【正文】 ∴ 2179。( － 5)－ 5＝ 0，所以 a＝－ 4，所以 {x|x2－ 4x＋ 4＝ 0}＝ {2}，所以集合中所有元素之和為 2. 答案： 2 三、解答題 9．已知集合 M＝ {－ 2,3x2＋ 3x－ 4， x2＋ x－ 4}，若 2∈ M，求 x. 解：當(dāng) 3x2＋ 3x－ 4＝ 2時，即 x2＋ x－ 2＝ 0，則 x＝－ 2或 x＝ ， x＝－ 2， x＝ 1均不合題意．當(dāng) x2＋ x－ 4＝ 2時，即 x2＋ x－ 6＝ 0，則 x＝－ 3或 ， x＝－ 3或 x＝ 2均合題意． ∴ x＝－ 3或 x＝ 2. 10． (1)已知集合 M＝ {x∈ N| 61＋ x∈ Z}，求 M； (2)已知集合 C＝ { 61＋ x∈ Z|x∈ N}，求 C. 解： (1)∵ x∈ N， 61＋ x∈ Z， ∴ 1＋ x應(yīng)為 6的正約數(shù)． ∴ 1＋ x＝ 1,2,3,6，即 x＝ 0,1,2,5. ∴ M＝ {0,1,2,5}． (2)∵ 61＋ x∈ Z，且 x∈ N， ∴ 1＋ x應(yīng)為 6的正約數(shù)， ∴ 1＋ x＝ 1,2,3,6，此時 61＋ x分別為 6,3,2,1， ∴ C＝ {6,3,2,1}． 1． 集合間的基本關(guān)系 子集 [提出問題 ] 具有北京市東城區(qū)戶口的人組成集合 A，具有北京市戶口的人組成集合 B. 問題 1： A中元素與集合 B有關(guān)系嗎？ 提示：有關(guān)系， A中每一個元素都屬于 B. 問題 2：集合 A與集合 B有什么關(guān)系？ 提示：集合 B包含集合 A. [導(dǎo)入新知 ] 子集的概念 定義 一般地，對于兩個集合 A， B，如果集合 A中 任意一個 元素都是集合 B中的元素，我們就說這兩個集合有 包含 關(guān)系，稱集合 A為集合 B的子集 記法與讀法 記作 A?B(或 B?A)，讀作 “ A含于 B”( 或 “ B包含 A”) 圖示 結(jié)論 (1)任何一個集合是它本身的子集，即 A?A. (2)對于集合 A， B， C，若 A?B，且 B?C，則 A?C [化解疑難 ] 對子集概念的理解 (1)集合 A是集合 B的子集的含義是：集合 A中的任何一個元素都是集合 B中的元素，即由 x∈ A能推出 x∈ {0,1}?{－ 1,0,1}，則 0∈ {0,1},0∈ {－ 1,0,1}． (2)如果集合 A中存在著不是集合 B的元素，那么集合 A不包含于 B，或 B不包含 時記作 A? B或 B?A. (3)注意符號 “ ∈ ” 與 “ ? ” 的區(qū)別： “ ?” 只用于集合與集合之間，如 {0}?寫成 {0}∈ N， “ ∈ ” 只能用于元素與集合之間．如 0∈ N，而不能寫成 0?N. 集合相等 [提出問題 ] 設(shè) A＝ {x|x是有三條邊相等的三角形 }， B＝ {x|x是等邊三角形 }． 問題 1：三邊相等的三角形是何三角形？ 提示：等邊三角形． 問題 2：兩集合中的元素相同嗎？ 提示：相同． 問題 3： A是 B的子集嗎？ B是 A的子集嗎？ 提示：是，是． [導(dǎo)入新知 ] 集合相等的概念 如果集合 A 是集合 B 的 子集 (A?B)，且集合 B 是集合 A 的 子集 (B?A)，此時，集合 A與集合 B中的元素是一樣的，因此，集合 A與集合 B相等，記作 A＝ B. [化解疑難 ] 對兩集合相等的認識 (1)若 A?B，又 B?A，則 A＝ B；反之，如果 A＝ B，則 A?B，且 B?兩個集合相等的方法，即欲證 A＝ B，只需證 A?B與 B?A同時成立即可． (2)若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān) . 真子集 [提出問題 ] 給出下列集合： A＝ {a， b， c}， B＝ {a， b， c， d， e}． 問題 1：集合 A與集合 B有什么關(guān)系？ 提示： A?B. 問題 2：集合 B中的元素與集合 A有什么關(guān)系？ 提示：集合 B中的元素 a， b， c都在 A中，但元素 d， e不在 A中． [導(dǎo)入新知 ] 真子集的概念 定義 如果集合 A?B，但存在元素 x∈ B，且 x?A，我們稱集合 A是集合 B的真子集 記法 記作 A B(或 B A) 圖示 結(jié)論 (1)A B且 B C，則 A C； (2)A?B且 A≠ B，則 A B [化解疑難 ] 對真子集概念的理解 (1)在真子集的定義中， A B首 先要滿足 A?B，其次至少有一個 x∈ B，但 x?A. (2)若 A不是 B的子集，則 A一定不是 B的真子集 . 空集 [提出問題 ] 一個月有 32天的月份組成集合 T. 問題 1：含有 32天的月份存在嗎？ 提示：不存在． 問題 2：集合 T存在嗎？是什么集合？ 提示：存在，是空集． [導(dǎo)入新知 ] 空集的概念 定義 我們把 不含任何元素 的集合，叫做空集 記法 ? 規(guī)定 空集是任何集合的 子集 ，即 ?? A 特性 (1)空集只有一個子集，即它的本身， ??? (2)A≠ ?，則 ? A [化解疑難 ] ?與 {0}的區(qū)別 (1)?是不含任何元素的集合； (2){0}是含有一個元素的集合， ? ． 集合間關(guān)系的判斷 [例 1] (1)下列各式中，正確的個數(shù)是 ( ) ① {0}∈ {0,1,2}； ② {0,1,2}?{2,1,0}； ③ ?? {0,1,2}； ④ ?＝ {0}； ⑤ {0,1}＝ {(0,1)}；⑥ 0＝ {0} A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 (2)指出下列 各組集合之間的關(guān)系： ① A＝ {－ 1,1}， B＝ {(－ 1，－ 1)， (－ 1,1)， (1，－ 1)， (1,1)}； ② A＝ {x|x是等邊三角形 }， B＝ {x|x是等腰三角形 }； ③ M＝ {x|x＝ 2n－ 1， n∈ N*}， N＝ {x|x＝ 2n＋ 1， n∈ N*}． (1)[解析 ]對于 ① ，是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)為 ；對于 ② ，實際為同一集合，任何一個集合是它本身的子集；對于 ③ ，空集是任何集合的子集；對于 ④ ， {0}是含有單元素 0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以 ? ；對于 ⑤ ， {0,1}是含有兩個元素 0與 1 的集合，而 {(0,1)}是以有序數(shù)組 (0,1)為元素的單元素集合，所以 {0,1}與 {(0,1)}不相等；對于 ⑥ ， 0與 {0}是 “ 屬于與否 ” 的關(guān)系，所以 0∈ {0}．故②③ 是正確的，應(yīng)選 B. [答案 ] B (2)[解 ]① 集合 A的代表元素是數(shù)，集合 B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對，故 A與 B之間無包含關(guān)系． ② 等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故 A B. ③ 法一：兩個集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于 n∈ N*，因此集合 M含有元素 “1” ，而集合 N不含元素 “1” ，故 N M. 法二 ：由列舉法知 M＝ {1,3,5,7， ?} ， N＝ {3,5,7,9， ?} ，所以 N M. [類題通法 ] 判斷集合間關(guān)系的方法 (1)用定義判斷． 首先，判斷一個集合 A中的任意元素是否屬于另一集合 B，若是，則 A?B，否則 A不是B的子集； 其次，判斷另一個集合 B中的任意元素是否屬于第一個集合 A，若是，則 B?A，否則 B不是 A的子集； 若既有 A?B，又有 B?A，則 A＝ B. (2)數(shù)形結(jié)合判斷． 對于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進行判斷，但要注意端點值的取舍． [活學(xué)活用 ] 能正確表示集合 M＝ {x∈ R|0≤ x≤2} 和集合 N＝ {x∈ R|x2－ x＝ 0}關(guān)系的 Venn 圖是( ) 解析：選 B 解 x2－ x＝ 0得 x＝ 1或 x＝ 0，故 N＝ {0,1}，易得 N M，其對應(yīng)的 Venn圖如選項 B所示 . 有限集合子集的確定 [例 2] (1)集合 M＝ {1,2,3}的真子集個數(shù)是 ( ) A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 (2)滿足 M?{1,2,3,4,5}的集合 M有 ________個． [解析 ] (1)集合 M的真子集所含有的元素的個數(shù)可以有 0 個， 1 個或 2個，含有 0 個為 ?，含有 1個有 3個真子集 {1}， {2}， {3}，含有 2個元素有 3個真子集 {1,2}{1,3}和 {2,3}，共有 7個真子集，故選 B. (2)由題意可得 M?{1,2,3,4,5}，可以確定集合 M必含有元素 1,2，且含有元素3,4,5中的至少一個，因此依據(jù)集合 M的元素個數(shù)分類如下： 含有三個元素： {1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}； 含有四個元素： {1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}； 含有五個元素： {1,2,3,4,5}． 故滿足題意的集合 M共有 7個． [答案 ] (1)B (2)7 [類題通法 ] 公式法求有限集合的子集個數(shù) (1)含 n個元素的集合有 2n個子集． (2)含 n個元素的集合有 (2n－ 1)個真子集． (3)含 n個元素的集合有 (2n－ 1)個非空子集． (4)含有 n個元素的集合有 (2n－ 2)個非空真子集． (5)若集合 A有 n(n≥1) 個元素，集合 C有 m(m≥1) 個元素，且 A?B?C，則符合條件的集合 B有 2m－ n個． [活學(xué)活用 ] 非空集合 S?{1,2,3,4,5}且滿足 “ 若 a∈ S，則 6－ a∈ S” ，則這樣的 集合 S 共有________個． 解析：由 “ 若 a∈ S，則 6－ a∈ S” 知和為 6的兩個數(shù)都是集合 S中的元素，則 ( ) 集合 S中含有 1個元素： {3}； 集合 S中含有 2個元素： {2,4}， {1,5}； 集合 S中含有 3個元素： {2,3,4}， {1,3,5}； 集合 S中含有 4個元素： {1,2,4,5}； 集合 S中含有 5個元素： {1,2,3,4,5}． 故滿足題意的集合 S共有 7個． 答案： 7 集合間關(guān)系的應(yīng)用 [例 3] 已知集合 A＝ {x|x－ 1或 x4}， B＝ {x|2a≤ x≤ a＋ 3}，若 B?A，求實數(shù) a 的取值范圍． [解 ] 當(dāng) B＝ ?時，只需 2aa＋ 3，即 a3； 當(dāng) B≠ ?時，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得????? a＋ 3≥2 a，a＋ 3－ 1 或 ????? a＋ 3≥2 a，2a4， 解得a－ 4或 2a≤3. 綜上可得，實數(shù) a的取值范圍為 a－ 4或 a2. [類題通法 ] 利用集合關(guān)系求參數(shù)應(yīng)關(guān)注 三點 (1)分析集合關(guān)系時，首先要分析、簡化每個集合． (2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗證端點值，做到準確無誤．一般含 “ ＝ ” 用實心點表示，不含 “ ＝ ” 用空心點表示． (3)此類問題還要注意 “ 空集 ” 的情況，因為空集是任何集合的子集． [活學(xué)活用 ] 已知集合 A＝ {x|1ax2}， B＝ {x|－ 1x1}，求滿足 A?B的實數(shù) a的取值范圍． 解： (1)當(dāng) a＝ 0時， A＝ ?，滿足 A?B. (2)當(dāng) a0時， A＝ {x|1ax2a}．又 ∵ B＝ {x|－ 1x1}且 A?B， 如圖作出滿足題意的數(shù)軸： ∴????? a0，1a≥ － 1，2a≤1 ，∴ a≥2. (3)當(dāng) a0時， A＝ {x|2ax1a} ∵ A?B，如圖所示， ∴????? a0，2a≥ － 1，1a≤1 ，∴ a≤ － 2. 綜上所述， a的取值范圍是 {a|a＝ 0或 a≥2 或 a≤ － 2}． [典例 ] 已知集合 A＝ {x|－ 2≤ x≤5} ， B＝ {x|m－ 6≤ x≤2 m－ 1}，若 A?B，求實數(shù) m 的取值范圍． [解 ] ∵ A?B， ∴????? 2m－ 1m－ 6，m－ 6≤ － 2，2m－ 1≥5 ，解得????? m－ 5，m≤4 ，m≥3 ， 故 3≤ m≤4. ∴ m的取值范圍是 {m|3≤ m≤4} ． [多維探究 ] 1．本例中，若 B?A，求實數(shù) m的取值范圍． 解： (1)當(dāng) B＝ ?時， m－ 62m－ 1，即 m－ 5 當(dāng) B≠ ?時，????? m－ 6≤2 m－ 1，m－ 6≥ － 2，2m－ 1≤5 ， ????? m≥ － 5，m≥4 ，m≤3 ， 即 m∈ ?. 故實數(shù) m的取值范圍是 {m|m－ 5}． 2．在本例中，若將 “ A?B” 改為 “ A B” ，求實數(shù) m的取值范圍． 解： ∵ A≠ B， ∴ 兩不等式端點不可能同時成立，故答案與本例一致．