恒成立與存在性問題的解題策略分析-展示頁
2025-04-03 02:09本頁面
【正文】 論），令在上的最小值為.⑴當(dāng)，即時(shí)， 又 不存在.⑵當(dāng)，即時(shí)， 又 ⑶當(dāng)，即時(shí)， 又 綜上所述，.變式2：若時(shí)，恒成立，求的取值范圍.解法一：分析：題目中要證明在上恒成立，若把2移到等號的左邊，則把原題轉(zhuǎn)化成左邊二次函數(shù)在區(qū)間時(shí)恒大于等于0的問題.例2 已知，若恒成立，求a的取值范圍.2—2略解：，即在上成立.⑴ ⑵ 綜上所述，.解法二：（運(yùn)用二次函數(shù)極值點(diǎn)的分布） ⑴當(dāng)，即時(shí)， 不存在.⑵當(dāng)，即時(shí)，⑶當(dāng)，即時(shí)， 綜上所述.此題屬于含參數(shù)二次函數(shù)，求最值時(shí)，對于軸變區(qū)間定的情形，對軸與區(qū)間的位置進(jìn)行分類討論；還有與其相反的，軸動區(qū)間定，方法一樣.對于二次函數(shù)在R上恒成立問題往往采用判別式法（如例例5），而對于二次函數(shù)在某一區(qū)間上恒成立問題往往轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在此區(qū)間上的最值問題變量分離型若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。f(x)0219。a0且D0或b/2aa且f(a)0f(x)0219。類型2：設(shè)在區(qū)間上恒成立（1） 當(dāng)時(shí)，上恒成立，上恒成立（2） 當(dāng)時(shí)，上恒成立上恒成立類型3：設(shè)在區(qū)間 (∞ , a]上恒成立。（1）若二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)大于0恒成立，則有（2）若是二次函數(shù)在指定區(qū)間上的恒成立問題，可以利用韋達(dá)定理以及根的分布知識求解。這類問題在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)涉及的知識比較廣泛，在處理上也有許多特殊性，也是近年來高考中頻頻出現(xiàn)的試題類型，希望同學(xué)們在日常學(xué)習(xí)中注意積累。等式中的恒成立問題，特別是多項(xiàng)式恒成立問題，常簡化為對應(yīng)次數(shù)的系數(shù)相等從而建立一個方程組來解決問題的。恒成立問題在解題過程中大致可分為以下幾種類型：①一次函數(shù)型；②二次函數(shù)型；③變量分離型；④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì)；⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象。m某表達(dá)式的值恒大于a等等…恒成立問題，涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法，有利于考查學(xué)生的綜合解題能力，在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。k某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R。. .. . ..“恒成立問題”與“存在性問題”的基本解題策略一、“恒成立問題”與“存在性問題”的基本類型恒成立、能成立、恰成立問題的基本類型恒成立問題的轉(zhuǎn)化：恒成立；能成立問題的轉(zhuǎn)化：能成立；恰成立問題的轉(zhuǎn)化：在M上恰成立的解集為M另一轉(zhuǎn)化方法：若在D上恰成立，等價(jià)于在D上的最小值，若在D上恰成立，則等價(jià)于在D上的最大值. 設(shè)函數(shù)、對任意的，存在，使得，則設(shè)函數(shù)、對任意的，存在，使得，則設(shè)函數(shù)、存在，存在，使得，則設(shè)函數(shù)、存在，存在，使得，則設(shè)函數(shù)、對任意的，存在，使得，設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上的值域?yàn)锳，g(x)在區(qū)間[c,d]上的值域?yàn)锽,則A204。B.若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象上方；若不等式在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間D上函數(shù)和圖象在函數(shù)圖象下方；恒成立問題的基本類型 在數(shù)學(xué)問題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問題,其表現(xiàn)形式通常有:j在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立。l某不等式的解為一切實(shí)數(shù)。因此也成為歷年高考的一個熱點(diǎn)。二、恒成立問題解決的基本策略 大家知道，恒成立問題分等式中的恒成立問題和不等式中的恒成立問題。（一）兩個基本思想解決“恒成立問題”思路 思路如何在區(qū)間D上求函數(shù)f(x)的最大值或者最小值問題,我們可以通過習(xí)題的實(shí)際,采取合理有效的方法進(jìn)行求解,通常可以考慮利用函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的圖像、二次函數(shù)的配方法、三角函數(shù)的有界性、均值定理、函數(shù)求導(dǎo)等等方法求函數(shù)f（x）的最值。（二）、賦值型——利用特殊值求解等式恒成立問題等式中的恒成立問題，常常用賦值法求解，特別是對解決填空題、選擇題能很快求得.例1．如果函數(shù)y=f(x)=sin2x+acos2x的圖象關(guān)于直線x= 對稱，那么a=（ ）. C . D. .略解：取x=0及x=，則f(0)=f(),即a=1，故選B.此法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從一般到特殊的轉(zhuǎn)化思想.例（備用）．由等式x4+a1x3+a2x2+a3x+a4= (x+1)4+b1(x+1)3+ b2(x+1)2+b3(x+1)+b4 定義映射f：(a1,a2,a3,a4)→b1+b2+b3+b4,則f：(4,3,2,1) → (
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