解析幾何專題含答案-展示頁
2025-06-27 19:07本頁面
【正文】 由（I）知橢圓E的方程為,（i）設(shè)，由題意知因?yàn)?又，即 ,所以，即 .所以因?yàn)橹本€與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為所以的面積令 ,將代入橢圓C的方程可得由，可得 …………………………………………②由①②可知因此 ,故當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取得最大值由（i）知，面積為 ,所以面積的最大值為 .17.【2015高考陜西，理20】（本小題滿分12分）已知橢圓（）的半焦距為，原點(diǎn)到經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的距離為．（I）求橢圓的離心率；（II）如圖，是圓的一條直徑，若橢圓經(jīng)過，兩點(diǎn)，求橢圓的方程．【答案】（I）；（II）．【解析】試題分析：（I）先寫過點(diǎn)，的直線方程，再計(jì)算原點(diǎn)到該直線的距離，進(jìn)而可得橢圓的離心率；（II）先由（I）知橢圓的方程，設(shè)的方程，聯(lián)立，消去，可得和的值，進(jìn)而可得，再利用可得的值，進(jìn)而可得橢圓的方程．試題解析：（I）過點(diǎn)，的直線方程為，則原點(diǎn)到直線的距離，由，得，解得離心率.(II)解法一：由（I）知，橢圓的方程為. (1)依題意，圓心是線段的中點(diǎn)，且.易知，不與軸垂直，設(shè)其直線方程為，代入(1)得設(shè)則由，得解得.從而.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.解法二：由（I）知，橢圓的方程為. 因此直線方程為，代入(2)得所以，.于是.由，得，解得.故橢圓的方程為.考點(diǎn)：直線方程；點(diǎn)到直線的距離公式；橢圓的簡單幾何性質(zhì)；橢圓的方程；圓的方程；直線與圓的位置關(guān)系；直線與圓錐曲線的位置.18.【2016高考浙江理數(shù)】（本題滿分15分）如圖，設(shè)橢圓（a＞1）.（I）求直線y=kx+1被橢圓截得的線段長（用a、k表示）；（II）若任意以點(diǎn)A（0,1）為圓心的圓與橢圓至多有3個(gè)公共點(diǎn)，求橢圓離心率的取值范圍.【答案】（I）；（II）．【解析】試題分析：（I）先聯(lián)立和，可得，再利用弦長公式可得直線被橢圓截得的線段長；（II）先假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，再利用對稱性及已知條件可得任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍，進(jìn)而可得橢圓離心率的取值范圍．試題解析：（I）設(shè)直線被橢圓截得的線段為，由得，故，．因此．（II）假設(shè)圓與橢圓的公共點(diǎn)有個(gè)，由對稱性可設(shè)軸左側(cè)的橢圓上有兩個(gè)不同的點(diǎn)，滿足．記直線，的斜率分別為，且，．由（I）知，故因此，①因?yàn)棰偈疥P(guān)于，的方程有解的充要條件是，所以．因此，任意以點(diǎn)為圓心的圓與橢圓至多有個(gè)公共點(diǎn)的充要條件為，由得，所求離心率的取值范圍為．考點(diǎn)：弦長；圓與橢圓的位置關(guān)系；橢圓的離心率．19.【2015高考新課標(biāo)2，理20】（本題滿分12分）已知橢圓,直線不過原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，與有兩個(gè)交點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為． (Ⅰ)證明：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；（Ⅱ）若過點(diǎn)，延長線段與交于點(diǎn)，四邊形能否為平行四邊形？若能，求此時(shí)的斜率，若不能，說明理由．【答案】(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）能，或．【解析】(Ⅰ)設(shè)直線，．將代入得，故，．于是直線的斜率，即．所以直線的斜率與的斜率的乘積為定值．（Ⅱ）四邊形能為平行四邊形．因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以不過原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，．由(Ⅰ)得的方程為．設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．由得，即．將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得，因此．四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分，即．于是．解得，．因?yàn)椋援?dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí)，四邊形為平行四邊形．【考點(diǎn)定位】弦的中點(diǎn)問題；直線和橢圓的位置關(guān)系．【名師點(diǎn)睛】(
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