【正文】 與B中至少一個(gè)發(fā)生”?！　　　?4)事件A對(duì)B的差，由在事件A中而不在B中的樣本點(diǎn)組成的新事件稱(chēng)為A對(duì)B的差，記為AB。例如:　　(1)拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的可能性各為1/2。　　上述正面出現(xiàn)的機(jī)會(huì)、市場(chǎng)占有率、中簽率以及常見(jiàn)的廢品率、命中率等都是用來(lái)度量隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　二、概率的古典定義與統(tǒng)計(jì)定義　　確定一個(gè)事件的概率有幾種方法，這里介紹其中兩種最主要的方法，相應(yīng)于概率的兩種定義，即古典定義及統(tǒng)計(jì)定義?！　?2)定義事件B=“點(diǎn)數(shù)之和為5”={(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)}，它含有4個(gè)樣本點(diǎn)，故P(B)=4/36=1/9?，F(xiàn)概要介紹如下:　　排列與組合是兩類(lèi)計(jì)數(shù)公式，它們的獲得都基于如下兩條計(jì)數(shù)原理?！　±?，由甲城到乙城去旅游有三類(lèi)交通工具:汽車(chē)、火車(chē)和飛機(jī)，而汽車(chē)有5個(gè)班次，火車(chē)有3個(gè)班次，飛機(jī)有2個(gè)班次，那么從甲城到乙城共有5+3+2=10個(gè)班次供旅游選擇。按乘法原理，此種重復(fù)排列共有n＇個(gè)?！　?5)組合:從n個(gè)不同元素中任取r(r≤n)個(gè)元素并成一組(不考慮其間順序)稱(chēng)為一個(gè)組合，此種組合數(shù)為:規(guī)定0!=1，因而　　=1。其中“隨機(jī)抽取”必導(dǎo)致這　　個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的。要使取出的n個(gè)產(chǎn)品全是合格品，那必須從該批中NM個(gè)合格品中抽取，這有　　種取法。故事件A1的概率為:　　　　最后，要使事件Am發(fā)生，必須從M個(gè)不合格品中隨機(jī)抽取m個(gè)，而從NM個(gè)合格品中隨機(jī)抽取nm個(gè)?！　〖偃缃o定N=10，M=2和n=4，下面來(lái)計(jì)算諸事件Am的概率:　　　　而A3，A4等都是不可能事件。因此可不論其次序。由于每次都有N種可能，故在放回抽樣的問(wèn)題中共有Nn種等可能的樣本點(diǎn)。故事件B1的概率為:　　　　類(lèi)似地，事件Bm共含有　　個(gè)樣本點(diǎn)?！　∮谑侵TBm發(fā)生的概率為:　　P(B0)==　　P(B1)=4=　　　　P(B4)==　　可見(jiàn)，在放回抽樣中，B0和B1發(fā)生的可能性最大，而B(niǎo)4發(fā)生的可能性很小，B4在1000次中發(fā)生還不到二次。歷史上有不少人做過(guò)更多次重復(fù)試驗(yàn)?！　?2)在英語(yǔ)中某些字母出現(xiàn)的頻率遠(yuǎn)高于另外一些字母。　　　　　　　　三、概率的性質(zhì)及其運(yùn)算法則　　(一)概率的基本性質(zhì)及加法法則　　根據(jù)概率的上述定義，可以看出它具有以下基本性質(zhì):　　性質(zhì)1:概率是非負(fù)的，其數(shù)值介于0與1之間，即對(duì)任意事件A，有:　　0≤P(A)≤1　　特別，不可能事件的概率為0，必然事件的概率為1，即:　　P(φ)=0，P(Ω)=1　　性質(zhì)2:若是A的對(duì)立事件，則:　　P(A)+P()=1　　或　　P()=1P(A)　　性質(zhì)3:若AB，則:　　P(AB)=P(A)P(B)　　性質(zhì)4:事件A與B的并的概率為:　　P(A∪B)=P(A)+P(B)P(AB)　　這個(gè)性質(zhì)稱(chēng)為概率的加法法則。再由性質(zhì)1，立即可得:　　P(A3)=1P()=11/8=7/8=　　[]一批產(chǎn)品共100件，其中5件不合格品，現(xiàn)從中隨機(jī)抽出10件，其中最多有2件不合格品的概率是多少?　　解:設(shè)A表示事件“抽出10件中恰好有i件不合格品”，于是所求事件A=“最多有2件不合格品”可表示為:　　A=A0∪A1 U A2并且A0，A1，A2為三個(gè)互不相容事件，由性質(zhì)(5)P(A)=P(A0)+P(A1)+P(A2)?！　　瞉某足球隊(duì)在未來(lái)一周中有兩場(chǎng)比賽，在第一場(chǎng)比賽中獲勝概率為1/2，在第二場(chǎng)比賽中獲勝概率是1/3，如果在兩場(chǎng)比賽中都獲勝概率是1/6，那么該隊(duì)在這兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率是多少?　　解:設(shè)事件Ai=“第i場(chǎng)比賽獲勝”，i=1，2。條件概率的計(jì)算公式為:　　這表明:條件概率可用兩個(gè)特定的(無(wú)條件)概率之商來(lái)計(jì)算，在舉例說(shuō)明之前，先導(dǎo)出概率的乘法公式。即中18個(gè)樣本點(diǎn)可不予考慮，可能的情況是事件B中的7個(gè)樣本點(diǎn)之一?！　☆?lèi)似地，利用這個(gè)解釋?zhuān)傻肞(B|A)=5/15=1/3。　　這里談?wù)摰氖菫觚數(shù)膲勖?，假如我們能獲得彈藥的貯存壽命表，那么就可計(jì)算，存放10年的彈藥再放5年仍完好的概率是多少?假如有一個(gè)國(guó)家或地區(qū)的人的壽命表，就可算得30歲的人能活到60歲的概率是多少?保險(xiǎn)公司正是利用這個(gè)條件概率對(duì)30歲的投保人計(jì)算人身保險(xiǎn)費(fèi)率的。要求的概率為P(A1 A2 A3)，由于三個(gè)標(biāo)本相互獨(dú)立，所以:　　P(A1 A2A3)=P(A1)P(A2)P(A3)=()3= 這個(gè)概率是很小的。常用大寫(xiě)字母X，Y，Z等表示隨機(jī)變量，而它們的取值用相應(yīng)的小寫(xiě)字母x，y，z等表示。例如:　　(1)設(shè)X是一只鑄件上的瑕疵數(shù)，則X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，它可以取0，1，2，…等值。類(lèi)似地，一平方米玻璃上的氣泡數(shù)、一匹布上的疵點(diǎn)數(shù)、一臺(tái)車(chē)床在一天內(nèi)發(fā)生的故障數(shù)都是取非負(fù)整數(shù){0，1，2，3，…}的離散隨機(jī)變量?！癤=0”表示合格品，“X=　　1”表示不合格品。認(rèn)識(shí)一個(gè)隨機(jī)變量X的關(guān)鍵就是要知道它的分布，分布包含如下兩方面內(nèi)容:　　(1)X可能取哪些值，或在哪個(gè)區(qū)間上取值。滿(mǎn)足這兩個(gè)條件的分布稱(chēng)為離散分布，這一組pi也稱(chēng)為分布的概率函數(shù)。　　對(duì)同樣問(wèn)題，若用放回抽樣，則從10個(gè)產(chǎn)品(其中有2個(gè)不合格品)中隨機(jī)取出4個(gè)，其中不合格品數(shù)Y是另一個(gè)隨機(jī)變量，它可取0，1，2，3，4等五個(gè)值。在第一節(jié)中，已經(jīng)詳細(xì)介紹過(guò)根據(jù)一批樣本數(shù)據(jù)繪制頻率直方圖的方法。當(dāng)累積到很多x值時(shí)，就形成一定的圖形，為了使這個(gè)圖形得以穩(wěn)定，把縱軸改為單位長(zhǎng)度上的頻率，由于頻率的穩(wěn)定性，隨著被測(cè)質(zhì)量特性值x愈多，這個(gè)圖形愈穩(wěn)定，其外形顯現(xiàn)出一條光滑曲線。　　　　這里應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是:圖上的縱軸原是“單位長(zhǎng)度上的頻率”，由于頻率的穩(wěn)定性，可用概率代替頻率，從而縱軸就成為“單位長(zhǎng)度上的概率”，這是概率密度的概念，故最后形成的曲線稱(chēng)為概率密度曲線，它一定位于x軸上方(即p(x)≥0)，并且與x軸所夾面積恰好為1。　　:　　　　地區(qū)(a)。實(shí)際中不少產(chǎn)品發(fā)生失效(故障)的時(shí)間，或發(fā)生故障后需要維修的時(shí)間都服從指數(shù)分布，例如某廠生產(chǎn)的推土機(jī)發(fā)生故障后的維修時(shí)間T(單位:分)服從指數(shù)分布Exp(002)?！　∪㈦S機(jī)變量分布的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差　　隨機(jī)變量X的分布(概率函數(shù)或密度函數(shù))有幾個(gè)重要的特征數(shù)，用來(lái)表示分布的集中位置(中心位置)和散布大小?！　》讲钣脕?lái)表示分布的散布大小，用Var(X)表示，方差大意味著分布的散布較寬、較分散，方差小意味著分布的散布較窄、較集中。類(lèi)似地可以算得“擲兩顆骰子，6點(diǎn)出現(xiàn)個(gè)數(shù)X”的均值為1/3。　　〔]看圖識(shí)方差(與標(biāo)準(zhǔn)差)。若要方差小，則和式中每一項(xiàng)都要小。　　(從而標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下是逐漸減小的。X2)=Var(X1)+Var(X2)　　這個(gè)性質(zhì)也可推廣到三個(gè)或更多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量場(chǎng)合?！　?2)n次試驗(yàn)間相互獨(dú)立，即一次試驗(yàn)結(jié)果不對(duì)其他次試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生影響。現(xiàn)研究如下幾個(gè)問(wèn)題:　　(1)恰有1個(gè)不合格品的概率是多少?這里規(guī)定抽到不合格品為“成功”，則事件X=1的概率為:　　這表明。從此圖上可以看出分布的形態(tài)，哪些x上的概率大，哪些x上的概率小?！　　　?2)不超過(guò)1個(gè)不合格品的概率為:　　P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=　　這表明?！　?1)在一個(gè)月內(nèi)發(fā)生1起重大事故的概率為:　　類(lèi)似地也可計(jì)算X取其他值的概率，現(xiàn)羅列于如下分布列中:　　　　對(duì)泊松分布來(lái)說(shuō)，X可以取8，9，…等值?！　?3)泊松分布P()的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=Var(X)=，σ(X)==　　　　從一個(gè)有限總體中進(jìn)行不放回抽樣常會(huì)遇到超幾何分布?！　〗?按題意知，X服從超幾何分布h(n，N，M)，其中N=20，M=5，n=8，r=min(n，M)=5，所求的分布為:　　當(dāng)X=0時(shí)，可算得:　　X=1時(shí)，可算得:　　類(lèi)似可算得X=2，3，4，5的概率?！　　　≌龖B(tài)分布的概率密度函數(shù)有如下形式:　　它的圖形是對(duì)稱(chēng)的鐘形曲線，常稱(chēng)為正態(tài)曲線?！　」潭?biāo)準(zhǔn)差σ時(shí)，不同的均值，如μ1μ2，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的形狀完全相同，僅位置不同，(a)?！　?shí)際中很少有一個(gè)質(zhì)量特性(隨機(jī)變量)的均值恰好為0，方差與標(biāo)準(zhǔn)差恰好為1。根據(jù)u的值可在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表(附表11)上查得，例如事件“U≤”的概率可從附表12上查得　　P(U≤)=Φ()=　　，()。　　(4)P(a≤U≤b)=Φ(b)Φ(a)()。　　(2)(0，1)，也稱(chēng)為90%分位數(shù)或90百分位數(shù)?！　?，即50%分位數(shù)，也稱(chēng)為中位數(shù)，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)場(chǎng)合，=0?！　　　‖F(xiàn)在轉(zhuǎn)入正態(tài)分布的計(jì)算。譬如:　　若X～N(10，22)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　若Y～N(2，)，通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)化變換　　　　?！　　　「鶕?jù)性質(zhì)2中(3)，讓區(qū)間端點(diǎn)隨著標(biāo)準(zhǔn)化變換而變化，最后可得:　　　　從這個(gè)例子可以看到標(biāo)準(zhǔn)化變換在正態(tài)分布計(jì)算中的作用，數(shù)不清的各種正態(tài)分布計(jì)算都可通過(guò)一張標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表來(lái)實(shí)現(xiàn)，關(guān)鍵在于標(biāo)準(zhǔn)化變換。)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，其函數(shù)值可從附表12中查得?，F(xiàn)從現(xiàn)場(chǎng)得知該廠電阻器的阻值X服從正態(tài)分布，其均值μ=，標(biāo)準(zhǔn)差σ=?！　?3)某金屬材料的抗拉強(qiáng)度(單位:kg/cm2)服從正態(tài)分布N(38，)。kσ，其中k為某個(gè)實(shí)數(shù)，則有:　　合格品率=P(|Xμ|≤kσ)=2Φ(k)1；　　不合格品率=P(|Xμ|kσ)=2〔1Φ(k)]；　　對(duì)k=1，2，3，4，5，6，可通過(guò)查附表12算得上述各種概率，其中不合格品率用ppm(106)單位表示，特別過(guò)小的不合格品率更是如此。　　　　　　例如，一個(gè)隨機(jī)變量X服從均勻分布U(10，15)((a))，則X在小區(qū)間(11，12)與小區(qū)間(，)上的面積相等，即:　　P(11X12)=P(X)=10.=(a，b)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　(a)上所示的均勻分布U(10，15)，它的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　　　　　對(duì)數(shù)正態(tài)分布可用來(lái)描述很多隨機(jī)變量的分布，如化學(xué)反應(yīng)時(shí)間、絕緣材料被擊穿時(shí)間、產(chǎn)品維修時(shí)間等都是服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量?！　　　?3)最重要的特征是:若隨機(jī)變量X服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布，則經(jīng)過(guò)對(duì)數(shù)變換Y=lnX(ln是自然對(duì)數(shù))后服從正態(tài)分布，即原來(lái)X的分布是(右)偏態(tài)分布，經(jīng)對(duì)數(shù)變換后，成為正態(tài)分布，或者說(shuō)對(duì)數(shù)正態(tài)變量經(jīng)對(duì)數(shù)變換后為正態(tài)變量?！　∥濉⒅行臉O限定理　　中心極限定理是統(tǒng)計(jì)中常用到的一個(gè)結(jié)論。中心極限定理表明，當(dāng)n比較大，樣本均值的分布總是近似于正態(tài)分布。這些概念之間相互之間是有聯(lián)系的，而要將它們表達(dá)清楚，又必須借用第二節(jié)中所引進(jìn)的概率這個(gè)工具?！　≡賮?lái)討論樣本，一個(gè)樣本量為n的樣本是從總體中抽取的n個(gè)個(gè)體，這n個(gè)樣本觀測(cè)值x1，x2，…，xn可以看成為隨機(jī)變量X的n次實(shí)現(xiàn)值。　　(1)隨機(jī)性?！　?2)獨(dú)立性。在實(shí)際中抽樣時(shí)，也應(yīng)按此要求從總體中進(jìn)行抽樣。分布愈分散，樣本也很分散；分布愈集中，樣本也相對(duì)集中些。樣本的觀測(cè)值用x1，x2，…，xn表示，這也是我們常說(shuō)的數(shù)據(jù)?！　〔缓粗獏?shù)的樣本函數(shù)稱(chēng)為統(tǒng)計(jì)量，統(tǒng)計(jì)量的分布稱(chēng)為抽樣分布。只有樣本眾數(shù)例外，因?yàn)闃颖颈姅?shù)的確定在許多情形并不明確，它不能用樣本函數(shù)表示，因此那里定義的樣本眾數(shù)不能作為統(tǒng)計(jì)量。而所有這些又必然與總體的分布、均值與方差有關(guān)?！　]下面50個(gè)數(shù)據(jù)是從均值為10，方差為4的正態(tài)總體中隨機(jī)抽取出來(lái)的(根據(jù)正態(tài)總體的隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生法用計(jì)算機(jī)得到)，按行分為10組，每組5個(gè)數(shù)據(jù):　　1)，；　　2)，；　　3)，；　　4)，；　　5)，；　　6)，；　　7)，；　　8)，；　　9)，；　　10)，；　　如果將每行數(shù)據(jù)看成是一個(gè)從該正態(tài)總體中抽取的樣本量為5的樣本，計(jì)算得到樣本均值分別為:　　(1)=，(2)=，(3)=，(4)=，(5)=，　　(6)=，(7)=，(8)=，(9)=，(10)=　　這10個(gè)平均數(shù)的平均數(shù)　　如果我們將每?jī)尚袛?shù)據(jù)看做是從總體中抽取的樣本量為10的樣本，則5個(gè)樣本的均值分別為:　　， 。根據(jù)前述給出的的均值與方差的結(jié)果，得知當(dāng)n大時(shí)，近似N(μ，σ2/n)?！　?一)方差未知時(shí)，正態(tài)均值的分布——t分布上一小節(jié)已提到，對(duì)于正態(tài)總體N(μ，σ2)，樣本均值的分布為　　　　　　是已知的，否則在實(shí)際中并不能立即就可應(yīng)用。當(dāng)自由度超過(guò)30以后，兩者區(qū)別已不大。它們的樣本方差之比的分布是自由度為n1和m1的F分布:　　其中n1稱(chēng)為分子自由度，m1稱(chēng)為分母自由度?！　「鶕?jù)樣本對(duì)總體進(jìn)行推斷是數(shù)理統(tǒng)計(jì)的核心，參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)是統(tǒng)計(jì)推斷的兩個(gè)基本內(nèi)容。這些都需要通過(guò)從總體中取樣本，從樣本觀測(cè)值來(lái)對(duì)此進(jìn)行估計(jì)。例如二項(xiàng)分布b(n；p)的均值npq=np(1p)中的未知成分只是未知參數(shù)p，因此只要對(duì)p進(jìn)行了估計(jì)，均值的估計(jì)也就完全解決了。對(duì)一個(gè)具體的樣本X1，X2，…，Xn，可計(jì)算的一個(gè)具體的數(shù)值，稱(chēng)為θ的估計(jì)值。但是我們可以通過(guò)多次抽樣，對(duì)不同樣本，的不同具體估計(jì)值，對(duì)實(shí)際偏差θ進(jìn)行“平均”。雖然由于θ是未知的，MSE()也并不是總能求得的?！　?)式中的第二項(xiàng)表示的是對(duì)其均值E()差的平方的均值，稱(chēng)為估計(jì)量的方差?！　?三)求點(diǎn)估計(jì)的方法——矩法估計(jì)　　參數(shù)估計(jì)時(shí)，一個(gè)直觀的思想是用樣本均值作為總體均值的估計(jì)，用樣本方差作為總體方差的估計(jì)等。例如對(duì)任何總體，樣本均值對(duì)總體均值μ的估計(jì)總是無(wú)偏的，樣本方差s2對(duì)總體方差σ2的估計(jì)也總