【正文】 合。 第 1 課時(shí) 集合的概念及運(yùn)算 【 考點(diǎn)導(dǎo)讀 】 1. 了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能選擇自然語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言，集合語(yǔ)言描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用． 2. 理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；了解全集與空集的含義． 3. 理解兩個(gè)集合的交集與并集的含義，會(huì)求兩個(gè)集合的交集與并集；理解在給定集合中一個(gè)子集補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；能使用文氏圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用． 4. 集合問(wèn)題常與函數(shù) ，方程，不等式有關(guān)，其中字母系數(shù)的函數(shù)，方程，不等式要復(fù)雜一些，綜合性較強(qiáng)，往往滲透數(shù)形思想和分類討論思想． 若干個(gè)（有限個(gè)或無(wú)限個(gè)）確定對(duì)象的全體，可以看作一個(gè)集合。 小城里的理發(fā)師放出豪言：他要為城里所有不為自己刮臉的人刮臉，而且只為那些不為自己刮臉的人刮臉。羅素悖論一提出就在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界和邏輯學(xué)界引起了極大的震動(dòng)。”但事隔兩年后，卻傳出一個(gè)驚人的消息：集合論的概念本身出現(xiàn)了矛盾。但是，正當(dāng)數(shù)學(xué)家們熟練地應(yīng)用集合論時(shí)，數(shù)學(xué)帝國(guó)又爆發(fā)了一次危機(jī)。 第 1 頁(yè) 【輔導(dǎo)專用】 共 55 頁(yè) 集合與簡(jiǎn)易邏輯 引： 第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 到 19世紀(jì)末，康托爾的集合論已經(jīng)得到數(shù)學(xué)家的承認(rèn)，集合論也成功地應(yīng)用到其他的數(shù)學(xué)分支。集合論是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，由于集合論的使用，數(shù)學(xué)似乎已經(jīng)達(dá)到了無(wú)懈可擊的地步。 康托爾集合論的創(chuàng)造性成果為數(shù)學(xué)提供了廣泛的理論基礎(chǔ)，所以在 1900 年巴黎國(guó)際數(shù)學(xué)會(huì)議上，法國(guó)大數(shù)學(xué)家龐加萊宣稱：“數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性，看來(lái)直到今天才可以說(shuō)實(shí)現(xiàn)了。這就是英國(guó)數(shù)學(xué)家羅素 提出的著名的悖論，羅素悖論的內(nèi)容用一句話表述就是：所有不以自己為元素的集合組成一個(gè)集合，記為 A；則有集合 A 包含 A 等價(jià)于集何 A 不包含 A 這樣的悖理【 5】 。這一悖論引起的巨大反響則導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史上的第三次危機(jī)。 但問(wèn)題是：理發(fā)師該給自己刮臉嗎？如果他給自己刮臉，那么按照他的豪言 “只為那些不為自己刮臉的人刮臉 ”他不應(yīng)該為自己刮臉；但如果他不給自己刮臉，同樣按照他 的豪言 “為城里所有不為自己刮臉的人刮臉 ”他又應(yīng)該為自己刮臉。 集合的元素特征：確定性；互異性；無(wú)序性。 例 1：下列各項(xiàng)中不能組成集合的是 （ A）所有正三角形 （ B）《數(shù)學(xué)》教材中所有的習(xí)題 第 2 頁(yè) 【輔導(dǎo)專用】 共 55 頁(yè) （ C）所有數(shù)學(xué)難題 （ D）所有無(wú)理數(shù) 元素與集合的關(guān)系 一個(gè)集合 A 與一個(gè)對(duì)象 a，要么 a 是 A 中的元素，記作 a A（讀作 a 屬于 A）； 要么 a 不是 A 中的元素，記作 a A（讀作 a 不屬于 A）。 在元素與集合之間，只能用 或 表示，它們之間只存在這兩種關(guān)系。 列舉法就是把集合中的元素一一列舉出來(lái)，并寫(xiě)在大括號(hào)中。 +我們應(yīng)熟練記住一些常用的數(shù)學(xué)符 號(hào)：自然數(shù)集可以用 N 表示；正整數(shù)集可以用 N 表示；整數(shù)集可 以用 Z 表示；有理數(shù)集可以用 Q 表示；實(shí)數(shù)集可以用 R 表示。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。 含有 n(n N*)個(gè)元素的有限集合的子集個(gè)數(shù)為 2 個(gè)，真子集個(gè)數(shù)為 2 1 個(gè)，非空子集個(gè)數(shù)為 2 1 個(gè)， nnn 非空真子集個(gè)數(shù)為 2 2 個(gè)。也就是說(shuō)，集合 A 和集合 B 含有完全相同的元素。 n 三、集合的運(yùn)算 集合的運(yùn)算從文字語(yǔ)言、符號(hào)語(yǔ)言和圖 形語(yǔ)言三個(gè)角度來(lái)認(rèn)識(shí)和理解。即 A B x|x A 且 x B (2)交集的性質(zhì) 。 第 4 頁(yè) 【輔導(dǎo)專用】 共 55 頁(yè) 例 設(shè)集合 A x|x 2 ， B x|x 3 ，則A∩B=______________________. 例 設(shè)集合 A (x,y)|y 2x 1 ， B (x,y)|y x 3 ，求 A∩B. 并集 （ 1） 定義 由所有屬于集合 A 或者屬于集合 B 的元素組成的集合叫做集合 A 與B 的并集，記作 “A B”。 （ 2）并集的性質(zhì) ① A B B A； ② A A A； ③ A A； ④ A A B,B A B； ⑤ 若 A B B，則 A B；反之亦然。即 （ 2）補(bǔ)集的性質(zhì) ① CUA x|x U 且 x A 。 5. 1,3,5,7,9 ， CUB 1,4,6,8,9 ，求集合 B. 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 { ( , ) 0 2 , 0 2 , , }x y x y x y Z? ? ? ? ?用列舉法表示． { 2 1, }A x x k k Z? ? ? ?， { 2 , }B x x k k Z? ? ?，則 AB??． 第 5 頁(yè) 【輔導(dǎo)專用】 共 55 頁(yè) {0,1,2}M? ， { 2 , }N x x a a M? ? ?，則集合 MN??_______． {1,3,5,7,9}I ? ，集合 {1, 5 ,9}Aa??， {5,7}ICA? ，則實(shí)數(shù) a 的值為 _______． 答案： { ( 0 , 0) , ( 0 , 1 ) , (1 , 0) , (1 , 1 ) , ( 2 , 0) , ( 2 , 1 ) } ? {0,2} 8或 2 【 范例解析 】 例 .已知 R 為實(shí)數(shù)集，集合 2{ 3 2 0}A x x x? ? ? ?.若 RB C A R??， { 0 1RB C A x x? ? ? ?或2 3}x?? ，求集合 B. 分析：先化簡(jiǎn)集合 A，由 RB C A R??可以得出 A 與 B 的關(guān)系；最后，由數(shù)形結(jié)合，利用數(shù)軸直觀地解決問(wèn)題 . 解： （ 1） { 1 2}A x x? ? ?， {1RC A x x? ? ?或 2}x? .又 RB C A R??， RA C A R??， 可得 AB? . 而 { 0 1RB C A x x? ? ? ?或 2 3}x?? ， ?{ 0 1xx??或 2 3}x?? .B? 借助數(shù)軸可得 BA??{ 0 1xx??或 2 3}x?? { 0 3}xx? ? ? . 【反饋 演練 】 1．設(shè)集合 ? ?2,1?A ， ? ?3,2,1?B ， ? ?4,3,2?C ，則 ? ? CBA U? =_________． 2． 設(shè) P， Q為兩個(gè)非空實(shí)數(shù)集合，定義集合 P+Q= },5,2,0{},|{ ???? PQbPaba 若}6,2,1{?Q ，則P+Q中元素的個(gè)數(shù)是 ____8___個(gè)． 3．設(shè)集合 2{ 6 0}P x x x? ? ? ?， { 2 3}Q x a x a? ? ? ?. （ 1）若 PQP??，求實(shí)數(shù) a的取 值范圍； （ 2）若 PQ? ?? ，求實(shí)數(shù) a的取值范圍； （ 3）若 { 0 3}P Q x x? ? ? ?，求實(shí)數(shù) a的值 . 解：（ 1）由題意知： { 2 3}P x x? ? ? ?， PQP??， QP??. ① 當(dāng) Q?? 時(shí)，得 23aa?? ，解得 3a? ． ② 當(dāng) Q?? 時(shí)，得 2 2 3 3aa? ? ? ? ?，解得 10a? ? ? ． 第 6 頁(yè) 【輔導(dǎo)專用】 共 55 頁(yè) 綜上， ( 1, 0) (3, )a ? ? ? ??． （ 2） ① 當(dāng) Q?? 時(shí)，得 23aa?? ，解得 3a? ； ② 當(dāng) Q?? 時(shí)，得 2 3,3 2 2 3aa???? ? ? ? ?? 或，解得 3532aa? ? ? ?或． 綜上， 3( , 5 ] [ , )2a ? ?? ? ? ??． （ 3）由 { 0 3}P Q x x? ? ? ?，則 0a? ． 第 2 課 命題及邏輯聯(lián)結(jié)詞 引子：“我愛(ài)你”的逆否命題是什么？ 【 考點(diǎn)導(dǎo)讀 】 1. 了解命題的逆命題，否命題與逆否命題的意義；會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系． 2. 了解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”，“且”，“非”的含義；能用“或”，“且”，“非 ”表述相關(guān)的數(shù)學(xué)內(nèi)容． 3. 理解全稱量詞與存在量詞的意義；能用全稱量詞與存在量詞敘述簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)內(nèi)容．理解對(duì)含有一個(gè)量詞的命題的否定的意義；能正確地對(duì)含有一個(gè)量詞的命題進(jìn)行否定． 如果天下雨，那么地面濕 （ 1 ）變化 1 把命題（ 1 ）的條件與結(jié)論互換，得如果地面濕，那么天下雨。 （ 3）變化 3 把命題（ 1）的條件與結(jié)論互換后再否定，得 如果地面不濕，那么天沒(méi)下雨。 命題（ 1）與（ 3）是互否命題。命題（ 2）與命題（ 4）的關(guān)系也是如此。因?yàn)槊}（ 4）的條件與結(jié)論，恰好是命題（ 1）的結(jié)論與條件的否定，反過(guò)來(lái)也一樣。 設(shè)命題（ 1）為原命題，那么命題（ 2）為逆命題，命題（ 3）為否命題， 命題（ 4）為逆否命題。 【基礎(chǔ) 練習(xí) 】 ： ① 2 30x ?? ； ② 你是高三的學(xué)生嗎？ ③ 3 1 5?? ； ④ 5 3 6x?? ． 其中，不是命題的有 ________． p 和 q 分別表示原命題的條件和結(jié)論，則它的逆命題可表示為 ，否命題可表示為 ，逆否命題可表示為；原命題與互為逆否命題，否命題與互為逆否命題． 答案 ①②④ _若 q則 p pq??若 則 qp??若 則 逆否命題 逆命題 【 范例解析 】 例 1. 寫(xiě)出下列命題的逆命題，否命題，逆否命題并判斷真假 . （ 1） 平行四邊形的對(duì)邊相等； （ 2） 菱形的對(duì)角線互相垂直平分； （ 3） 設(shè) , , ,a b c d R? ，若 ,a b c d??，則 a c b d? ? ? . 分析：先將原命題改為“若 p則 q”，在寫(xiě)出其它三種命題 . 解： （ 1） 原命題：若一個(gè)四邊形是平行四邊形，則其 兩組 對(duì)邊相等；真命題； 逆命題：若一個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；真命題； 否命題：若一個(gè)四邊形不是平行四邊 形，則其 兩組 對(duì)邊 至少一組 不相等；真命題； 逆否命題：若一個(gè)四邊形的 兩組 對(duì)邊 至少一組 不相等，則這個(gè)四邊形不是平行四邊形；真命題 . （ 2） 原命題：若一個(gè)四邊形是菱形，則其對(duì)角線互相垂直平分；真命題； 逆命題：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直平分，則這個(gè)四邊形是菱形；真命題； 否命題：若一個(gè)四邊形不是菱形，則其對(duì)角線不垂直或不平分；真命題； 逆否命題：若一個(gè)四邊形的對(duì)角線不垂直或不平分，則這個(gè)四邊形不是菱形；真命題 . （ 3） 原命題：設(shè) , , ,a b c d R? ，若 ,a b c d??，則 a c b d? ? ? ；真命題； 第 8 頁(yè) 【輔導(dǎo)專用】 共 55 頁(yè) 逆命題：設(shè) , , ,a b c d R? ，若 a c b d? ? ? ，則 ,a b c d??；假命題； 否命題：設(shè) , , ,a b c d R? ，若 ab? 或 cd? ，則 a c b d? ? ? ；假命題； 逆否命題：設(shè) , , ,a b c d R? ，若 a c b d? ? ? ，則 ab? 或 cd? ；真命題 . 點(diǎn)評(píng)：已知原命題寫(xiě)出其它的三種命題首先應(yīng)把命題寫(xiě)成“若 p 則 q”的形式，找出其條件 p和結(jié)論 q，再根據(jù)四種命題的定義寫(xiě)出其它命題；對(duì)于含大前提的命題，在改寫(xiě)命題時(shí)大前提不要?jiǎng)?；在?xiě)命題 p的否定即 p? 時(shí)，要注意對(duì) p 中的關(guān)鍵詞的否定，如“且”的否定為“或”，“或”的否定為“且”，“都是”的否定為“不都是”等 . 例 “ p或 q”，“ p且 q”，“非 p”形式的命題，并判斷真假 . （ 1） p： 2是 4的約數(shù)， q： 2是 6的約數(shù)； （ 2） p：矩 形的對(duì)角線相等， q：矩形的對(duì)角線互相平分； （ 3） p：方程 2 10xx? ? ? 的兩實(shí)根的符號(hào)相同， q：方程 2 10xx? ? ? 的兩實(shí)根的絕對(duì)值相等 . 分析：先寫(xiě)出三種形式命題，根據(jù)真值表判斷真假 . 解： （ 1） p或 q： 2是 4的約數(shù)或 2 是 6的約數(shù)，真命題； p且 q： 2 是 4的約數(shù)且 2是 6的約數(shù)，真命題； 非 p： 2不是 4的約數(shù)，假命題 . （ 2） p或 q：矩形的對(duì)角線相等或互相平分，真命題； p且 q：矩形的對(duì)角線相等且互相平分，真命題； 非 p：矩形的對(duì)角線不相等，假命題 . （ 3） p或 q：方程 2 10xx? ? ? 的兩實(shí)根的符號(hào)相同或絕對(duì)值相等，假命題； p且 q：方程 2 10xx? ? ? 的 兩實(shí)根的符號(hào)相同且絕對(duì)值相等，假命題； 非 p：方程 2 10xx? ? ? 的兩實(shí)根的符號(hào)不同，真命題 . 點(diǎn)評(píng)：判斷含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”，“且”，“非”的命題的真假，先要把結(jié)構(gòu)弄清楚，確定命題構(gòu)成的形式以及構(gòu)成它們的命題 p， q的真假然后根據(jù)真值表判斷構(gòu)成新命題的真假 . 例 ，并判斷真假 . （ 1） p：所有末位數(shù)字是 0或 5 的整數(shù)都能被 5整除； （ 2） p： 每一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)； （ 3） p： 存在一個(gè)三角形，它的內(nèi)角和大于 180176。真命題； （ 4） p? ：所有四邊形都有外接圓，假命題； （ 5） p? ：任一梯形的對(duì)角線都不互相平分，真命題 . 點(diǎn)評(píng)：一些常用正面敘述的詞語(yǔ)及它的否