【正文】 并記X為其中被污染的桶數(shù)，現(xiàn)要求X的分布。具體如下:　　　　　　(二)正態(tài)分布　　正態(tài)分布是在質(zhì)量管理中使用最為頻繁的分布，它能描述很多質(zhì)量特性X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。質(zhì)量特性X在μ附近取值的機(jī)會(huì)最大，σ2是正態(tài)分布的方差，0是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)差，σ愈大，分布愈分散；σ愈小，分布愈集中。它是特殊的正態(tài)分布，服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)變量也記為U，它的概率密度函數(shù)記為ψ(u)?！　　　?1)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，它可用來計(jì)算形如“U≤u”的隨機(jī)事件發(fā)生的概率?！　?3)Φ(a)=1Φ(a)()。對(duì)概率等式P(U≤)=，有兩種不同說法:　　(1)。用概率的語言表示，U的α分位數(shù)uα是滿足下列等式的實(shí)數(shù):　　P(U≤uα)=α　　　　分位數(shù)uα亦可用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表從里向外查得，尾數(shù)可用內(nèi)插法得到，:　　= =　　，=。　　　　標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的α分位數(shù)uα表見附表13。這里標(biāo)準(zhǔn)化變換是指正態(tài)變量減去其均值后再除以相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差?！　]設(shè)X～N(10，22)和Y～N(2，)，概率P(8X14)和P(Y)各為多少?　　首先對(duì)每個(gè)正態(tài)變量經(jīng)過各自的標(biāo)準(zhǔn)化變換得到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量?！　∶鞔_了這兩點(diǎn)后，產(chǎn)品質(zhì)量特性X的不合格品率為:　　p=pL+pU　　其中pL為X低于下規(guī)范限的概率，pU為X高于上規(guī)范限的概率()，即:　　　　　　其中Φ(4kΩ。清潔度是望小特性(愈小愈好的特性)，故只需規(guī)定其上規(guī)范限，現(xiàn)規(guī)定TU=85毫克，故其不合格品率為:　　故在清潔度指標(biāo)上，該部件的不合格品率為968ppm。　　[]在正態(tài)分布中心μ與規(guī)范中心(M=(TL+TU)/2)重合時(shí)，若規(guī)范限取為μ177。這里“均勻”是指隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(a，b)內(nèi)任一點(diǎn)的機(jī)會(huì)是均等的，從而在相等的小區(qū)間上的概率相等。如機(jī)床維修中，大量機(jī)床在短時(shí)間內(nèi)都可修理好，只有少量機(jī)床需要長時(shí)間維修，個(gè)別機(jī)床可能需要更長的修理時(shí)間。若已知Y的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　μY=，σ2Y=4，σY=2由上述公式知，X的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差為:　　μx=exp{+4/2}== σ2X=()2(e41)=e19(e4一1)=109　　105小時(shí)，104小時(shí)，標(biāo)準(zhǔn)差是平均時(shí)間的7倍多，可見對(duì)數(shù)正態(tài)分布是很分散的分布。　　這里相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是指一個(gè)變量的取值不影響其他變量的取值。　　一、隨機(jī)樣本與統(tǒng)計(jì)量　　在第一節(jié)中介紹了總體與樣本這兩個(gè)重要的統(tǒng)計(jì)概念，在第三節(jié)中又介紹了隨機(jī)變量及其分布的概念。因此統(tǒng)計(jì)中的總體與概率中的隨機(jī)變量是對(duì)應(yīng)的，通常用統(tǒng)一的記號(hào)，例如X，Y，…等來記?！　M足下面兩個(gè)條件的樣本稱為簡單隨機(jī)樣本，簡稱隨機(jī)樣本。這只要隨機(jī)抽樣就可保證此點(diǎn)實(shí)施。今后的樣本都是指滿足這些要求的簡單隨機(jī)樣本。若是按隨機(jī)性和獨(dú)立性要求進(jìn)行抽樣，則機(jī)會(huì)大的地方(概率密度值大)被抽出的樣品就多；而機(jī)會(huì)少的地方(概率密度值小)，被抽出的樣品就少。　　若X1，X2，…，Xn是從總體X中獲得的樣本，那么X1，X2，…，Xn是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。但是不經(jīng)加工的信息是零散的，為了把這些零散的信息集中起來反映總體的特征，需要對(duì)樣本進(jìn)行加工，一種有效的辦法就是構(gòu)造樣本的函數(shù)，不同的函數(shù)可以反映總體的不同的特征?！　〉谝还?jié)中討論過的樣本均值、樣本中位數(shù)、樣本極差、樣本方差、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本變異系數(shù)等都是統(tǒng)計(jì)量。因此本身也是一個(gè)隨機(jī)變量，因此有時(shí)也記為，也有自己的分布規(guī)律，也可以計(jì)算它的均值、方差等。這表明當(dāng)用估計(jì)μ時(shí)，n愈大，精度就愈高?！　≈劣诘姆植?，根據(jù)上節(jié)討論過的中心極限定理，不論X的分布是哪種具體的分布，只要滿足一定條件，當(dāng)n大時(shí)，樣本均值的分布即是近似正態(tài)的。這里所涉及的抽樣分布在以后的區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)和方差分析中將起重要作用。圖中畫出自由度為3的t分布t(3)與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0，1)的概率密度曲線。又設(shè)X1，X2，…，Xn是來自N(μ1，σ2)的一個(gè)樣本；Y1，Y2，…，Ym是來自N(μ2，σ2)的一個(gè)樣本，這兩個(gè)樣本相互獨(dú)立。第五節(jié)參數(shù)估計(jì)在質(zhì)量活動(dòng)和管理實(shí)際中，人們關(guān)心的是諸如特定產(chǎn)品的質(zhì)量水平究竟如何?例如特性的平均值，產(chǎn)品的不合格品率等等。估計(jì)也可以擴(kuò)展成對(duì)分布類型、分布的某些特征數(shù)，例如均值、方差甚至對(duì)某個(gè)特定事件概率的估計(jì)，但由于這些待估計(jì)的量的未知部分都只是參數(shù)，因此任何一個(gè)估計(jì)問題都可以化成參數(shù)估計(jì)問題。根據(jù)這個(gè)樣本，構(gòu)造一個(gè)統(tǒng)計(jì)量=(X1，X2，…，Xn)，用來對(duì)θ進(jìn)行估計(jì)，稱為θ的估計(jì)量。　　對(duì)于一個(gè)特定的樣本，估計(jì)量與θ的真值之間總是有偏差的，但由于θ未知，因此偏差θ也未知。這個(gè)量稱為的均方誤差，簡記為MSE()，均方誤差實(shí)際上是平均平方誤差的意思。只要有可能，應(yīng)該盡可能選用無偏估計(jì)量，或近似無偏估計(jì)量。有效性是判定估計(jì)量優(yōu)良性的另一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)。　　矩法估計(jì)簡單而實(shí)用，所獲得的估計(jì)量通常(盡管不總是如此)也有較好的性質(zhì)。由于均值與方差在統(tǒng)計(jì)學(xué)中統(tǒng)稱為矩，總體均值與總體方差屬于總體矩，樣本均值與樣本方差屬于樣本矩。對(duì)于無偏估計(jì)量，當(dāng)然方差愈小愈好。但是經(jīng)過簡單的代數(shù)推導(dǎo)，總有　　MSE=E(θ)2=〔E()θ]2+E〔E()]2()　　=〔B()]2+V()　　()式中的第一項(xiàng)表示的是的均值E()與未知參數(shù)θ的差，稱為偏倚；當(dāng)B()=0，也即:　　E()=θ時(shí)，稱估計(jì)量是無偏的。當(dāng)然這種平均不能直接進(jìn)行，因?yàn)棣扔姓胸?fù)，直接平均由于正負(fù)抵消反而不能反映誤差。在本教材中，除討論統(tǒng)計(jì)量的分布及性質(zhì)外，不嚴(yán)格區(qū)分估計(jì)量及具體估計(jì)值，通稱為估計(jì)?！　?shù)估計(jì)有兩種基本形式，即點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)。在統(tǒng)計(jì)中，估計(jì)就是根據(jù)樣本來推斷總體分布的未知成分。本節(jié)著重討論參數(shù)估計(jì)問題。F分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布?！　　　?二)正態(tài)樣本方差s2的分布——χ2分布正態(tài)樣本方差s2除以總體方差σ2的n1倍的分布是自由度為n1的χ2分布，記為χ2(n1)，即:　　自由度為n1的χ2分布的概率密度函數(shù)在正半軸上呈偏態(tài)分布?！　‘?dāng)σ已知時(shí)，通過標(biāo)準(zhǔn)化變換，可得:　　　　當(dāng)σ未知時(shí)，很自然的，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替上式中的σ，此時(shí)統(tǒng)計(jì)量:　　服從自由度為n1的t分布，記為t(n1)。當(dāng)X本身服從正態(tài)分布，的分布也是嚴(yán)格正態(tài)的。與總體的均值μ=10比較，可知用n=5的樣本均值來估計(jì)μ沒有用n=10的樣本的平均數(shù)來估計(jì)精確，但均值的平均數(shù)()都非常接近μ的真值10。事實(shí)上E()=μ　　其中μ，σ2分別為總體X的均值和方差?！　?二)樣本均值的分布　　樣本均值是表示樣本數(shù)據(jù)中心位置的，而樣本又是從總體中隨機(jī)抽取的，因此與表示總體的隨機(jī)變量X的均值μ之間一定存在某種內(nèi)在的聯(lián)系?！　]從均值為μ，方差為σ2的總體中抽得一個(gè)樣本量為n的樣本X1，X2，…，Xn，其中μ與σ2均未知。有時(shí)為方便起見，不分大寫與小寫，樣本及其觀測值都用x1，x2，…，xn表示，今后就將采用這一方法表示?！　　　〕闃忧屑筛蓴_，特別是人為干擾。這樣獲得的樣本能夠很好地反映實(shí)際總體。從總體中抽取的每個(gè)樣品對(duì)其他樣本的抽取無任何影響，假如總體是無限的，獨(dú)立性容易實(shí)現(xiàn)；若總體很大，特別與樣本量n相比是很大的，這時(shí)即使總體是有限的，此種抽樣獨(dú)立性也可得到基本保證。總體中每個(gè)個(gè)體都有相同的機(jī)會(huì)入樣?！　∪藗儚目傮w中抽取樣本是為了認(rèn)識(shí)總體，即從樣本推斷總體?！　】傮w是人們研究對(duì)象的全體，它由個(gè)體所組成，當(dāng)從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)個(gè)體進(jìn)行觀測時(shí)，所得的觀測值隨個(gè)體而異，因此總體對(duì)應(yīng)于一個(gè)隨機(jī)變量。它告訴人們:在一定條件下，多個(gè)相互獨(dú)立隨機(jī)變量的平均值(仍然是一個(gè)隨機(jī)變量)，服從或近似服從正態(tài)分布?！　?4)若記正態(tài)分布的均值為μY，方差為σ2Y，則相應(yīng)的對(duì)數(shù)正態(tài)分布的均值μX與方差σ2X分別為μX=E(X)=exp{μY+σ2Y/2}σ2X=Var(X)=μ2X{exp(σ2Y)1}()　　(5)尋求對(duì)數(shù)正態(tài)變量X的有關(guān)事件的概率，經(jīng)過對(duì)數(shù)變換后可轉(zhuǎn)化為求正態(tài)變量Y=lnX的相應(yīng)事件的概率，如:　　P(Xa)=P(lnXlna)　　=P(Ylna)　　(a)(b)上的兩塊陰影面積。它們有如下共同特點(diǎn):　　(1)這些隨機(jī)變量都在正半軸(0，∞)上取值?！　　　?三)其他連續(xù)分布　　正態(tài)分布是實(shí)際中最常用的分布，在質(zhì)量管理中也使用最頻繁，但在實(shí)際中還有很多非正態(tài)的連續(xù)分布也很有用，在質(zhì)量管理中最常用的是均勻分布、對(duì)數(shù)正態(tài)分布和指數(shù)分布等三個(gè)分布，其中指數(shù)分布已在〔]中作了介紹，其他兩個(gè)分布將在下面介紹?？估瓘?qiáng)度是望大特性(愈大愈好的特性)，故只需規(guī)定其下規(guī)范限，如今TL=33kg/cm2。則其低于下規(guī)范限TL=76kΩ的概率和超過上規(guī)范限TU=84kΩ的概率分別為:　　故該電阻器的不合格品率p=pL+pU=。　　為了具體說明不合格品率的計(jì)算，可看下面的例子。你記住了嗎?　　〔]產(chǎn)品某個(gè)質(zhì)量特性X的不合格品率的計(jì)算要知道下列兩件事:　　(1)質(zhì)量特性X的分布，在過程受控情況下，X的分布常為正態(tài)分布N(μ，σ2)，這是穩(wěn)定過程的概括?！　　　⌒再|(zhì)2:設(shè)X～N(μ，σ2)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b有:　　　　其中Φ(正態(tài)分布計(jì)算是基于下面的重要性質(zhì)?！　‘?dāng)α，譬如α=，=?！　『笠环N說法有新意，(u)下的面積分為左右兩塊?！　　　?5)P(|U|≤a)=2Φ(a)1()。　　　　由于直線是沒有面積的，即直線的面積為零，故:　　P(U≤)=P(U)=Φ()=　　綜合上述，可得如下計(jì)算公式:　　P(U≤a)=P(Ua)=Φ(a)　　類似的計(jì)算公式還有一些，現(xiàn)羅列如下，圖形可幫助我們理解它。一些質(zhì)量特性的不合格品率均要通過標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布才能算得。固定均值μ時(shí)，不同的標(biāo)準(zhǔn)差，如σ1σ2，對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的位置相同，但形狀(高低與胖瘦)不同，(b)?！　　　≌龖B(tài)分布含有兩個(gè)參數(shù)μ與σ，常記為N(μ，σ2)?，F(xiàn)把結(jié)果列表如下:　　　　這就是X的分布?！　≡O(shè)有N個(gè)產(chǎn)品組成的總體，其中含有M個(gè)不合格品。由于取這些值的概率的前三位小數(shù)皆為零，甚至更小，已無多大實(shí)際意義，故可不列出，當(dāng)作不可能事件處理。　　在實(shí)際中經(jīng)常要求形如“X≤x”的概率，在概率論中把事件“X≤x”的概率稱為X的分布函數(shù)，記為F(x)，即:　　F(x)=P(X≤x)　　二項(xiàng)分布的分布函數(shù)已編制了數(shù)表，詳見附表11，此表可幫助我們計(jì)算，例如從附表11中可查得:　　P(X≤1)=，P(X≤4)=　　于是可算得:　　P(1≤X≤4)=P(X≤4)P(X≤1)==　　(3)二項(xiàng)分布b(6，)的均值、方差與標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=np=6=　　Var(X)=np(1p)=6=　　　　　　泊松分布可用來描述不少隨機(jī)變量的概率分布。假如改變成功概率p，其線條圖亦會(huì)改變。類似可計(jì)算X=0，X=1，…，X=6的概率，計(jì)算結(jié)果可列出一張分布列，具體如下:　　=6的概率取前4位小數(shù)的有效數(shù)字為零，實(shí)際它的概率為P(X=6)=，并不恰為零?！　?3)每次試驗(yàn)僅有兩個(gè)可能結(jié)果，例如，正面與反面、合格與不合格、命中與不命中、具有某特性與不具有某特性，以下統(tǒng)稱為“成功”與“失敗”?！　∽⒁?方差的這個(gè)性質(zhì)不能推到標(biāo)準(zhǔn)差場合，即對(duì)任意兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X1與X2，σ(X1+X2)≠σ(X1)+σ(X2)，而應(yīng)該是　　或者說，對(duì)相互獨(dú)立隨機(jī)變量來說，其方差具有可加性，而標(biāo)準(zhǔn)差不具有可加性　　四、常用分布　　(一)常用的離散分布　　這里將給出三個(gè)常用的離散分布，它們是二項(xiàng)分布、泊松分布與超幾何分布?！　☆愃频?，對(duì)連續(xù)分布也有類似解釋，(或標(biāo)準(zhǔn)差)從上到下也是逐漸減小的。這要求:　　(1)偏差x1E(X)小，相應(yīng)概率pi可以大一些；　　(2)偏差xiE(X)大，相應(yīng)概率pi必定小。其中垂線高度就是相應(yīng)的概率?！　≡凇瞉中一盒三極管中不合格品數(shù)X的均值、方差和標(biāo)準(zhǔn)差分別為:　　E(X)=0+1+2+3+4 +5+6+7+8　　=　　Var(X)=()2+()2+()2 +()2()2+())2 +()2+()2+()2　　=　　σ(X)= 在[]中推土機(jī)的維修時(shí)間T的均值為:　　　　這表明推土機(jī)發(fā)生故障時(shí)，平均維修時(shí)間是50分鐘。方差的計(jì)算公式為:　　方差的量綱是X的量綱的平方，為使表示分布散布大小的量與X的量綱相同，常對(duì)方差開方，記它的正平方根為σ，稱為標(biāo)準(zhǔn)差:　　由于σ與X的單位相同，在實(shí)際中更常使用標(biāo)準(zhǔn)差σ來表示分布散布大小，但它的計(jì)算還是要通過先計(jì)算方差，然后開方來獲得。　　均值用來表示分布的中心位置，用E(X)表示，譬如E(X)=5，那意味著隨機(jī)變量X的平均值為5。其概率密度函數(shù)()為:　　　　　　現(xiàn)轉(zhuǎn)入尋求一些事件的概率，在上述假定下，這塊面積可用積分計(jì)算:　　順便指出，在計(jì)算面積時(shí)，一條直線的面積為零，譬如在這個(gè)例子中P(T=100)=0，即該推土機(jī)完成維修時(shí)間不早不遲恰好在100分鐘的概率為零，由于這個(gè)原因，事件“T≤100”與事件“T100”的概率是相等的，即P(T≤100)=P(T100)?！　〉貐^(qū)(b)。而X在區(qū)間(a，b)上取值的概率P(aXb)為概率密度曲線以下，區(qū)間(a，b)上的面積()。這條曲線就是概率密度曲線，相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式p(x)稱為概率密度函數(shù)，它就是表示質(zhì)量特性X隨機(jī)取值內(nèi)在的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)很多，分組很細(xì)時(shí)，連接直方圖中每個(gè)矩形上邊中點(diǎn)的折線就接近一條光滑的曲線，這條曲線的函數(shù)即為p(x)。Y取這些值的概率為():　　具體計(jì)算可得如下分布列:　　這個(gè)分布顯示了Y取哪些值概率大，哪些值概率小?！　±齕]擲兩顆骰子，其樣本空間為:　　　　考察與這個(gè)