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20xx新人教a版高中數(shù)學(xué)必修一第一章集合與函數(shù)概念學(xué)案-展示頁

2024-12-19 21:06本頁面
  

【正文】 1, 3, π 構(gòu)成的集合, Q是由元素 π , 1, |- 3|構(gòu)成的集合 B. P是由 π 構(gòu)成的集合, Q是由 59構(gòu)成的集合 C. P是由 2,3構(gòu)成的集合, Q是由有序數(shù)對 (2,3)構(gòu)成的集合 D. P是滿足不等式- 1≤ x≤1 的自然數(shù)構(gòu)成的集合, Q是方程 x2= 1的解集 解析:選 A 由于 A 中 P、 Q 元素完全相同,所以 P 與 Q表示同一個集合, 而 B、 C、 D中元素不相同,所以 P與 Q不能表示同一個集合.故選 A. 4.下列四個說法中正確的個數(shù)是 ( ) ① 集合 N 中的最小數(shù)為 1; ② 若 a∈ N,則- a?N; ③ 若 a∈ N, b∈ N,則 a+ b的最小值為 2; ④ 所有小的正數(shù)組成一個集合; ⑤ π ∈ Q; ⑥ 0?N; ⑦ - 3∈ Z; ⑧ 5?R. A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析:選 C ① 錯,因為 N中最小數(shù)是 0; ② 錯,因為 0∈ N,而- 0∈ N; ③ 錯,當(dāng) a= 1,b= 0時, a+ b= 1; ④ 錯,小的正數(shù)是不確定的; ⑤ 錯,因為 π 不是有理數(shù); ⑥ 錯,因為 0是自然 數(shù); ⑦ 正確,因為- 3是整數(shù); ⑧ 正確,因為 5是實數(shù). 5.由實數(shù)- a, a, |a|, a2所組成的集合最多含有 ( )個元素. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析:選 B 當(dāng) a= 0時,這四個數(shù)都是 0,所組成的集合只有一個元素 a≠0 時,a2= |a|=????? a, a0,- a, a0, 所以一定與 a或- a中的一個一致.故組成的集合中有兩個元素,故選 B. 二、填空題 6.方程 x2- 2x- 3= 0 的解集與集合 A 相等,若集合 A 中的元素是 a, b,則 a+ b=________. 解析: ∵ 方程 x2- 2x- 3= 0的解集與集合 A相等, ∴ a, b是方程 x2- 2x- 3= 0的兩個根, ∴ a+ b= 2. 答案: 2 7.已知集合 A 是由偶數(shù)組成的,集合 B 是由奇數(shù)組成的,若 a∈ A, b∈ B,則 a+b________A, ab________A. (填 ∈ 或 ?). 解析: ∵ a是偶數(shù), b是奇數(shù), ∴ a+ b是奇數(shù), ab是偶數(shù), 故 a+ b?A, ab∈ A. 答案: ? ∈ 8.若集合 A是不等式 x- a0 的解集,且 2?A,則實數(shù) a的取值范圍是 ________. 解析: ∵ 2?A, ∴ 2- a≤0 ,即 a≥2. 答案: a≥2 三、解答題 9.設(shè)集合 A中含有三個元素 3, x, x2- 2x. (1)求實數(shù) x應(yīng)滿足的條件; (2)若- 2∈ A,求實數(shù) x. 解: (1)由集合中元素的互異性可知, x≠3 ,且 x≠ x2- 2x, x2- 2x≠3. 解之得 x≠ - 1且 x≠0 ,且 x≠3. (2)∵ - 2∈ A, ∴ x=- 2或 x2- 2x=- 2. 由于 x2- 2x= (x- 1)2- 1≥ - 1, ∴ x=- 2. 10.?dāng)?shù)集 M滿足條件:若 a∈ M,則 1+ a1- a∈ M(a≠177。1 , n∈ N} B. {x|x= (- 1)n(2n- 1), n∈ N} C. {x|x= (- 1)n(2n+ 1), n∈ N} D. {x|x= (- 1)n- 1(2n+ 1), n∈ N} (2)設(shè)集合 B=??????????x∈ N??? 62+ x∈ N . ① 試判斷元素 1,2與集合 B的關(guān)系; ② 用列舉法表示集合 B. (1)[解析 ] 觀察規(guī)律,其絕對值為奇數(shù)排列,且正負相間,且第一個為正數(shù),故應(yīng)選C. [答案 ] C (2)[解 ] ① 當(dāng) x= 1時, 62+ 1= 2∈ N. 當(dāng) x= 2時, 62+ 2= 32? 1∈ B,2?B. ②∵ 62+ x∈ N, x∈ N, ∴ 2+ x只能取 2,3,6. ∴ x只能取 0,1,4.∴ B= {0,1,4}. [類題通法 ] 判斷元素與集合間關(guān)系的方法 (1)用列舉法給出的集合,判斷元素與集合的關(guān)系時,觀察即得元素與集合的關(guān)系. 例如,集合 A= {1,9,12},則 0?A,9∈ A. (2)用描述法給出的集合,判斷元素與集合的關(guān)系時就比較復(fù)雜.此時,首先明確該集合中元素的一般符號是什么,是實數(shù)?是方程? ?? ,其次要清楚元素的共同特征是什么,最后往往利用解方程的方法判斷所給元素是否滿足集合中元素的特征,即可確定所給元素與集合的關(guān)系. [活學(xué)活用 ] 定義集合 A, B的一種運算: A*B= {x|x= x1+ x2,其中 x1∈ A, x2∈ B},若 A= {1,2,3},B= {1,2},試用列舉法表示出集合 A*B. 解:當(dāng) x1= 1時, x2可以取 1或 2,則 x1+ x2= 2或 3; 當(dāng) x1= 2時, x2可以取 1或 2,則 x1+ x2= 3或 4; 當(dāng) x1= 3時, x2可以取 1或 2,則 x1+ x2= 4或 5. ∴ A*B= {2,3,4,5}. [典例 ] 集合 A= {x|ax2+ 2x+ 1= 0, a∈ R}中只有一個元素,求 a的取值范圍. [解 ] 當(dāng) a= 0時,原方程變?yōu)?2x+ 1= 0, 此時 x=- 12,符合題意; 當(dāng) a≠0 時,方程 ax2+ 2x+ 1= 0為一元二次方程, Δ = 4- 4a= 0,即 a= 1,原方程的解為 x=- 1,符合題意. 故當(dāng) a= 0或 a= 1時,原方程只有一個解,此時 A中只有一個元素. [多維探究 ] 解答上面例題時, a= 0這種情況極易被忽視,對于方程 “ ax2+ 2x+ 1= 0” 有兩種 情況:一是 a= 0,即它是一元一次方程;二是 a≠0 ,即它是一元二次方程,也只有在這種情況下,才能用判別式 Δ 來解決問題. 求解集合與方程問題時,要注意相關(guān)問題的求解,如: (1)在本例條件下,若 A中至多有一個元素,求 a的取值范圍. 解: A中至多含有一個元素,即 A中有一個元素或沒有元素. 當(dāng) A中只有一個元素時,由本例可知, a= 0或 1. 當(dāng) A中沒有元素時, Δ = 4- 4a0,即 a1. 故當(dāng) A中至多有一個元素時, a的取值范圍為 a= 0或 a≥1. (2)在本例條件下,若 A中至少有一個元素,求 a的取值范圍. 解: A中至少有 一個元素,即 A中有一個或兩個元素. 由例題可知,當(dāng) a= 0或 a= 1時, A中有一個元素; 當(dāng) A中有兩個元素時, Δ = 4- 4a0,即 a1. ∴ A中至少有一個元素時, a的取值范圍為 a≤1. (3)若 1∈ A,則 a為何值? 解: ∵ 1∈ A, ∴ a+ 2+ 1= 0,即 a=- 3. (4)是否存在實數(shù) a,使 A= {1},若存在,求出 a的值;若不存在,說明理由. 解: ∵ A= {1}, ∴ 1∈ A, ∴ a+ 2+ 1= 0,即 a=- 3. 又當(dāng) a=- 3時 ,由 - 3x2+ 2x+ 1= 0,得 x=- 13或 x= 1, 即方程 ax2+ 2x+ 1= 0存在兩個根- 13和 1,此時 A= {- 13, 1},與 A= {1}矛盾. 故不存在實數(shù) a,使 A= {1}. [隨堂即時演練 ] 1.方程組????? x+ y= 1,x2- y2= 9 的解集是 ( ) A. (- 5,4) B. (5,- 4) C. {(- 5,4)} D. {(5,- 4)} 解析:選 D 解方程組????? x+ y= 1,x2- y2= 9, 得 ????? x= 5,y=- 4, 故解集為 {(5,- 4)},選 D. 2.下列四個集合中,不同于另外三個的是 ( ) A. {y|y= 2} B. {x= 2} C. {2} D. {x|x2- 4x+ 4= 0} 解析:選 B 集合 {x= 2}表示的是由一個等式組成的集合,其它選項所表示的集合都是含有一個元素 2. 3.給出下列說法: ① 直角坐標平面內(nèi),第一、三象限的點的集合為 {(x, y)|xy0}; ② 方程 x- 2+ |y+ 2|= 0的解集為 {2,- 2}; ③ 集合 {(x, y)|y= 1- x}與 {x|y= 1- x}是相等的. 其中正確的是 ________(填寫正確說法的序號 ). 解析:直角坐標平面內(nèi),第一、三象限的點的橫、縱坐標是同號的,且集合中的代表元素為點 (x, y),故 ① 正確; 方程 x- 2+ |y+ 2|= 0 等價于????? x- 2= 0,y+ 2= 0, 即 ????? x= 2,y=- 2, 解為有序?qū)?數(shù)對 (2,-2),解集為 {(2,- 2)}或 {(x, y)|????? x= 2y=- 2 },故 ② 不正確; 集合 {(x, y)|y= 1- x}的代表元素是 (x, y),集合 {x|y= 1- x}的代表元素是 x,前者是有序?qū)崝?shù)對,后者是實數(shù),因此這兩個集合不相等,故 ③ 不正確. 答案: ① 4.若 A= {- 2,2,3,4}, B= {x|x= t2, t∈ A},用列舉法表示集合 B為 ________. 解析:由題意可知集合 B是由 A中元素的平方構(gòu)成的,故 B= {4,9,16}. 答案: {4,9,16} 5.用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希? (1)一年中有 31天的月份的全體; (2)大于- ; (3)梯形的全體構(gòu)成的集合; (4)所有能被 3整除的數(shù)的集合; (5)方程 (x- 1)(x- 2)= 0的解集; (6)不等式 2x- 15的解集. 解: (1){1月, 3月, 5月, 7月, 8月, 10 月, 12月 }. (2){- 3,- 2,- 1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12}. (3){x|x是梯形 }或 {梯形 }. (4){x|x= 3n, n∈ Z}. (5){1,2}. (6){x|2x- 15}. [課時達標檢測 ] 一、選擇題 1.下列各組中的兩個集合 M和 N,表示同一集合的是 ( ) A. M= {π} , N= { 59} B. M= {2,3}, N= {(2,3)} C. M= {x|- 1x≤1 , x∈ N}, N= {1} D. M= {1, 3, π} , N= {π , 1, |- 3|} 解析:選 D 選項 A中兩個集合的元素互不相等,選項 B中兩個集合一個是數(shù)集,一個是點集,選項 C中集合 M= {0,1},只有 D是正確的. 2.已知 x, y, z 為非零實數(shù),代數(shù)式 x|x|+ y|y|+ z|z|+ |xyz|xyz 的值所組成的集合是 M,則下列判斷正確的是 ( ) A. 0?M B. 2∈ M C.- 4?M D. 4∈ M 解析:選 D 當(dāng) x, y, z都大于零時,代數(shù)式的值為 4,所以 4∈ M,故選 D. 3.集合 {x∈ N*|x- 32}的另一種表示法是 ( ) A. {0,1,2,3,4} B. {1,2,3,4} C. {0,1,2,3,4,5} D. {1,2,3,4,5} 解析:選 B ∵ x- 32, x∈ N*, ∴ x5, x∈ N*, ∴ x= 1,2,3, B. 4.已知集合 A= {x|x= 2m- 1, m∈ Z}, B= {x|x= 2n, n∈ Z},且 x x2∈ A, x3∈ B,則下列判斷不正確的是 ( ) A. x1178。 x3∈ B C. x1+ x2∈ B D. x1+ x2+ x3∈ A 解析:選 D 集合 A表示奇數(shù)集, B表示偶數(shù)集, ∴ x x2是奇數(shù), x3是偶數(shù), ∴ x1+ x2+ x3應(yīng)為偶數(shù),即 D是錯誤的. 5.設(shè) P= {1,2,3,4}, Q= {4,5,6,7,8},定義 P*Q= {(a, b)|a∈ P, b∈ Q, a≠ b},則P*Q中元素的個數(shù)為 ( ) A. 4 B. 5 C. 19 D. 20 解析:選 C 由題意知集合 P*Q的元素為點,當(dāng) a= 1時,集合 P*Q的元素為: (1,4),(1,5), (1,6), (1,7), (1,8)共 5個元素.同樣當(dāng) a= 2,3時集合 P*Q的元素個數(shù)都為 5個,當(dāng) a= 4時,集合 P*Q中元素為: (4,5), (4,6), (4,7), (4,8)共 4個.因此 P*Q中元素的個數(shù)為 19個,故選 C. 二、填空題 6.設(shè)集合 A= {1,- 2, a2- 1}, B= {1, a2- 3a,0},若 A, B相等,則實數(shù) a= ________. 解析:由集合相等的概念得????? a2- 1= 0,a2- 3a=- 2, 解得 a= 1. 答案: 1 7.已知集合 A= {x|2x+ a0},且 1?A,則實數(shù) a的取值范圍是 ________. 解析: ∵ 1?{x|2x+ a0},
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