設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cos A＝，cos B＝，b＝3，則c＝________.4． (2011AC＝，則AB＋2BC的最大值為________．5． 已知圓的半徑為4，a、b、c為該圓的內(nèi)接三角形的三邊，若abc＝16，則三角形的面積為( )A．2 B．8 C. D.題型一 利用正弦定理解三角形例1 在△ABC中，a＝，b＝，B＝45176。課標(biāo)全國)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊，acos C＋asin C－b－c＝0.(1)求A；(2)若a＝2，△ABC的面積為，求b，c.△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別是a，b，c.(1)若c＝2，C＝，且△ABC的面積為，求a，b的值；(2)若sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，試判斷△ABC的形狀． 解 (1)∵c＝2，C＝，∴由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得a2＋b2－ab＝4.又∵△ABC的面積為，∴absin C＝，ab＝4.聯(lián)立方程組解得a＝2，b＝2.(2)由sin C＋sin(B－A)＝sin 2A，得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝2sin Acos A，即2sin Bcos A＝2sin Acos A，∴cos A浙江)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b， A＋sin C＝psin B (p∈R)，且ac＝b2.(1)當(dāng)p＝，b＝1時(shí)，求a，c的值；(2)若角B為銳角，求p的取值范圍．解 (1)由題設(shè)并由正弦定理，得 解得或(2)由余弦定理，b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B＝p2b2－b2－b2cos B，即p2＝＋cos B.因?yàn)?cos B1，所以p2∈，由題設(shè)知p0，所以p.3.(2012sin(A＋B)，試判斷△ABC的形狀． A級 課時(shí)對點(diǎn)練(時(shí)間：40分鐘 滿分：60分)一、選擇題(本題共5小題，每小題5分，共25分)1．在△ABC中，A＝60176。a＝10，則c＝ ( ) A．5 B．10 C. D．5 解析：由正弦定理得： ＝， ∴c＝＝. 答案：C
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