【正文】 用自動(dòng)裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭食品，從一批罐頭中隨機(jī)抽取100個(gè)進(jìn)行稱量，獲得罐頭的凈重?cái)?shù)據(jù)如下:　　　　為了解這組數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，對(duì)數(shù)據(jù)作如下整理:　　(1)找出這組數(shù)據(jù)中的最大值xmax及最小值xmin，計(jì)算它們的差R=xmaxxmin，R稱為極值，也就是這組數(shù)據(jù)的取值范圍?！　]從一個(gè)工廠一個(gè)月內(nèi)生產(chǎn)的一批燈泡中抽取n=8個(gè)燈泡，進(jìn)行壽命試驗(yàn)，得到這8個(gè)燈泡的使用壽命為(單位為小時(shí)):　　325，84，1244，870，645，1423，1071，992　　這8個(gè)燈泡或相應(yīng)的使用壽命即為一個(gè)樣本，樣本量n=8。在上例中，這批燈泡中的每個(gè)特定的燈泡都是一個(gè)個(gè)體。第一節(jié)質(zhì)量特性數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律例如燈泡的壽命，鋼的成分等都是定量特性；而按規(guī)范判定產(chǎn)品為“合格”或“不合格”，則是一種定性特征。通常的做法是從總體中抽取一個(gè)或多個(gè)個(gè)體來進(jìn)行觀測(cè)?！　《?、頻數(shù)(頻率)直方圖及累積頻數(shù)(頻率)直方圖　　為研究一批產(chǎn)品的質(zhì)量情況，需要研究它的某個(gè)質(zhì)量特性(這里為了敘述簡單起見，僅討論一個(gè)質(zhì)量特性，有必要時(shí)也可以同時(shí)討論多個(gè)質(zhì)量特性)X的變化規(guī)律?！　∫慌鷶?shù)據(jù)究竟分多少組，通常根據(jù)n的多少而定，不過這也不是絕對(duì)的。為了避免一個(gè)數(shù)據(jù)可能同時(shí)屬于兩個(gè)組，因此通常將各組的區(qū)間確定為左開右閉的:　　(a0，a1]，(a1，a2]，…，(ak1，ak]通常要求a0xmin，akxmax?！　?6)累積頻數(shù)和累積頻率直方圖　　還有另一種直方圖使用的是累積頻數(shù)和累積頻率。它的計(jì)算比較簡單，但缺點(diǎn)是它受極端值的影響比較大。100個(gè)數(shù)據(jù)中，344出現(xiàn)的次數(shù)最多，為12次，因此Mod=344?！　颖緲O差只利用了數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值，因此它對(duì)數(shù)據(jù)信息的利用不夠充分，極差常用于n不大的情況。例如，在本例中，將每個(gè)數(shù)據(jù)減去15，即可大大減少計(jì)算量。拋一枚硬幣，可能出現(xiàn)正面，也可能出現(xiàn)反面，至于哪一面出現(xiàn)，事先并不知道?！　　　碾S機(jī)事件的定義可見，事件有如下幾個(gè)特征:　　(1)任一事件A是相應(yīng)樣本空間Ω中的一個(gè)子集。　　　　[]若產(chǎn)品只區(qū)分合格與不合格，并記合格品為“0”，不合格品為“1”?！　?1)包含:在一個(gè)隨機(jī)現(xiàn)象中有兩個(gè)事件A與B，若事件A中任一個(gè)樣本點(diǎn)必在B中，則稱A被包含在B中，或B包含A，記為AB，或BA，這時(shí)事件A的發(fā)生必導(dǎo)致事件B發(fā)生?！　?三)事件的運(yùn)算事件的運(yùn)算有下列四種。交事件AB發(fā)生意味著“事件A與B同時(shí)發(fā)生”?！　?2)某廠試制成功一種新止痛片在未來市場(chǎng)的占有率是多少呢?市場(chǎng)占有率高，就應(yīng)多生產(chǎn)，獲得更多利潤；市場(chǎng)占有率低，就不能多生產(chǎn)，否則會(huì)造成積壓，不僅影響資金周轉(zhuǎn)，而且還要花錢去貯存與保管。這一隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間為:　　Ω={(x，y)，x，y=1，2，3，4，5，6}它共含36個(gè)樣本點(diǎn)，并且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性都相同。　　例如，甲城到乙城有3條旅游線路，由乙城到丙城有2條旅游線路，那么從甲城經(jīng)乙城去丙城共有32=6條旅游線路?！　±?，從10個(gè)產(chǎn)品中每次取一個(gè)做檢驗(yàn)，放回后再取下一個(gè)，如此連續(xù)抽取4次，所得重復(fù)排列數(shù)為104。下面我們先計(jì)算事件A0、A1的概率，然后計(jì)算一般事件Am的概率。故事件Am的概率是:　　其中r=min(n，M)是m的最大取值，這是因?yàn)閙既不可能超過取出的產(chǎn)品數(shù)n，也不可能超過不合格品總數(shù)M，即m≤n和m≤M。這時(shí)要講究先后次序，現(xiàn)對(duì)上例采取放回抽樣方式討論事件Bm=“恰好有m個(gè)不合格品”的概率。　　假如給定N=10，M=2，n=4，在放回抽樣場(chǎng)合來計(jì)算諸Bm的概率。也是正面出現(xiàn)的概率?！　　瞉拋三枚硬幣，至少一個(gè)正面出現(xiàn)(記為事件A3)的概率是多少?　　解:在拋三枚硬幣的隨機(jī)試驗(yàn)中，諸如(正，反，正)這樣的樣本點(diǎn)共有8個(gè)。另外由于事件A1與A2是可能同時(shí)發(fā)生的，故A1與A2不是互不相容事件，應(yīng)用性質(zhì)(4)來求，即:　　這表明在未來兩場(chǎng)比賽中至少有一場(chǎng)獲勝的概率為2/3。這時(shí)事件A所含樣本點(diǎn)在ΩB中所占比率為5/7。　　性質(zhì)7:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則A與B同時(shí)發(fā)生的概率為:　　P(AB)=P(A)P(B)()　　性質(zhì)8:假如兩個(gè)事件A與B相互獨(dú)立，則在事件B發(fā)生的條件下，事件A的條件概率P(A|B)等于事件A的(無條件)概率P(A)?！　〖偃缫粋€(gè)隨機(jī)變量的所有可能取值充滿數(shù)軸上一個(gè)區(qū)間(a，b)()，則稱此隨機(jī)變量為連續(xù)隨機(jī)變量，或連續(xù)型隨機(jī)變量，其中a可以是∞，b可以是+∞?！　?3)檢驗(yàn)一個(gè)產(chǎn)品，結(jié)果可能是合格品，也可能是不合格品?！　?一)離散隨機(jī)變量的分布　　離散隨機(jī)變量的分布可用分布列表示，譬如，隨機(jī)變量X僅取n個(gè)值:x1，x2，…xn，X取x1的概率為p1，取x2的概率為p2，…，取xn的概率為pn。還可計(jì)算有關(guān)事件的概率，譬如:　　P(Y≤1)=P(Y=0)+P(Y=1)=+=　　〔]某廠生產(chǎn)的三極管，每100支裝一盒。　　　　概率密度函數(shù)p(x)有多種形式，有的位置不同，有的散布不同，有的形狀不同?！　〉貐^(qū)(c)。對(duì)于絕大多數(shù)的隨機(jī)變量，在均值附近取值的機(jī)會(huì)較多。還可證明，指數(shù)分布的均值E(T)與標(biāo)準(zhǔn)差σ(T)相等。這意味著:離均值E(X)近的值xi發(fā)生的可能性大，遠(yuǎn)離均值E(X)的值xi發(fā)生的可能性小，(d)所示。　　　　我們來考察由n次隨機(jī)試驗(yàn)組成的隨機(jī)現(xiàn)象，它滿足如下條件:　　(1)重復(fù)進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn)。　　還可以畫出一張線條圖((a))來表示這個(gè)分布(7個(gè)概率)。例如:　　(1)在一定時(shí)間內(nèi)，電話總站接錯(cuò)電話的次數(shù)；　　(2)在一定時(shí)間內(nèi)，某操作系統(tǒng)發(fā)生的故障數(shù)；　　(3)一個(gè)鑄件上的缺陷數(shù)；　　(4)一平方米玻璃上氣泡的個(gè)數(shù)；　　(5)一件產(chǎn)品被擦傷留下的痕跡個(gè)數(shù)；　　(6)一頁書上的錯(cuò)字個(gè)數(shù)。若從中隨機(jī)不放回地抽取n個(gè)產(chǎn)品，則其中不合格品的個(gè)數(shù)X是一個(gè)離散隨機(jī)變量，假如n≤M，則X可能取0，1，…，n；若nM，則X可能取0，1，…，M，由古典方法()可以求得X=x的概率是:　　其中r=min(n，M)，這個(gè)分布稱為超幾何分布，記為h(n，N，M)。其中μ為正態(tài)分布的均值，它是正態(tài)分布的中心。這里將先介紹標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表及其應(yīng)用，分以下幾點(diǎn)敘述?！　　　?0，1)的分位數(shù)分位數(shù)是一個(gè)基本概念，這里結(jié)合標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)來敘述分位數(shù)概念。=，=，==()。)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)累積分布函數(shù)，其函數(shù)值可從附表12中查得?！　?1)某廠生產(chǎn)的電阻器的規(guī)范限為80177。故其不合格品率為:　　p=pL=P(X33)=Φ()==%　　在抗拉強(qiáng)度上，%?！　?2)這些隨機(jī)變量的大量取值在左邊，少量取值在右邊，并且很分散，這樣的分布稱為“右偏分布”((a))。中心極限定理較完整的敘述如下:　　設(shè)X1，X2，…，Xn為n個(gè)相互獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，均值μ和方差σ2都存在，則在n較大時(shí)，其樣本均值近似服從正態(tài)分布N(μ，)。這個(gè)隨機(jī)變量的分布也就是總體的分布。譬如，按隨機(jī)性要求抽出5個(gè)樣品，記為X1，X2，…，X5，則其中每一個(gè)都應(yīng)與總體分布相同。圖上用虛線畫出的曲線是兩個(gè)未知總體。　　二、統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布　　(一)統(tǒng)計(jì)量的概念　　樣本來自總體，因此樣本中包含了有關(guān)總體的豐富信息。注意作為一個(gè)統(tǒng)計(jì)量，是樣本的函數(shù)，是隨著所抽取的樣本不同而變的。實(shí)際上這個(gè)數(shù)字也是將上述數(shù)據(jù)看做為n=50的一個(gè)樣本均值。　　自由度為n1的t分布的概率密度函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度函數(shù)類似，亦為對(duì)稱分布，其峰比N(0，1)的峰略低一些，而兩側(cè)尾部要比N(0，1)的兩側(cè)尾部略粗一些?！　±缛舢a(chǎn)品某個(gè)特性服從正態(tài)分布N(μ，σ2)，μ與σ2是未知的參數(shù)，就需要根據(jù)樣本對(duì)它們進(jìn)行估計(jì)。　　(二)點(diǎn)估計(jì)優(yōu)良性標(biāo)準(zhǔn)　　點(diǎn)估計(jì)量是隨所抽取的樣本不同而不同的，它是一個(gè)隨機(jī)變量，評(píng)價(jià)一個(gè)估計(jì)量的優(yōu)劣不能從一個(gè)具體樣本獲得的估計(jì)值來評(píng)判，應(yīng)該從多次使用中來評(píng)定。無偏性是表示估計(jì)量優(yōu)良性的一個(gè)重要標(biāo)準(zhǔn)。因此上面的做法是用樣本矩估計(jì)相應(yīng)的總體矩，從而獲得有關(guān)總體參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)，這種點(diǎn)估計(jì)方法稱為矩法估計(jì)。方差愈小，估計(jì)量就更有效。與以前對(duì)方差處理的方法相仿，用估計(jì)偏差的平方θ)2代替，并對(duì)其求均值，于是用E(θ)2來表示估計(jì)量的優(yōu)劣?！　∫?、點(diǎn)估計(jì)　　(一)點(diǎn)估計(jì)的概念　　設(shè)θ是總體的一個(gè)未知參數(shù)，記與總體對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量為X，從中抽取樣本量為n的一個(gè)樣本，X1，X2，…，Xn?！　≡谇皫坠?jié)中已經(jīng)闡明特定產(chǎn)品的質(zhì)量特性可以用隨機(jī)變量來表示，而它的量值包括變化規(guī)律則用相應(yīng)的分布來表示?！　　　?三)兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)樣本方差之比的分布——F分布　　設(shè)有兩個(gè)獨(dú)立的正態(tài)總體N(μ1，σ2)和N(μ2，σ2)，它們的方差相等。　　三、有關(guān)正態(tài)總體的幾個(gè)重要的抽樣分布本小節(jié)進(jìn)一步討論來自正態(tài)總體樣本均值、樣本方差以及來自兩個(gè)正態(tài)總體樣本均值差及方差比的抽樣分布。　　上面的結(jié)果表明，樣本是總體均值μ的無偏估計(jì)，而它的方差與總體方差σ2成正比，但與樣本量n成反比?！　∧敲碭1+X2，max{X1，X2，…，Xn}是統(tǒng)計(jì)量，而X1+X22μ，(X1μ)/σ都不是統(tǒng)計(jì)量。某些人的傾向性會(huì)使所得樣本不是簡單隨機(jī)樣本，從而使最后的統(tǒng)計(jì)推斷失效?！　【C上兩點(diǎn)，隨機(jī)樣本X1，X2，…，Xn可以看做n個(gè)相互獨(dú)立的、同分布的隨機(jī)變量，其分布與總體分布相同。如推斷總體是什么類型的分布?推斷總體均值為多少?推斷總體的標(biāo)準(zhǔn)差是多少?為了使此種統(tǒng)計(jì)推斷有所依據(jù)，推斷結(jié)果有效，對(duì)樣本的抽取應(yīng)有所要求。第四節(jié)常用統(tǒng)計(jì)量及其分布　　〔]絕緣材料在正常電壓下被擊穿的時(shí)間X為服從對(duì)數(shù)正態(tài)分布的隨機(jī)變量，若令Y=lnX，則Y為服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量?！　　　【鶆蚍植荚趦啥它c(diǎn)a與b之間有一個(gè)平坦的概率密度函數(shù)，它的全稱是“在區(qū)間(a，b)上的均勻分布”，常記為U(a，b)。　　(2)某部件的清潔度X(單位:毫克)服從正態(tài)分布N(48，122)?！　?2)產(chǎn)品的規(guī)范限，常包括上規(guī)范限TU和下規(guī)范限TL，這些都是用文件形式對(duì)產(chǎn)品特性所作的要求，這些要求可能是顧客要求、可能是公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)、也可能是企業(yè)下達(dá)的生產(chǎn)任務(wù)書?！　⌒再|(zhì)1:　　　　此性質(zhì)表明，任一個(gè)正態(tài)變量X(服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量)經(jīng)過標(biāo)準(zhǔn)化變換(Xμ)/σ后都?xì)w一到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量U?！　∫话阏f來，對(duì)任意介于0與1之間的實(shí)數(shù)α，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的α分位數(shù)是這樣一個(gè)數(shù)，它的左側(cè)面積恰好為α，它的右側(cè)面積恰好為1α()?！　?2)P(Ua)=1Φ(a)，()?！　　　　　ˇ?0且σ=1的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為N(0，1)。例如，取出的8桶中有不多于3桶被污染的概率為:　　P(X≤3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)　　=+++=　　　　最后，還可算得此超幾何分布h(8，20，5)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差。也可把此8個(gè)概率畫一張線條圖。譬如連拋六次硬幣，其中正面出現(xiàn)次數(shù)X～b(6，)?！　?4)每次試驗(yàn)成功的概率均為p，失敗的概率均為1p?！　【蹬c方差的運(yùn)算性質(zhì):　　(1)設(shè)X為隨機(jī)變量，與b為任意常數(shù)，則有:　　E(aX+b)=aE(X)+b　　Var(aX+b)=a2 Var(X)　　(2)對(duì)任意兩個(gè)隨機(jī)變量X1與X2，有:　　　　VbVcVfVgVhE(X1+X2)=E(X1)+E(X2)　　這個(gè)性質(zhì)可以推廣到三個(gè)或更多個(gè)隨機(jī)變量場(chǎng)合?，F(xiàn)要問這四個(gè)分布列中哪個(gè)方差大，哪個(gè)方差小?！　　瞉現(xiàn)在我們來計(jì)算〔]和〔]中兩個(gè)分布的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。連續(xù)隨機(jī)變量這一性質(zhì)普遍成立，它給計(jì)算帶來方便?！　　　　瞉考試得分是一個(gè)隨機(jī)變量，下面是三個(gè)不同地區(qū)同一課程考試得分的概率密度函數(shù)()。下面再將上述過程用另一種形式來進(jìn)行表述?！　　瞉設(shè)在10個(gè)產(chǎn)品中有2個(gè)不合格品，若從中隨機(jī)取出4個(gè)，則其中不合格品數(shù)X是離散隨機(jī)變量，它僅可取0，1，2等三個(gè)值。更一般的，在n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品數(shù)X是可能取0，1，2，…，n等n+1個(gè)值的離散隨機(jī)變量。這些事件有可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。第三節(jié)隨機(jī)變量及其分布　　　　現(xiàn)要尋求下列事件的條件概率:　?、?0歲的烏龜能活到80歲的概率是多少?　　要求的概率是條件概率P(A80|A20)，按公式應(yīng)為:　　　　由于活到80歲的烏龜一定要先活到20歲，這意味著A80A20，從而交事件A20 A80=A80，故上述條件概率為:　　即100只活到20歲的烏龜中大約有95只能活到80歲?！　]設(shè)某樣本空間含有25個(gè)等可能的樣本點(diǎn)，又設(shè)事件A含有其中15個(gè)樣本點(diǎn)，事件B含有7個(gè)樣本點(diǎn)，交事件AB含有5個(gè)樣本點(diǎn)。據(jù)A0的定義，從100件產(chǎn)品隨機(jī)抽出10件的所有樣本點(diǎn)共有)個(gè)。發(fā)現(xiàn)各個(gè)字母的使用頻率相當(dāng)穩(wěn)定。在實(shí)際中人們無法把一個(gè)試驗(yàn)無限次地重復(fù)下去、只能用重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n較大時(shí)的頻率去近似概率。這樣就有M(NM)n1種取法?！　](放回抽樣)抽樣有兩種形式:不放回抽樣與放回抽樣。第一步從M個(gè)不合格品中隨機(jī)取出1個(gè)，共有　　種取法；第二步從NM個(gè)合格品中隨機(jī)取出n1個(gè)，共有　　種取法。這24種排列在組合中只算一種。按乘法原理，此種排列共有n(n1)…(nr+1)個(gè)，記為P＇n?！　?4)定義事件D=“點(diǎn)數(shù)之和大于3，而小于7”={(1，3)(2，2)，(3，1)，(1，4)(2，3)，(3，2)，(4，1)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)}，它含有12個(gè)樣本點(diǎn)，故它的概率P(D)=12/36 =1/3。概率是一個(gè)介于0到1之間的數(shù)。但隨機(jī)事件發(fā)生的可能性還是有大小之別，是可以設(shè)法度量的。特別，必然事件Ω與不可能事件φ互為對(duì)立事件，即=φ，=Ω。這時(shí)事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生，如在電視機(jī)壽命試驗(yàn)里，“電視機(jī)壽命小于1萬小時(shí)”與“電視機(jī)壽