根軌跡繪制的基本法則-展示頁(yè)
2025-05-21 18:46本頁(yè)面
【正文】 每條根軌跡都起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)，終止于開(kāi)環(huán)零點(diǎn)或無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)。既然根軌跡是描述閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根（即閉環(huán)極點(diǎn)）在 s平面上的分布，那么，根軌跡的分支數(shù)就應(yīng)等于系統(tǒng)特征方程的階數(shù)。 3 繪制 根軌跡圖的基本規(guī)則 規(guī)則一、 根軌跡的分支數(shù)：根軌跡的分支數(shù)等于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù) n。例 422 )2)(1()5()()(????ssssKsHsG r要求畫出根軌跡。 某單位反饋系統(tǒng) 分析： 1個(gè)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)， 3個(gè)開(kāi)環(huán)極點(diǎn)， ,51 ??z ,01 ?p ,12 ??p 23 ??p0 ??j● 5 2 1 167。 根軌跡的分支數(shù)即根軌跡的條數(shù)。 )()(1 sHsG?閉環(huán)特征方程 0)2)(1()5(1 ??????ssssK r0)5()2)(1( ?????? sKsss r閉環(huán)系統(tǒng)的階次為 3 ，有 3條根軌跡 。 根軌跡是 Kr從 0→∞ 時(shí)的根變化軌跡，因此必須 起始于 Kr=0處，終止于 Kr=∞處 。 如果 n m, m條根軌跡趨向開(kāi)環(huán)的 m 個(gè)零點(diǎn)（稱為有限零點(diǎn)） ,而另 nm條根軌跡趨向無(wú)窮遠(yuǎn)處（稱為有限零點(diǎn)）。 如果 n m, 即開(kāi)環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有 n條根軌跡起始于開(kāi)環(huán)極點(diǎn) (稱為有限極點(diǎn) )外，還有 mn條根軌跡起始于無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn) (稱為無(wú)限極點(diǎn) )。 *規(guī)則三、 根軌跡的對(duì)稱性：根軌跡各分支是連續(xù)的，且對(duì)稱于實(shí)軸。 證明：（ 2）對(duì)稱性 由于實(shí)際的物理系統(tǒng)的參數(shù)都是實(shí)數(shù)，若它的特征方程有復(fù)數(shù)根，一定是對(duì)稱于實(shí)軸的共軛復(fù)根，因此 ,根軌跡總是對(duì)稱于實(shí)軸的。 例如系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)零、極點(diǎn)分布如圖。 ? 處在 G(s0)左邊的開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)提供的角度均為零， 相角條件由其右邊的零極點(diǎn)決定。 lπ(l=1,3,…) 成立。 )2)(1()5()()(????ssssKsHsG r規(guī)則四、 實(shí)軸上的根軌跡：在實(shí)軸的線段上存在根軌跡的條件是：其右邊開(kāi)環(huán)零點(diǎn)和開(kāi)環(huán)極點(diǎn)數(shù)目之和為奇數(shù) 0 ??j ● ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5 漸近線：根軌跡有 nm條漸進(jìn)線。 ● 對(duì)于位于根軌跡上某一動(dòng)點(diǎn) s0， ● 從各開(kāi)環(huán)零極點(diǎn)到這一點(diǎn)的向 量的相角隨 s0軌跡的變化而變化， ● 當(dāng) s0到達(dá)無(wú)窮遠(yuǎn)處，各相角相等， 令其為 ψ， 可寫成： ????? 1 8 0lnm ??● 進(jìn)而求出漸近線夾角： ,...3,1,180 ??? ??? lmnl???j圖 4－ 5 ● ● ● 0 ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5 1?2?4P5P0S由對(duì)稱性知， 漸近線一定交于實(shí)軸上，其交點(diǎn)實(shí)際上相當(dāng)于零極點(diǎn)的質(zhì)量重心。 漸近線與實(shí)軸夾角為： )2)(1()5()()(????ssssKsHsG r1 0 ● ﹣ 1 ﹣ 2 ﹣ 5 ??j規(guī)則六、 當(dāng)兩條根軌跡在復(fù)平面上相遇又分開(kāi)的點(diǎn)叫作分離點(diǎn)或會(huì)合點(diǎn)， 大多發(fā)生在 實(shí)軸 上（僅討論實(shí)根）。 ? 利用根軌跡的性質(zhì)可知，當(dāng)根軌跡出現(xiàn)在實(shí)軸 上兩相鄰極點(diǎn)間時(shí)，必有一 分離點(diǎn) 。 根軌跡的分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)：分離點(diǎn)與會(huì)合點(diǎn)是方程式 的根。 分離點(diǎn)－最大值，會(huì)合點(diǎn)－最小值。 (介紹后者 ) 0)( )(1)()(1 ???? sa sbKsGsH r在實(shí)軸根軌跡上，求使 Kr達(dá)到最大（最?。┲档?s 值 : 0)( )(39。 2 ???? sb sbsasbsadsdK r0)(39。 ?? sbsasbsa注意： 求出結(jié)果，需經(jīng)判斷，保留合理解。 )()(sbsaKr ??mn ??0180?求出重根角為 : 在例題 422中， )2)(1()5()()(????ssssKsHsG r)5()2)(1(?????ssssKr 523 23?????ssssdsdKr01030182 23 ???? sss0?2232)5()23()5)(263(?????????sssssss223)5(1030182??????ssss解出： ,4 4 321 ?????? sss對(duì)上圖的觀察，后兩個(gè)根不在根軌跡上，因此交點(diǎn)坐標(biāo)為（ ,j0） 處。 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)對(duì)應(yīng)于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)出現(xiàn)虛根。 ?虛根可
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