數(shù)列中的存在性問題-經(jīng)典(教師)-展示頁
2025-04-03 02:51本頁面
【正文】 量所具有的隱含范圍（如大于0）消元，進(jìn)而構(gòu)造一個(gè)不等式，解出另一個(gè)變量的范圍，再列出求出的被壓縮的范圍里的所有整數(shù)值，分別求出對(duì)應(yīng)的另一個(gè)存在性變量，最后進(jìn)行檢驗(yàn)。專題：數(shù)列中的存在性問題 單存在性變量解題思路：該類問題往往和恒成立問題伴隨出現(xiàn)（否則就是一個(gè)方程有解問題，即零點(diǎn)問題），可以先假設(shè)存在，列出一個(gè)等式，通過化簡(jiǎn)，整理成關(guān)于任意性變量（一般為n）的方程，然后n的系數(shù)為0，構(gòu)造方程，進(jìn)而解出存在性變量，最后檢驗(yàn)。例已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和為=，在數(shù)列{}中，=8，=0，問是否存在常數(shù)使得對(duì)任意，恒為常數(shù)，若存在求出常數(shù)和,若不存在說明理由. 解析：假設(shè)存在常數(shù)使得對(duì)任意，恒為常數(shù)，∵=，∴當(dāng)=1時(shí)，則==8，當(dāng)≥2時(shí)，===，當(dāng)=1適合，∴=，又∵=0， ∴=，∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為8，公比為的等比數(shù)列，∴==，則===，又∵對(duì)任意，恒為常數(shù)，∴=0，解得=2，∴==11，∴存在常數(shù)=2使得對(duì)任意，恒為常數(shù)=11.二、雙存在型變量 解題思路：先假設(shè)存在，根據(jù)題目條件，列出一個(gè)含有兩個(gè)變量（一般至少都為正整數(shù)）的等式，即轉(zhuǎn)化為一個(gè)數(shù)論中的雙整數(shù)問題，然后分離變量。例【2010南通一?！吭O(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和公式；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)公式為，問: 是否存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列？若存在，求出t和m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由. 【解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d. 由已知得 ………………2分即解得……………………………………………………………4分.故.…………………………………………………………………6分（2） 由（1），必須，即，………………………………………………………………8分.（3） 整理得，…………………………………………………………… 11分因?yàn)閙，t為正整數(shù)，所以t只能取2，3，5.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.故存在正整數(shù)t，使得成等差數(shù)列. ……………………………… 15分例設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，數(shù)列滿足.（Ⅰ）若成等比數(shù)列，試求的值；（Ⅱ）是否存在，使得數(shù)列中存在某項(xiàng)滿足成等差數(shù)列？若存在，請(qǐng)指出符合題意的的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：（Ⅰ）因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，……………………3分又當(dāng)時(shí)，適合上式，所以（）…………………4分 所以，則，由，得，解得（舍）或，所以………………7分（Ⅱ）假
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