微積分極限法問題詳析-文庫吧資料
2025-06-13 19:22本頁面
【正文】 這個(gè)“極限”值，但由前文分析我們現(xiàn)在知道，這個(gè)極限根本就不存在（△x=0點(diǎn)的），它與速度本身的值一樣，也是0/0，無意義。飛矢不動(dòng)悖論，就是問的在△x=0時(shí)，以恒定速度1運(yùn)動(dòng)（在這個(gè)具體的例子中）的“飛矢”，究竟是靜止還是運(yùn)動(dòng)？按以往極限論的觀點(diǎn)，△x=0時(shí)，雖然沒有函數(shù)值，也就是恒定速度值，但因?yàn)橛羞@個(gè)恒定速度的“極限”，也就是令這個(gè)極限值為△x=0點(diǎn)之值，并命名其為 “瞬時(shí)速度”。其量綱為“距離/時(shí)段”。再以自函數(shù)△y/△x(△y=△x)也就是△x/△x為例。事實(shí)上，我們可以將導(dǎo)函數(shù)看成一個(gè)特殊類型的泛函，只不過其過曲線上每點(diǎn)的函數(shù)，為線性且等值函數(shù)（等比函數(shù)，△x/△t不變，但△t可以隨意取值）而已，這的確迷惑了不少人。如果僅僅拘泥于在曲線上，二點(diǎn)合一與不合一，都不行?？傊?，傳統(tǒng)微積分（無論牛頓法還是“極限法”，本質(zhì)一樣）貝克萊悖論的產(chǎn)生本質(zhì)，還是源于導(dǎo)數(shù)定義中的雙點(diǎn)要求，同時(shí)導(dǎo)數(shù)又嚴(yán)格定義在曲線上一個(gè)點(diǎn)的基本事實(shí)。即由該直線的斜率（導(dǎo)數(shù)值），我們無法確定具體的哪個(gè)曲線，換言之，由某個(gè)具體的曲線的要素，比如曲線上二點(diǎn)間的縱、橫坐標(biāo)增量線段之比△y/△x，是得不到非其專有的該曲線切線斜率的（很多其它曲線也有這個(gè)切線斜率）。而過去的所有悖論、佯謬、疑問等等，蓋緣于此：以為曲線上涉及兩個(gè)點(diǎn)的極限就只能在曲線本身上解決。但前文已述，這個(gè)看法是錯(cuò)的，該點(diǎn)并無極限值。那么，極限在導(dǎo)數(shù)這個(gè)問題上，究竟還存在不存在？哪種意義上存在，哪種意義上不存在？我們可以明確地說，作為曲線上兩點(diǎn)合二為一的那個(gè)導(dǎo)數(shù)點(diǎn)上，已經(jīng)沒有非0增量了，因此，不能作為必須要有曲線上的兩個(gè)點(diǎn)間的增量的比值函數(shù)的極限；但過該曲線的導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的切線上的兩個(gè)點(diǎn)所構(gòu)成的斜率（增量比值,增量不可為0），卻正是曲線的割線斜率在曲線上二點(diǎn)趨于一點(diǎn)時(shí)的極限值。因此，也可以本質(zhì)地認(rèn)為，傳統(tǒng)微積分求導(dǎo)中的問題，是把導(dǎo)數(shù)看成是曲線上二點(diǎn)間的割線“段”（只是整個(gè)割線的一部分）的縱、橫坐標(biāo)增量的比值了，于是，當(dāng)曲線上二點(diǎn)趨于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)“線段”必然趨于0，因此產(chǎn)生0/0的問題；而筆者的求導(dǎo)，不過是只要求“過”曲線上二點(diǎn)的那個(gè)割線上的任意二點(diǎn)，于是在曲線上二點(diǎn)趨于一點(diǎn)時(shí)，這個(gè)直線上的二點(diǎn)不受限制，不會(huì)趨于一點(diǎn)，因此仍有求斜率的條件，也就是過曲線上一點(diǎn)的切線的斜率。盡管很多教科書中都早就簡單地把導(dǎo)數(shù)看成切線斜率了，但那只是指的數(shù)值相等。它只涉及曲線上的一個(gè)點(diǎn)，也就是所求導(dǎo)數(shù)點(diǎn)。但增量的比值函數(shù)本身要求必須一定要有兩個(gè)點(diǎn)，這是非0增量的本質(zhì)性要求，于是，在曲線上那個(gè)唯一點(diǎn)處還能夠滿足兩個(gè)點(diǎn)要求的，只有過該點(diǎn)的切線上的兩個(gè)點(diǎn)。這也就是我們說極限法有邏輯問題，但卻可以“歪打正著”產(chǎn)生正確結(jié)果的“理論”原因。我們求的實(shí)際就是它，而不是通常被誤解而會(huì)產(chǎn)生諸多邏輯問題的△y/△x。當(dāng)然我們有△y/△x=△g/△f，但由于△x=0時(shí)△f≠0，也就是當(dāng)曲線上的兩點(diǎn)“收縮”成一點(diǎn)時(shí)，原先是過曲線上二點(diǎn)的割線，此時(shí)變成了切線。注意這里是“任意”，不受曲線上那兩個(gè)點(diǎn)的限制，受該二點(diǎn)限制的是“割線段”，它的“長度”是會(huì)隨二點(diǎn)重合而為0的。這個(gè)增量是曲線上二點(diǎn)間的縱、橫坐標(biāo)值之差。至于如何解決所暴露出的問題，則是另一項(xiàng)任務(wù)了（詳見文獻(xiàn)227）。如此，也就沒有了什么悖論，有的只剩下了理論的赤裸裸的、非常明確的錯(cuò)誤。具體到求導(dǎo)數(shù)這個(gè)問題（無論牛頓法還是極限法），悖論的產(chǎn)生是沒有意識(shí)到不能消去分母的自變量△x再令其為0或趨于0再取極限。它們的產(chǎn)生或存在，正像一個(gè)悖論所通常顯示的那樣：說明理論在什么地方出了問題。后者與△x無關(guān)，因此當(dāng)然還是1，而前者由于前面公式1中右數(shù)第二個(gè)等號(hào)兩邊的關(guān)系可知，該極限為0/0，也就是根本沒有極限。于是△x/△x的極限就是01/0=0/0，也就是沒有極限。而且即使將其寫成1，我們也必須牢記它在△x=0時(shí)是無值的，并且其在△x=0時(shí)也是沒有極限值的，除非在該點(diǎn)這個(gè)函數(shù)本身的值也等于1。而且我們沒有權(quán)利要求當(dāng)△x≠0時(shí)只能寫成1而不能寫成............5/5，2/2，1/1，............等等（當(dāng)△x趨于0時(shí)）。但顯然，△x/△x與1是兩個(gè)不同的函數(shù)。事實(shí)上，堅(jiān)持實(shí)無窮觀的非標(biāo)準(zhǔn)分析與認(rèn)為是潛無窮觀的極限法（標(biāo)準(zhǔn)分析）的等價(jià)性也早已暗示了這個(gè)結(jié)論。如果堅(jiān)持潛無窮觀，永遠(yuǎn)不可能得到這個(gè)極限值。但從上面的分析可以看出，極限法不可能把潛無窮觀貫徹到底，它本質(zhì)上仍舊是實(shí)無窮觀下的一個(gè)方法。以上討論可以看作是“極限法”（現(xiàn)在看嚴(yán)格講應(yīng)該是“偽極限法”）沒有消除貝克萊悖論的一個(gè)證明。如果這種做法成立，那么，牛頓直接用消去原函數(shù)中的分母中△x再令這個(gè)新的式子中的△x=0得到2x去充當(dāng)該點(diǎn)的函數(shù)值的做法也沒有什么理由不成立（根本無須繞個(gè)大圈子以實(shí)際上的“偽極限”來解決貝克萊悖論問題）。簡評(píng)：可以看出，“極限法”（標(biāo)準(zhǔn)分析）聲稱的用增量比值函數(shù)在△x=0的極限值來充當(dāng)該函數(shù)在△x=0點(diǎn)本不存在之值來消除貝克萊悖論是不行的，因?yàn)樵谠擖c(diǎn)既無函數(shù)值，也無極限值。與其說由ε–β法確定了極限A，還不如說正是由于有了這個(gè)偽極限A才可以有這個(gè)
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