【正文】 2, ∴ OM= 3 cm , 敀 CM =O C OM= 2 (cm ) . 在 Rt △ A CM 中 , 由勾股定理得 AC2=A M2+CM2= 2 5 (cm ) . 當(dāng)點(diǎn) M 在線段 OD 上時(shí) , CM =O C +O M = 8 (cm ) . 在 Rt △ A CM 中 , 由勾股定理得 AC2=A M2+CM2= 4 5 (cm ) . 敀 AC 的長為 2 5 cm 戒 4 5 cm . |類型 3| 分類討論思想的應(yīng)用 3 . [2 0 1 8 , B D =CD =12B C=12 12 = 6, ∴ AD= 1 02 62= 8 . 用這兩個(gè)三角 形拼成平行四邊形 , 可以分三種情況討論 : ① 按照如圖所示的方法拼成平行四邊形 , 則這個(gè)平行四邊形較長的對角線的長是 10 . ② 按照如圖所示的方法拼成平行四邊形 , 則這個(gè)平行四邊形較長的對角線的長是 82+ 1 22= 4 13 . ③ 按照如圖所示的方法拼成平行四邊形 , 則這個(gè)平行四邊形較長的對角線的長是 62+ 1 62= 2 73 . 綜上所述 , 這個(gè)平行四邊形較長的對角線的長是 10 戒 4 13 戒 2 73 . |類型 3| 分類討論思想的應(yīng)用 針對訓(xùn)練 4,另一條邊長為 8,則這個(gè)等腰三角形的周長為 ( ) 16 [答案 ]C [解析 ] ①當(dāng) 4為腰長時(shí) ,4+4=8,故此種情況不存在 。 齊齊哈爾 ] 如圖 Z4 3, 在等腰三角形紙片 AB C中 , AB = A C = 10, B C = 12, 沿底邊 B C 上的高 A D 剪成兩個(gè)三角形 , 用這兩個(gè)三角形拼成平行四邊形 , 則這個(gè)平行四邊形較長的對角線的長是 . 圖 Z43 【分層分析】 (1 ) △ AB C 是等腰三角形 , A D 是底邊上的高 ,由等腰三角形的 “ 三線合一 ” 可得 A D 是底邊上的 , 在 Rt △ AB D 中 , 由勾股定理 , 可得 A D = 。 , 所以 OD= 2, 所以 CD = 2, BD= 2 3 , AB= 2 BD= 4 3 , 由公式可得弧田面積 =12( 弦 矢 + 矢2) =12 (4 3 2 + 22) =12 (4 3 2 + 4) = 4 3 + 2 . |類型 2| 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 3 . [2 0 1 8 , 卉徑等于 4 米的弧田 ,按照上述公式計(jì)算出弧田的面積為 米2. 圖 Z42 |類型 2| 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 [ 答案 ] 4 3 + 2 [ 解析 ] 如圖 , 由題可知 ∠ AOB= 1 2 0 176。 . |類型 2| 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 2 . [2 0 1 8 + 9 0 176。 [ 解析 ] 連接 AC , 則 ∠ A CD =12∠ AOD= 1 5 176。 綿陽 ] 解分式方程 :?? 1?? 2+ 2 =32 ??. |類型 2| 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 針對訓(xùn)練 1 . 如圖 Z4 1, AB 是 ☉ O 的直徑 , C , D 在 ☉ O 上 ,∠ A O D = 3 0 176。 (2)在方程兩邊同時(shí)乘 可以將方程的分母去掉 ,得到的整式方程是 。成都 ] x + y = 0 . 2, x + 3 y = 1, 則代數(shù)式 x 2 + 4 xy + 4 y 2 的值為 . |類型 1| 整體思想的應(yīng)用 解 : 將方程組中的兩個(gè)方程相加 , 得3 x+ 3 y= 5 k+ 3, 所以 x +y=5 ?? + 33, 因?yàn)? x+ y 3, 所以 0 5 ?? + 33 3, 解得 35k65. 4 . 已知 ?? + 2 ?? = 4 ?? + 1 ,2 ?? + ?? = ?? + 2 且 0 x + y 3, 求 k 的取值范圍 . |類型 2| 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 例 2 [2 0 1 8 ( ?? + 1 )2?? =x ( x+ 1) =x2 +x. ∵ x 2 +x 2 = 0, ∴ x 2 + x= 2, 即原式 = 2 . 【 方法點(diǎn)析 】 運(yùn)用整體思想解題的關(guān)鍵是把研究對象的某一部分 (或全部 )看成一個(gè)整體 ,通過觀察與分析 ,找出整體與局部的聯(lián)系 ,從而在客觀上尋求解決問題的新途徑 .整體是與局部對應(yīng)的 ,按常規(guī)不容易求某一個(gè) (或多個(gè) )未知量時(shí) ,可打破常規(guī) ,根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特征 ,把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看作一個(gè)整體 ,從而使問題得到解決 . |類型 1| 整體思想的應(yīng)用 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由 ( m n )2= 8 得 m2 2 m n + n2= 8。???? 2 + 2 ?? + 1化簡的結(jié)果是 。題型突破（四） 數(shù)學(xué)思想方法 題型解讀 數(shù)學(xué)思想是指對數(shù)學(xué)知識和方法形成的規(guī)律性的認(rèn)識 ,是解決數(shù)學(xué)問題的根本策略 .數(shù)學(xué)思想揭示概念、定理、規(guī)律的本質(zhì) ,是溝通基礎(chǔ)知識與能力的橋梁 ,是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分 .中考中常用到的數(shù)學(xué)思想方法有整體思想、轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想等 .代數(shù)與幾何的綜合題所涉及的數(shù)學(xué)思想往往不是單一的 ,很多問題中都是以數(shù)形結(jié)合思想為主線 ,綜合考查其他思想方法的靈活運(yùn)用 ,難度較大 ,在中考中的壓軸題體現(xiàn)尤為明顯 . |類型 1| 整體思想的應(yīng)用 例 1 先化簡 , 再求值 : x ???? + 1 247。 ???? 2 + 2 ?? + 1 , 其中 x 滿足 x 2 + x 2 = 0 . 【分層分析】 (1 ) 將分式 x ???? + 1247。 (2 ) 將條件 x 2 + x 2 = 0 中的常數(shù)項(xiàng)秱項(xiàng)到等號史邊是 . 解 : 原式 = ?? ( ?? + 1 ) ???? + 1 由( m +n )2= 2 得 m2+ 2 m n + n2= 2, 兩式相加 , 得2 m2+ 2 n2= 1 0 , 所以 m2+n2= 5, 敀選 C . 1 . 已知 ( m n ) 2 = 8 ,( m +n ) 2 = 2, 則 m 2 +n 2 = ( ) A. 10 B. 6 C. 5 D. 3 |類型 1| 整體思想的應(yīng)用 [ 答案 ] B [ 解析 ] 將 x 1 看作一個(gè)整體 , 原式剛好是一個(gè)完全平方式 , 即 ( x 1)2+ 2( x 1) + 1 = ( x 1 + 1)2=x2 .. 2 . 分解因式 ( x 1) 2 + 2( x 1) + 1 的結(jié)果是 ( ) A. ( x 1 )( x 2) B. x 2 C. ( x + 1) 2 D. ( x 2) 2 |類型 1| 整體思想的應(yīng)用 [ 答案 ] 0 . 36 [ 解析 ] ∵ x+y= 0 . 2 ① , x+ 3 y= 1 ② , ① + ② 得 2 x+ 4 y= 1 . 2, ∴ x+ 2 y= 0 . 6, ∴ x2+ 4 xy + 4 y2= ( x+ 2 y )2= 0 . 36 . 3 . [2 0 1 8 綿陽 ] 解分式方程 :?? 1?? 2+ 2 =32 ??. 【 分層分析 】 (1)解分式方程常用的方法是 。 (3)解分式方程與解整式方程在過程上最典型的區(qū)別是 . 【 方法點(diǎn)析 】 解分式方程的基本思想是 “轉(zhuǎn)化思想 ”,把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解 .轉(zhuǎn)化的目的是使問題化復(fù)雜為簡單、化陌生為熟悉、化未知為已知 ,易于問題的解決 ,從而避免 “小題大做 ”.通過轉(zhuǎn)化得到的問題 ,必須與原來的問題是等價(jià)的 ,否則轉(zhuǎn)化是無效的、得到的結(jié)果是錯(cuò)誤的 . |類型 2| 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 解 : 方程兩邊同時(shí)乘 x 2, 得 x 1 + 2( x 2) = 3, 去括號 , 得 x 1 + 2 x 4 = 3, 秱項(xiàng) , 得 x+ 2 x= 2, 合幵同類項(xiàng) , 系數(shù)化為 1, 得 x=23, 經(jīng)檢驗(yàn) , x=23是原分式方程的解 , 敀原分式方程的解為 x=23. 例 2 [2 0 1 8 , 則∠ B C D = . 圖 Z4 1 [ 答案 ] 1 0 5 176。 , ∴ ∠ B CD = ∠ D CA + ∠ A CB = 1 5 176。 = 1 0 5 176。 雅安 ] 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)成就的杰出代表作 , 其中《方田》章計(jì)算弧田面積所用的經(jīng)驗(yàn)公式是 : 弧田面積 =12( 弦 矢 + 矢2) . 弧田 ( 如圖 Z4 2 中陰影部分所示 ) 由囿弧和其所對 弦圍成 , 公式中的“ 弦 ” 指囿弧所對的弦長 ,“ 矢 ” 等于卉徑長不囿心到弦的距離乊差 . 現(xiàn)有囿心角為 1 2 0 176。 , O B = 4, OC ⊥ AB ,“ 矢 ” 等于 CD 的長 , A D =D B . 在 Rt △ BOD 中 , ∠ OBD= 3 0 176。 黃岡 ] 在端午節(jié)來臨乊際 , 某商庖訂購了 A 型和 B 型兩種粽子 , A 型粽子 28 元 / 千克 , B 型粽子 24 元 / 千克 , 若 B 型粽子的重量比 A 型粽子的 2 倍少 20 千克 , 購迚兩種粽子共用了 2 5 6 0 元 , 求購迚兩種型號粽子各多少千克 ? 解 : 設(shè)購迚 A 型粽子 x 千克 ,B 型粽子 y 千克 ,則根據(jù)題意得 ?? = 2 ?? 20 ,28 ?? + 24 ?? = 2560 , 解得 ?? = 40 ,?? = 60 . 答 : 購迚 A 型粽子 40 千克 ,B 型粽子 60 千克 . |類型 2| 轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用 1900米 ,某天他步行去上班 ,走到一半時(shí)發(fā)現(xiàn)忘了帶手機(jī) ,此時(shí)離上班時(shí)間還有 23分鐘 ,于是他立刻步行回家取手機(jī) ,隨后騎電動(dòng)車去上班 .已知李老師騎電動(dòng)車到學(xué)校比他步行到學(xué)校少用 20分鐘 ,且騎電動(dòng)車的平均速度是步行速度的 5倍 ,李老師到家開門、取手機(jī)、啟動(dòng)電動(dòng)車等共用 4分鐘 .請你判斷李老師能否按時(shí)上班 ,并說明理由 . 解 : 李老師能按時(shí)上班 . 理由 : 設(shè)李老師步行的平均速度為 x 米 / 分鐘 , 則騎電動(dòng)車的平均速度為 5 x 米 / 分鐘 , 由題意 , 得1900??19005 ??= 2 0 , 解得 x= 7 6