微積分極限法問題詳析-展示頁
2025-06-16 19:22本頁面
【正文】 ε–β法。此處，我們可以再梳理一下傳統(tǒng)微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）在求導(dǎo)問題上的具體做法，以看清其運作的本質(zhì)： 承認(rèn)牛頓、萊布尼茨法會產(chǎn)生貝克萊悖論；為了解決這個悖論，傳統(tǒng)極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）首先“悄悄地”或無意中消去公式1左起第二個等號左邊項分母中的△x，得到該等號的右邊項，這就等于人為地也是武斷地取消了導(dǎo)數(shù)的原始公式（公式1左起第一個等號的右邊項）作為一個增量比值函數(shù)在△x=0點既無函數(shù)值、也無極限值的原始屬性，把兩個原本不絕對相等（也可以認(rèn)為由于數(shù)學(xué)中“相等”所要求的絕對性，這里根本就不相等）的數(shù)學(xué)項，用等號聯(lián)系了起來（公式1左起第二個等號兩邊）；令公式1中左起第二個等號的右邊項中的△x→0（其實這里根本就不用兜什么圈子，干脆就是△x=0），得到“它”的極限值2x，再一次強(qiáng)調(diào)，這個所謂的“極限值”不過是公式1左起第二個等號右邊項的極限值，而絕對不是該等號左邊項也就是導(dǎo)數(shù)的定義式的極限值，因此對此定義式而言只能認(rèn)為是個“偽極限”；明明這個“偽極限”就是在令△x=0時求出來的，卻因為看到此時畢竟公式1第一個等號右邊項分母上還有△x（要求其不能為0），而它又以等號與那個被消去分母上的△x的式子相連，因此棄之不顧也不行。顯然，由公式1左數(shù)第二個等號相連接的這兩個式子并不等價，相較于左邊而言，右邊丟失了關(guān)鍵信息，所以等號右邊不能取代左邊，等號嚴(yán)格講必須換成不等號?？傊?，極限原式也就是公式1左數(shù)第一個等號的右邊項，顯然具有兩個“特性”：比值特性和分子、分母共同趨0（盡管0點無值）特性。于是傳統(tǒng)的所謂極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）的本質(zhì)，不過是把一個本不是原增量比值函數(shù)的“極限值”（對這個“增量比值函數(shù)”而言，可以說是個“偽極限”）去充當(dāng)根本就沒有極限值（△x趨于0時）的原增量比值函數(shù)的所謂極限值。它只能是個“偽極限”。而如此一來，公式1右數(shù)第二個等號左邊的△x趨于0時右邊的△x等于0還能成立嗎？因為此項早有限制條件△x不能為0在先了（在公式1左數(shù)第二個等號嚴(yán)格成立的前提下）。如此差別，怎么可以劃等號？這在數(shù)學(xué)上不是什么有失嚴(yán)格的問題，干脆說就是錯的。而一個必須附加限制條件才能成立的等式，卻不去或沒有注明這個條件，該等式嚴(yán)格說是不能成立的，是錯的。而此處在求極限前已經(jīng)事先進(jìn)行了消去分母中的△x操作，而這個額外的操作顯然有意無意間等于人為取消了原導(dǎo)數(shù)定義式在△x趨于0時根本就沒有極限值的基本事實，因此就求極限而言，只能認(rèn)為是無效的）。或該比式在△x等于0時根本就不存在有意義的極限值。由此上式中左數(shù)第一個等號的右邊項，只能等于0/0。 上面公式1就是極限法求導(dǎo)數(shù)的最經(jīng)典的式子。 筆者在【文獻(xiàn)26】圍繞該文中的公式11也就是下面的公式1，已經(jīng)對此進(jìn)行了討論，實際上幾乎已經(jīng)得到正確的結(jié)論了，但可惜尚未明確。但在此文中，筆者經(jīng)分析發(fā)現(xiàn)，增量的比值函數(shù)在0點的極限根本就不存在，于是極限法賴以成立的依據(jù)就不存在了。更何況極限法的全部合理性，徹底依賴于這個極限在0點的存在性。在極限存在的前提下，單純從邏輯上講，這沒有問題。此問題的解決，必須要有新的思想。筆者經(jīng)分析得到結(jié)論，增量比值函數(shù)在0點的極限與函數(shù)值一樣，也不存在。 微積分極限法問題詳析 沈衛(wèi)國 （西北工業(yè)大學(xué)前邏輯與人工智能研究所，西安 710072）摘要：為了解決牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)法所產(chǎn)生的貝克萊悖論問題，微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）被提出。但后者成立的前提是這個極限必須存在。于是極限法并沒有也不可能解決根本問題。關(guān)鍵詞：微積分；極限；增量比值函數(shù)；貝克萊悖論；導(dǎo)數(shù) 微積分極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）的提出是為了解決（而且通常也被“主流”看法認(rèn)為已經(jīng)解決）牛頓、萊布尼茲求導(dǎo)法產(chǎn)生的貝克萊悖論的。但它顯然沒有回答既然這個增量比值函數(shù)在0點的極限值永不可達(dá)、只能無限接近，那么，我們是如何得到或“達(dá)到”這個永不可達(dá)的極限值的？此外，作為一個永遠(yuǎn)不能被實際“達(dá)到”、“取值”的極限值（只可以無限逼近），為什么它又可以作為一個“實體”參與各種實際計算的？就好像它已經(jīng)被實際“達(dá)到”了一樣。過去包括筆者在內(nèi)的所有文獻(xiàn)，均未見對此提出異議。以往那種本來就很牽強(qiáng)的以極限值（盡管還是永不可達(dá)的）取代增量比值函數(shù)在0點本無定義的函數(shù)值（為0/0）的做法也隨之徹底不能成立了。下面詳細(xì)分析這個問題。由此式右數(shù)第二個等號兩邊可知，當(dāng)△x趨于0時，其自身也就是△x本身明確等于0。因為同理，當(dāng)△x趨于0時，此項無論分子還是分母中的△x均為0，也就是當(dāng)△x趨于0時，整個比式的極限為0/0，也就是沒有極限。而此項是導(dǎo)數(shù)的直接定義式，其“優(yōu)先級”顯然高于上式中左數(shù)第二個等號右邊那項，也就是后者必須無條件地“服從”其本源式本身所具有的、或由此為其所限定的前提條件（二者顯然必須一致，等式才能嚴(yán)格成立。而事實上嚴(yán)格地說，式1左數(shù)第二個等號根本就不成立，因為其等號兩邊并不
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