【正文】 青島啤酒股票的認(rèn)購(gòu)券共出售287347740張，其中有180000張認(rèn)購(gòu)券會(huì)中簽，(見(jiàn)1993年7月30日上海證券報(bào))。足球裁判就是用拋硬幣的方法讓雙方隊(duì)長(zhǎng)選擇場(chǎng)地，以示機(jī)會(huì)均等。而在生活、生產(chǎn)和經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中，人們很關(guān)心一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小?！　　　?四)概率——事件發(fā)生可能性大小的度量　　隨機(jī)事件的發(fā)生與否是帶有偶然性的?！　∈录牟⒑徒豢赏茝V到更多個(gè)事件上去()。　　(3)事件A與B的交，由事件A與B中公共的樣本點(diǎn)組成的新事件稱(chēng)為事件A與B的交，記為A∩B或AB?！　　　?2)事件A與B的并，由事件A與B中所有樣本點(diǎn)(相同的只計(jì)入一次)組成的新事件稱(chēng)為A與B的并，記為AUB。對(duì)立事件是相互的，A的對(duì)立事件是，的對(duì)立事件必是A?！　?1)對(duì)立事件，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中，Ω是樣本空間，A為事件，由在Ω中而不在A中的樣本點(diǎn)組成的事件稱(chēng)為A的對(duì)立事件，記為。如在擲兩顆骰子的隨機(jī)現(xiàn)象中，其樣本點(diǎn)記為(x，y，其中x與y分別為第一與第二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，定義如下兩個(gè)事件:　　A={(x，y):x+y=奇數(shù)}　　B={(x，Y):x與y的奇偶性不同}可以驗(yàn)證A=B?！　蓚€(gè)事件間的互不相容性可推廣到三個(gè)或更多個(gè)事件間的互不相容，例如在檢查三個(gè)產(chǎn)品的例子()中，C1=“恰有一件不合格品”，C2=“恰有兩件不合格品”，C3=“全是不合格品”，C0=“沒(méi)有不合格品”是四個(gè)互不相容事件?！　?2)互不相容:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A與B沒(méi)有相同的樣本點(diǎn)，則稱(chēng)事件A與B互不相容。如擲一顆骰子，事件A=“出現(xiàn)4點(diǎn)”必導(dǎo)致事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”的發(fā)生，故AB?！　=“至少有一件合格品”={Ω中剔去(1，1，1)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　B=“至少有一件不合格品”={Ω中剔去(0，0，0)的其余7個(gè)樣本點(diǎn)}；　　C1=“恰有一件不合格品”={(0，0，1)，(0，1，0)，(1，0，0)}；　　C2=“恰有兩件不合格品”={(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}；　　C3=“全是不合格品”={(1，1，1)}；　　C0=“沒(méi)有一件是不合格品”={(0，0，0)}；　　　　實(shí)際中，在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中常會(huì)遇到許多事件，它們之間有下列三種關(guān)系?！　‖F(xiàn)在我們轉(zhuǎn)入考察“檢查三件產(chǎn)品”這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象，它的樣本空間Ω含有23=8個(gè)樣本點(diǎn)。下面幾個(gè)事件可用集合表示，也可用語(yǔ)言表示。則檢查兩件產(chǎn)品的樣本空間Ω由下列四個(gè)樣本點(diǎn)組成。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)7點(diǎn)”就是一個(gè)不可能事件。如擲一顆骰子，“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)不超過(guò)6”就是一個(gè)必然事件?！　?3)事件A的表示可用集合，也可用語(yǔ)言，但所用語(yǔ)言應(yīng)是明確無(wú)誤的。在概率論中常用一個(gè)長(zhǎng)方形示意樣本空間Ω，用其中一個(gè)圓(或其他幾何圖形)示意事件A，這類(lèi)圖形稱(chēng)為維恩(Venn)圖。　　(二)隨機(jī)事件　　隨機(jī)現(xiàn)象的某些樣本點(diǎn)組成的集合稱(chēng)為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱(chēng)事件，常用大寫(xiě)字母A、B、C等表示，如在擲一顆骰子時(shí)，“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)事件，它由1點(diǎn)、3點(diǎn)、5點(diǎn)共三個(gè)樣本點(diǎn)組成，若記這個(gè)事件為A，則有A={1，3，5}。這里的基本結(jié)果是指今后的抽樣單元，故又稱(chēng)樣本點(diǎn)，隨機(jī)現(xiàn)象一切可能樣本點(diǎn)的全體稱(chēng)為這個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間，常記為Ω?！　‰S機(jī)現(xiàn)象在質(zhì)量管理中到處可見(jiàn)。又如擲一顆骰子，可能出現(xiàn)1點(diǎn)到6點(diǎn)中某一個(gè)，至于哪一點(diǎn)出現(xiàn)，事先也并不知道。　　拋硬幣、擲骰子是兩個(gè)最簡(jiǎn)單的隨機(jī)現(xiàn)象?！　∫?、事件與概率　　(一)隨機(jī)現(xiàn)象　　在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象稱(chēng)為隨機(jī)現(xiàn)象。在實(shí)際使用中還可以利用計(jì)算器來(lái)計(jì)算，特別是許多科學(xué)計(jì)算用的計(jì)算器，都具有平均數(shù)、方差與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算功能?！　　　　　橛?jì)算方便，可以將數(shù)據(jù)減去一個(gè)適當(dāng)?shù)某?shù)，這樣不影響樣本方差及標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算結(jié)果?！　颖痉讲钫乃阈g(shù)平方根稱(chēng)為樣本標(biāo)準(zhǔn)差，即:　　　　注意標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與數(shù)據(jù)的量綱一致。當(dāng)然可以先將其取絕對(duì)值，再進(jìn)行平均，這就是平均絕對(duì)差:　　　　但是由于對(duì)絕對(duì)值的微分性質(zhì)較差，理論研究較為困難，因此平均絕對(duì)差使用并不廣泛。　　(二)樣本方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　數(shù)據(jù)的分散程度可以用每個(gè)數(shù)據(jù)xi離其均值的差xi來(lái)表示，xi稱(chēng)為xi的離差。對(duì)于有序樣本，極差R為:　　R=x(n)x(1)()　　，5個(gè)軸直徑數(shù)據(jù)的極差R==。也有一些用來(lái)表示數(shù)據(jù)內(nèi)部差異或分散程度的量，其中常用的有樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差和樣本變異系數(shù)。注意到該數(shù)與前面定的344相差不大。樣本眾數(shù)的主要缺點(diǎn)是受數(shù)據(jù)的隨機(jī)性影響比較大，而且對(duì)大的n，也很難確定，有時(shí)也不惟一，此時(shí)較多地采用分組數(shù)據(jù)?！　?三)樣本眾數(shù)　　樣本眾數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中出現(xiàn)頻率最高的值，常記為Mod。　　與均值相比，中位數(shù)不受極端值的影響?！　颖局形粩?shù)定義為有序樣本中位置居于中間的數(shù)值，具體地說(shuō):　　　　〔]，得到如下有序樣本:　　， 這里n=5為奇數(shù)，(n+1)/2=3，因而樣本中位數(shù)Me=x(3)=?！　?二)樣本中位數(shù)　　樣本中位數(shù)是表示數(shù)據(jù)集中位置的另一種重要的度量，用符號(hào)Me或表示?！　?一)樣本均值　　樣本均值也稱(chēng)樣本平均數(shù)，記為，它是樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn的算術(shù)平均數(shù):　　　　[]軸直徑的一個(gè)n=5的樣本觀測(cè)值(單位:cm)為:，則樣本均值為:　　=++++)= 對(duì)于n較大的分組數(shù)據(jù)，可利用將每組的組中組x＇i用頻率fi加權(quán)計(jì)算近似的樣本均值:　　〔]，100個(gè)罐頭的凈量的均值按分組計(jì)算為:　　=333+…+357 =34508/100=　　樣本均值是使用最為廣泛的反映數(shù)據(jù)集中位置的度量?！　∪?shù)據(jù)集中位置的度量　　對(duì)一組樣本數(shù)據(jù)，可以用一些量表示它們的集中位置?！　】梢詮闹狈綀D獲得數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，其中包含數(shù)據(jù)取值的范圍，以及它們的集中位置和分散程度等信息。以累積頻率直方圖為例，首先要計(jì)算累積頻率Fi，F(xiàn)i是將這一組的頻率與前面所有組的頻率累加，也即第1組的F1=f1，第2組的F2=f1+f2，一般的，F(xiàn)i=fj。此時(shí)以每個(gè)矩形的面積表示頻率。這是因?yàn)榉纸M是等距的?！　　　?5)作頻數(shù)頻率直方圖　　在橫軸上標(biāo)上每個(gè)組的組限，以每一組的區(qū)間為底，以頻數(shù)(頻率)為高畫(huà)一個(gè)矩形，所得的圖形稱(chēng)為頻數(shù)(頻率)直方圖。在等距分組時(shí)，a1=a0+h，a2=a1+h，…，ak=ak1+h，而每一組的組中值　　　　在本例中取a0=。　　(3)確定組限，即每個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)及組中值。對(duì)于完全相等的組距，通常取組距h為接近R/k的某個(gè)整數(shù)值。組距可以相等，也可以不相等?！　　　∵x擇k的原則是要能顯示出數(shù)據(jù)中所隱藏的規(guī)律，組數(shù)不能過(guò)多，但也不能太少。　　(2)根據(jù)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)，即樣本量n，決定分組數(shù)k及組距h。　　〔]食品廠用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱(chēng)量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下:　　　　為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)作如下整理:　　(1)找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值xmin，計(jì)算它們的差R=xmaxxmin，R稱(chēng)為極值，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍。直方圖是為研究數(shù)據(jù)變化規(guī)律而對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行加工整理的一種基本方法。為此，從這批產(chǎn)品(總體)中抽取一個(gè)樣本(設(shè)樣本量為n)，對(duì)每個(gè)樣本產(chǎn)品進(jìn)行該特性的測(cè)量(觀測(cè))后得到一組樣本觀測(cè)值，記為x1，x2，…，xn，這便是我們通常說(shuō)的數(shù)據(jù)。為使抽取的樣本對(duì)總體有代表性，樣本不能是有選擇的，最好應(yīng)是隨機(jī)抽取的，關(guān)于這一點(diǎn)，以后我們還要詳細(xì)解釋。　　[]從一個(gè)工廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)的一批燈泡中抽取n=8個(gè)燈泡，進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到這8個(gè)燈泡的使用壽命為(單位為小時(shí)):　　325，84，1244，870，645，1423，1071，992　　這8個(gè)燈泡或相應(yīng)的使用壽命即為一個(gè)樣本，樣本量n=8?！　∩鲜隹傮w、個(gè)體和樣本的概念是統(tǒng)計(jì)的基本概念，從上面的敘述中，這些概念都可以是具體的產(chǎn)品。抽出來(lái)的這一部分個(gè)體組成一個(gè)樣本，樣本中所包含的個(gè)體數(shù)目稱(chēng)為樣本量。但是如果總體中的個(gè)體數(shù)N很大，甚至是無(wú)限的，或者觀測(cè)是破壞性的或觀測(cè)的費(fèi)用很大，那么不可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)。在上例中，這批燈泡中的每個(gè)特定的燈泡都是一個(gè)個(gè)體。例如某個(gè)工廠在一個(gè)月內(nèi)按照一定材料及一定工藝生產(chǎn)的一批燈泡?！　≡谫|(zhì)量管理中，通常研究一個(gè)過(guò)程中生產(chǎn)的全體產(chǎn)品。這里的特性可以是定量的，也可以是定性的。第一節(jié)質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律第一章概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)知識(shí)　　一、總體、個(gè)體與樣本　　產(chǎn)品的質(zhì)量可以用一個(gè)或多個(gè)質(zhì)量特性來(lái)表示。例如燈泡的壽命，鋼的成分等都是定量特性；而按規(guī)范判定產(chǎn)品為“合格”或“不合格”，則是一種定性特征。在統(tǒng)計(jì)中，將研究、考察對(duì)象的全體稱(chēng)為總體?？傮w是由個(gè)體組成的。如果總體中包含的個(gè)體數(shù)不大，而對(duì)產(chǎn)品質(zhì)量特性的觀測(cè)(例如測(cè)量)手段不是破壞性的，工作量也不大，那么有可能對(duì)總體中的每個(gè)個(gè)體都進(jìn)行觀測(cè)，以得到每個(gè)個(gè)體的質(zhì)量特性值。通常的做法是從總體中抽取一個(gè)或多個(gè)個(gè)體來(lái)進(jìn)行觀測(cè)。通過(guò)對(duì)樣本的觀測(cè)來(lái)對(duì)總體特性進(jìn)行研究，是統(tǒng)計(jì)的核心。但有時(shí)為了表達(dá)的方便，當(dāng)研究產(chǎn)品某個(gè)特定的質(zhì)量特性X時(shí)，也常把全體產(chǎn)品的特性看做為總體，而把一個(gè)具體產(chǎn)品的特性值x視為個(gè)體，把從總體中抽出的由n個(gè)產(chǎn)品的特性值x1，x2，…，xn看做為一個(gè)樣本?！　目傮w中抽取樣本的方法稱(chēng)為抽樣。　　二、頻數(shù)(頻率)直方圖及累積頻數(shù)(頻率)直方圖　　為研究一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，需要研究它的某個(gè)質(zhì)量特性(這里為了敘述簡(jiǎn)單起見(jiàn)，僅討論一個(gè)質(zhì)量特性，有必要時(shí)也可以同時(shí)討論多個(gè)質(zhì)量特性)X的變化規(guī)律。　　為了研究數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，需要對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行一定的加工整理。下面用一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明直方圖的概念及其作法。在本例中xmax=356，xmin=332，從而R=356332=24。　　一批數(shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過(guò)這也不是絕對(duì)的。　　每一組的區(qū)間長(zhǎng)度，稱(chēng)為組距。組距相等的情況用得比較多，不過(guò)也有不少情形在對(duì)應(yīng)于數(shù)據(jù)最大及最小的一個(gè)或兩個(gè)組，使用與其他組不相等的組距。　　在本例中，=100，取k=9，R/k=24/9=，故取組距h=3。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開(kāi)右閉的:　　(a0，a1]，(a1，a2]，…，(ak1，ak]通常要求a0xmin，akxmax。　　(4)計(jì)算落在每組的數(shù)據(jù)的頻數(shù)及頻率　　確定分組后，統(tǒng)計(jì)每組的頻數(shù)，即落在組中的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)ni以及頻率fi=ni/n，列出每組的頻數(shù)、頻率表。到在本例中頻數(shù)直方圖及頻率直方圖的形狀是完全一致的?！　≡诜纸M不完全等距的情形，在作頻率直方圖時(shí)，應(yīng)當(dāng)用每個(gè)組的頻率與組距的比值fi/hi為高作矩形?！　?6)累積頻數(shù)和累積頻率直方圖　　還有另一種直方圖使用的是累積頻數(shù)和累積頻率?！　∪绻悦拷M的累積頻率Fi為高作矩形，所得的直方圖稱(chēng)為累積頻率直方圖?！　　　　　?yīng)當(dāng)引起注意的是，如果我們觀測(cè)的數(shù)據(jù)量(即樣本量)n很大，而分組又很細(xì)，那么從頻率直方圖及累積頻率直方圖可以分別得到一根光滑曲線，關(guān)于這一點(diǎn)我們將在本章第三節(jié)詳細(xì)討論。這些量中，常用的有樣本均值、樣本中位數(shù)和樣本眾數(shù)。它的計(jì)算比較簡(jiǎn)單，但缺點(diǎn)是它受極端值的影響比較大。在確定樣本中位數(shù)時(shí)，需要將所有樣本數(shù)據(jù)按其數(shù)值大小從小到大重新排列成以下的有序樣本:　　x(1)，x(2)，…，x(n)其中x(1)=xmin，x(n)=xmax分別是數(shù)據(jù)的最小值與最大值?！　∽⒁猓诖死?。因此在某些場(chǎng)合，中位數(shù)比均值更能代表一組數(shù)據(jù)的中心位置。100個(gè)數(shù)據(jù)中，344出現(xiàn)的次數(shù)最多，為12次，因此Mod=344。在本例中第5組(，]，是所有組中最高的，因而該組的組中值345可以作為眾數(shù)的估計(jì)?！　∷摹?shù)據(jù)分散程度的度量　　一組數(shù)據(jù)總是有差別的，對(duì)一組質(zhì)量特性數(shù)據(jù)，大小的差異反映質(zhì)量的波動(dòng)?！　?一)樣本極差　　樣本極差即是樣本數(shù)據(jù)中最大值與最小值之差，用R表示?！　颖緲O差只利用了數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值，因此它對(duì)數(shù)據(jù)信息的利用不夠充分，極差常用于n不大的情況。對(duì)離差不能直接取平均，因?yàn)殡x差有正有負(fù)，取平均會(huì)正負(fù)相抵，無(wú)法反映分散的真實(shí)情況。使用最為廣泛的是用離差平方來(lái)代替離差的絕對(duì)值，因而數(shù)據(jù)的總波動(dòng)用離差平方和　　來(lái)表示，樣本方差定義為離差平方和除以n1，用s2表示:　　　　因?yàn)閚個(gè)離差的總和為0，所以對(duì)于n個(gè)獨(dú)立數(shù)據(jù)，獨(dú)立的離差個(gè)數(shù)只有n1個(gè)，稱(chēng)n1為離差(或離差平方和)的自由度，因此樣本方差是用n1而不是用n除離差平方和。　　在具體計(jì)算時(shí)，離差平方和也可用以下兩個(gè)簡(jiǎn)便的公式:　　　　因此樣本方差計(jì)算可用以下公式:　　　　，離差平方和、樣本方差及樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算可列表進(jìn)行。例如，在本例中，將每個(gè)數(shù)據(jù)減去15，即可大大減少計(jì)算量。(三)樣本變異系數(shù)　　樣本標(biāo)準(zhǔn)差與樣本均值之比稱(chēng)為樣本變異系數(shù)，有時(shí)也稱(chēng)之為相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差，記為cv:　　，樣本變異系數(shù)cv=。第二節(jié)概率基礎(chǔ)知識(shí)從這個(gè)定義中可看出，隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn):　　(1)隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果至少有兩個(gè)；　　(2)至于哪一個(gè)出現(xiàn)，人們事先并不知道。拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，至于哪一面出現(xiàn)，事先并不知道?！　　瞉隨機(jī)現(xiàn)象的例子:　　(1)一天內(nèi)進(jìn)入某超市的顧客數(shù)；　　(2)一顧客在超市中購(gòu)買(mǎi)的商品數(shù)；　　(3)一顧客在超市排隊(duì)等候付款的時(shí)間；　　(4)一顆麥穗上長(zhǎng)著的麥粒個(gè)數(shù)；　　(5)新產(chǎn)品在未來(lái)市場(chǎng)的占有率；　　(6)一臺(tái)電視機(jī)從開(kāi)始使用到發(fā)生第一次故障的時(shí)間；　　(7)加工機(jī)械軸的直徑尺寸；　　(8)一罐午餐肉的重量。　　認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象首要的是能羅列出它的一切可能發(fā)生的基本結(jié)果?！　　皰佉幻队矌拧钡臉颖究臻gΩ={正面，反面}；　　“擲一顆骰子”的樣本空間Ω={1，2，3，4，5，6}；　　“一顧