數(shù)學(xué)二次函數(shù)中的存在性問題-展示頁
2025-04-13 04:23本頁面
【正文】 （4，0）與C（0，3）代入得：，解得：，故直線AC解析式為y=﹣x+3，與拋物線解析式聯(lián)立得：，解得：或，則點(diǎn)D坐標(biāo)為（1，）；（3）存在，分兩種情況考慮：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，如答圖1所示：四邊形ADMN為平行四邊形，DM∥AN，DM=AN，由對稱性得到M（3，），即DM=2，故AN=2，∴N1（2，0），N2（6，0）；②當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，如答圖2所示：過點(diǎn)D作DQ⊥x軸于點(diǎn)Q，過點(diǎn)M作MP⊥x軸于點(diǎn)P，可得△ADQ≌△NMP，∴MP=DQ=，NP=AQ=3，將yM=﹣代入拋物線解析式得：﹣=﹣x2+3x，解得：xM=2﹣或xM=2+，∴xN=xM﹣3=﹣﹣1或﹣1，∴N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．綜上所述，滿足條件的點(diǎn)N有四個(gè)：N1（2，0），N2（6，0），N3（﹣﹣1，0），N4（﹣1，0）．2． 如圖，已知拋物線經(jīng)過A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原點(diǎn)O，頂點(diǎn)為C（1）求拋物線的函數(shù)解析式．（2）設(shè)點(diǎn)D在拋物線上，點(diǎn)E在拋物線的對稱軸上，且以AO為邊的四邊形AODE是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo)．（3）P是拋物線上第一象限內(nèi)的動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，是否存在點(diǎn)P，使得以P，M，A為頂點(diǎn)的三角形與△BOC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax2+bx+c（a≠0），將點(diǎn)A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：，解得：．故函數(shù)解析式為：y=x2+2x．（2）當(dāng)AO為平行四邊形的邊時(shí)，DE∥AO，DE=AO，由A（﹣2，0）知：DE=AO=2，若D在對稱軸直線x=﹣1左側(cè)，則D橫坐標(biāo)為﹣3，代入拋物線解析式得D1（﹣3，3），若D在對稱軸直線x=﹣1右側(cè)，則D橫坐標(biāo)為1，代入拋物線解析式得D2（1，3）．綜上可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為：（﹣3，3）或（1，3）．（3）存在．如圖：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根據(jù)勾股定理得：BO2=18，CO2=2，BC2=20，∵BO2+CO2=BC2，∴△BOC是直角三角形，假設(shè)存在點(diǎn)P，使以P，M，A為頂點(diǎn)的 三角形與△BOC相似，設(shè)P（x，y），由題意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，①若△AMP∽△BOC，則=，即x+2=3（x2+2x），得：x1=，x2=﹣2（舍去）．當(dāng)x=時(shí)，y=，即P（，），②若△PMA∽△BOC，則=，即：x2+2x=3（x+2），得：x1=3，x2=﹣2（舍去）當(dāng)x=3時(shí)，y=15，即P（3，15）．故符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，分別是P（，）或（3，15）．3. 如圖，直線y=2x+2與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，過點(diǎn)B的拋物線y=﹣x2+bx+c與直線BC交于點(diǎn)D（3，﹣4）．（1）求直線BD和拋物線的解析式；（2）在第一象限內(nèi)的拋物線上，是否存在疑點(diǎn)M，作MN垂直于x軸，垂足為點(diǎn)N，使
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