分類討論思想在解題中的應(yīng)用-展示頁(yè)
2025-04-02 12:26本頁(yè)面
【正文】 解綜合問(wèn)題的能力. 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因函數(shù)的單調(diào)性可能是單調(diào)遞增也可能是單調(diào)遞減所以要討論，其實(shí)質(zhì)就是討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)． 一般地可導(dǎo)函數(shù)的極值存在要求有兩個(gè)條件：一是方程在的定義域內(nèi)有解；二是在方程的根的兩邊導(dǎo)數(shù)的符號(hào)要相反．因此在利用導(dǎo)數(shù)求可導(dǎo)函數(shù)的極值時(shí)就要分兩層討論．例設(shè)函數(shù)的圖象是曲線，曲線與關(guān)于直線對(duì)稱．將曲線向右平移1個(gè)單位得到曲線，已知曲線是函數(shù)的圖象． （1）求函數(shù)的解析式； （2）設(shè)求數(shù)列的前項(xiàng)和，并求最小的正實(shí)數(shù)，使對(duì)任意都成立．解： ?。?）由題意知，曲線向左平移1個(gè)單位得到曲線，∴曲線是函數(shù)的圖象． 曲線與曲線關(guān)于直線對(duì)稱，∴曲線是函數(shù)的反函數(shù)的圖象． 的反函數(shù)為．． ?。?）由題設(shè)：， ． ?。佟 。凇 ∮散凇俚?， ?。 ‘?dāng) ?。 。 ‘?dāng)時(shí)，． ∴當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，恒成立． 當(dāng)時(shí)， ． 記，則當(dāng)大于比大的正整數(shù)時(shí)， ?。 ∫簿妥C明當(dāng)時(shí)，存在正整數(shù)，使得. 也就是說(shuō)當(dāng)時(shí)，不可能對(duì)一切都成立. ∴t的最小值為2.例（2007］= =. ∴g(x)在[2，＋∞上增函數(shù)，∴g(x)≥g(2)= 綜合①、②知，當(dāng)x0時(shí)，g(x)0，即|f(x)|. 故原方程沒(méi)有實(shí)解.例已知函數(shù) ?。?）當(dāng)a=2時(shí)，求使f（x）＝x成立的x的集合； ?。?）求函數(shù)y＝f (x)在區(qū)間[1，2]上的最小值.解：（1）由題意，． 當(dāng)時(shí)，由，解得或； 當(dāng)時(shí)，由，解得． 綜上，所求解集為． (2)設(shè)此最小值為m． ①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間[1，2]上， 因?yàn)?， 則是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，所以． ?、诋?dāng)時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，由知． ?、郛?dāng)時(shí)，在區(qū)間[1，2]上，． ?。 ∪?，在區(qū)間（1，2）上，則是區(qū)間[1，2]上的增函數(shù)，所以． 若，則． 當(dāng)時(shí)，則是區(qū)間[1，]上的增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，則是區(qū)間[，2]上的減函數(shù)， 因此當(dāng)時(shí)，或． 當(dāng)時(shí)，故， 當(dāng)時(shí)，故． 綜上所述，所求函數(shù)的最小值例設(shè)函數(shù)f(x)=x2＋｜x－a｜＋1，x∈R. (1)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性； (2)求函數(shù)f(x)的最小值．解：(1)當(dāng)a=0時(shí)，函數(shù)f(－x)=(－x)2＋｜－x｜＋1=f(x)， 此時(shí)f(x)為偶函數(shù)． 當(dāng)a≠0時(shí)，f(a)=a2＋1，f(－a)=a2＋2｜a｜＋1. f(－a)≠f(a)，f(－a)≠－f(a)． 此時(shí)函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)． （2）①當(dāng)x≤a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2－x＋a＋1=(x－)2＋a＋． 若a≤，則函數(shù)f(x)在(－∞，a］上單調(diào)遞減． 從而函數(shù)f(x)在（－∞，a上的最小值為f(a)=a2＋1． 若a＞，則函數(shù)f(x)在（－∞，a上的最小值為f()=＋a，且f()≤f(a)． ?、诋?dāng)x≥a時(shí)，函數(shù)f(x)=x2＋x－a＋1=(x＋)2－a＋． 若a≤－，則函數(shù)f(x)在［a，＋∞］上的最小值為f(－)=－a，且f(－)≤f(a)； 若a＞－，則函數(shù)f(x)在［a，＋∞)單調(diào)遞增． 從而函數(shù)f(x)在［a，＋∞］上的最小值為f(a)=a2＋1. 綜上，當(dāng)a≤－時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值為－a； 當(dāng)－＜a≤時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a2＋1； 當(dāng)a＞時(shí)，函數(shù)f(x)的最小值是a＋．沖刺練習(xí)一、選擇題1. 若，且，則實(shí)數(shù)p值范圍是（?。〢. B. C. D. 2. 函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（ ）A. B. C. D. 3．圓的切線方程中有一個(gè)是（?。〢．x－y＝0
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