【正文】 現(xiàn)實意義．對于變換群，凱萊定理告訴我們，如果將所有變換群都研究清楚了，也就等于把所有群都研究清楚了，無論是否如此簡單，但至少從理論上知道變換群的重要性： 集合A的變換和表示形式、變換群的定義 定義1 設(shè)是一個非空集合，若是到的任一子映射那就稱是的一個變換（注：這個定義在第一章中曾出現(xiàn)過）.在表示形式方面，若，在變換的合成方面，尤其要注意：如果都是的變換，那么也顯然是的變換，并且這時要注意：應(yīng)該是（而過去是寫成：在合成的表示形式上，要習(xí)慣這種改變.例1． 設(shè)｛１，２｝．現(xiàn)取出的幾個變換　　?。础。　　。础。　　。础。　　。础。┛梢钥闯觯堑娜孔儞Q．其中和是雙射．并且是恒等變換．習(xí)慣上記　?。ɑ颉。├美保梢該Q算一下它們的合成（乘積）：２；２２．　即　這表明　　 本次針對變換群的發(fā)展歷程的研究，在專業(yè)研究文獻和相關(guān)歷史研究文獻的基礎(chǔ)上，以變換群的概念演變和理論發(fā)展作為主線，以時間作為軸線，對變換群的初始形成以及發(fā)展和系統(tǒng)化等方面進行了研究和分析，從而勾勒出變換群至今發(fā)展的歷史脈絡(luò)，主要研究結(jié)果如下： 首先，變換群是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的重要概念之一，它的產(chǎn)生與發(fā)展，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)抽象概念發(fā)展的一個縮影．根據(jù)群概念的歷史，認為其思想的演變與發(fā)展，經(jīng)歷了置換觀念的產(chǎn)生、 抽象基礎(chǔ)的確立、抽象定義的形成、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的構(gòu)建4個階段，并對現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展具有極大的推動作用。對于群的歷史的了解，有利于對變換群的了解。當(dāng)Galois從根本上結(jié)束對古典代數(shù)方程式論的研究時, 群也隨之誕生。群作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)最基本的結(jié)構(gòu)，最后是在純粹的思維領(lǐng)域內(nèi)用抽象化方法得到的。然后，通過對“合成”最初觀察到的現(xiàn)實性的某些層次做出一定程度的舍棄，提煉出“合成”的若干基本性質(zhì)： 結(jié)合性、可消去性等等。從Galios最初發(fā)明群，到現(xiàn)代意義下群的公理系統(tǒng)的產(chǎn)生，是一個逐漸強化的抽象過程。這在通往一般抽象群的方向上跨出了第一步。1854年， 他把“合成” 抽象為一種一般的函數(shù)符號，使之脫離諸如“置換的合成”的這樣的具體狀態(tài), 成為一個一般化的概念。而在其它領(lǐng)域內(nèi)，不是置換的元素也能進行同置換的合成一樣的運算并滿足相似的性質(zhì)。群要獲得一般性的形式，還必須補充論據(jù)和進行完整的邏輯加工與整理。Galois通過發(fā)明群，把代數(shù)學(xué)引進了一個新領(lǐng)域。Galois發(fā)明群就是運用了直覺歸納的方法，他的頭腦始終保持著一種開放性，在思想的自由馳騁中，Galois繞開前輩已經(jīng)走過的路，尋求和探索先前尚未被發(fā)現(xiàn)的蹊徑。特別地， Galois在他的工作中提出了許多群論中最基本的概念，像子群，正規(guī)子群、單群等等。并第一次使用了群這一術(shù)語，他用方程根的某種置換群的結(jié)構(gòu), 描述了用根式構(gòu)造代數(shù)方程根式解的一般原理。群的萌芽不斷生長，群的概念由朦朧而變得逐漸清晰，即將作為高次代數(shù)方程根式解問題所基于的基本結(jié)構(gòu)進入數(shù)學(xué)領(lǐng)域。并在此基礎(chǔ)上詳細論證了“5次代數(shù)方程不存在根式解”，使得Lagrange的猜測得到確認。然而這正是在Ruffini的結(jié)論中需加以證明的一個核心命題。關(guān)于置換理論的若干基本概念已在他的工作中出現(xiàn)，尤其是可遷群和非可遷群的概念，他已經(jīng)辨識清楚了。Ruffini于1798年寫在一篇題為“方程的一般理論”的論文中，給出了“高于4次的代數(shù)方程不存在根式解法”的證明。Lagrange的猜測、論證和他獨創(chuàng)的方法，成為群的概念的重要源泉。由于他選擇了一條特殊的思考路線，發(fā)現(xiàn)了表面上沒有什么聯(lián)系的問題之間所隱涵的關(guān)系并試圖了解這類關(guān)系真正的、卻又是隱蔽著的特性。 Lagrange試圖否定5次以上代數(shù)方程一般根式解的存在性，這是一個經(jīng)過深思熟慮之后做出的、具有相當(dāng)科學(xué)性的猜測。也許它根本就不存在。這一失敗“原因可能在于還存在尚未被認識的現(xiàn)象。Lagrange的工作是非凡的。對5次以下代數(shù)方程那些個人色彩弄好的解法做出了統(tǒng)一的解釋。1771年，Lagrange向柏林科學(xué)院提交了“關(guān)于代數(shù)方程解法的思考”的長篇論文。為此,我們來討論群的歷史就顯得更加重要。群在現(xiàn)代數(shù)學(xué)以及科學(xué)中所具有的突出地位，是得對群的發(fā)明機制就行了解并作一些探討是十分必要的。對變換群的認識1． 引言 問題的提出 研究的現(xiàn)狀對于變換群的誕生，是從群中經(jīng)過運算所得到的。對此，要講變換群的誕生背景，首先來看看群的誕生背景。這方面的工作具有重要的方法論意義。群的最初萌芽就是伴隨著猜測的提出與論證而生發(fā)出來的。在這篇論文中，Lagrange得出了一種可以推出4次方程根式解的一般性方法。在這里，Lagrange第一次發(fā)明了“排列”的理論，這實際上就是現(xiàn)代意義下“置換”的概念和方法。但是，當(dāng)他用他的一般性方程推導(dǎo)5次方程的根式解時，遭到了失敗。但5次以上代數(shù)方程根式解的存在值得懷疑?！嬲幸饬x的是排列的理論，對它應(yīng)當(dāng)做更深入的研究”。這一猜測雖然與正在研究的問題關(guān)系密切，但并不是從已有的數(shù)學(xué)事實中直接引申出來的，而是為揭示某種真理所存在的某種聯(lián)系的思維中所做的想象。這一高超的見識，把置換的概念和方法一下子推到了代數(shù)研究的最前沿，在此后的六、七十年代中，潛心與論證Lagrange猜測的研究者們都是沿著這條途徑開掘下去的。在以后的研究者們又經(jīng)過了對猜測的論證。在這些證明中Ruffini主要是繼承運用了Lagrange的置換的方法，并有所發(fā)展。但是Ruffini的證明本身是有缺陷的，在他的證明中有這樣的結(jié)論：根式解中的根式都可表為已知方程根的有理函數(shù)。到1824年，Abel成功的證明了這個問題。隨著Lagrange猜測的提出和Abel對這一猜測所做的論證，代數(shù)學(xué)的研究不斷深入，置換由一種潛在的作用逐漸發(fā)展為代數(shù)學(xué)研究的主題。到1831年, Galois提出了現(xiàn)代意義下群的概念。給出了高次代數(shù)方程根式解問題充分圓滿的答案。為建立現(xiàn)代數(shù)學(xué)以致于建立整個現(xiàn)代數(shù)學(xué)做出了劃時代的貢獻。在以往的研究中已經(jīng)發(fā)現(xiàn)， 通過系數(shù)表出方程根的問題，不僅要研究對稱的表達式，還要研究不對稱的表達式，對這類表達式的研究意義更為深刻。但當(dāng)時的群概念尚處在粗糙和原始的狀態(tài)，也沒有關(guān)于“結(jié)合性”、“可消去性(逆元)”的具體刻畫。對于Galois的群，最有意義的是置換可以“合成”。Cayley最先注意到它們之間這種在運算上的共性。Cagleg所定義的這個“合成”是滿足結(jié)合性不滿足交換性的。隨著對抽象群概念認識過程的步步深入，Dick和Weber于1884年確立了現(xiàn)代意義下群的公理系統(tǒng)。首先是把“合成”從各具體對象，如置換，幾何手段，旋轉(zhuǎn)，數(shù)的運算中分離出來。最后用精心洗煉過的語言做出簡單和優(yōu)美的表述。群的發(fā)明，基本上經(jīng)歷了猜測的提出與論證，直覺歸納，抽象化等幾個環(huán)節(jié)，它伴隨著對代數(shù)方程根式解間題延綿不斷的探討而逐漸蘊育生成。今天的群已經(jīng)成為二十世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展的主題了，對群論的形成和發(fā)展完善作進一步方法論意義下的探討， 將具有更大的意義。變換群只不過是群更加具體的一種運算形式而已。而變換群的概念就是在這樣的基礎(chǔ)之上慢慢演變形成的，它的發(fā)展依賴于群的概念以及解決數(shù)學(xué)世界中的現(xiàn)實問題的需要。同理知．利用是恒等變換．則　（．這是因為　　并且又有． 定義２．設(shè)是一個非空集合，而是的恒等映射，那么，對的任一個變換，都有　設(shè)是一個非空集合，而的一些變換能否形成一個群呢？就以例1做比方。對于映射通常的乘積，能成為群嗎？能容易知道，肯定是一個motroid,那么“逆元”問題能解決嗎？ 事實上，： 而 這說明即不能成為群。定理2 設(shè)為非空集合，由的全部一一變換（雙射）必定能夠構(gòu)成的一個變換群. 變換群的研究方法凱萊定理凱萊定理：任何一個群都