【正文】 5 56 9 8 9WL ? ? ? ?? ?22 8 3 112 9 8 3WL ? ? ? ?4( ) 1 c o s s in5xxxa a a??? ??? ? ? ??? ? ? ? ???? ? ? ???例 3. 一維無限深勢阱（ ） 中的粒子處于狀態(tài) ax??0求 (1)粒子處于 內(nèi)的概率 。相應(yīng)的取值概率分別為 2?L ?zL? ? 222 21 5?6, 9zW L L c? ? ? ?? ? 222 31 1?1 2 , 3zW L L c? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?21 20 31315 1 1, , , ,33 3,Y Y YY? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ??（ 3）在狀態(tài) 上測量 得 后，狀態(tài) 已經(jīng)變到的 本征態(tài) 上，而它恰好是 的對應(yīng)本征值 的本征態(tài)上，所以這時再測量 必將得到確定值 ，或者說，測量值為 的概率是 1。 ? ?,? ? ?其次，計算各種條件之下各力學量的可能取值和取值概率。33 3c c c? ? ? ?其余的 。 ? ?,lmY ??0 , 1 , 2 , 3 ,0 , 1 , 2 , 3 , ,lml?? ? ? ? ?例 2. 若粒子處于狀態(tài) ? ? ? ? ? ? ? ?2 1 2 0 3 15 1 1, , , ,33 3Y Y Y? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?求（ 1）在 上分別測量 和 的可能取值與相應(yīng)的取值概率； ? ?,? ? ? ?zL2?L（ 2）在 上同時測量 和 ，測得 和 的概率； ? ?,? ? ? 2?L ?zL 221 2 , zLL??226, zLL??（ 3）先在 上測量 得到 后，緊接著測量 的可能取值與相應(yīng)的取值概率； ? ?,? ? ? 2?L ?zL212（ 4）先在 上測量 得到 后，緊接著測量 的可能取值與相應(yīng)的取值概率。 ( 3 )2 2 2 2zx y zL LH H H L L LI I I I? ? ? ? ?利用適當?shù)淖儞Q求出體系的能量本征值和相應(yīng)的本征態(tài)。 ? ?,lmY ???xp ?yp證： 為 的本征態(tài)，屬于本征值 ，則 ?zL m利用基本對易式 ?? ? ? ? ?,y z y y x xp L p x p y p i p?? ??? ? ?????在 態(tài)下求平均值，即得 ** 1 ?? ? ? ,x l m x l m l m y z l mp Y p Y d Y p L Y di ??? ? ? ?????? ?******11? ?? ?1?? ?? ? 0lm y z lm lm z y lmlm y lm z lm y lmlm y lm lm y lmY p L Y d Y L p Y diimY p Y d L Y p Y diimmY p Y d Y p Y dii? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ??????z lm lmL Y m Y?類似地，將對易式 ?? ? ? ? ?,x z x y x yp L p x p y p i p?? ??? ? ? ?????在 態(tài)下求平均值，可證 . ? 0yp ?? ?,lmY ??? ?,lmY ??? ?,lmY ??計算題范例 例 1. 設(shè)體系的哈密頓算符為 ? ?2 2 2 2 212? ? 11? ? ? ? ? ?( 1 ) 。dinger方程 *()x?22**2 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????根椐前面已證明的結(jié)論：一維束縛定態(tài)，能級非簡并，即 * ( ) ( )x C x???2* * *( ) ( ) ( ) ( )x C x C C x C x? ? ? ?? ? ?? ?221 ( ) 0 1 iC x C C e ??? ? ? ? ? ?01C? ? ? ?總可以選取 故 * ( ) ( )xx???于是有 例 2（第三章）證明厄密算符的本征值為實數(shù)。dinger方程 （ 1） ? ?1122 ()m V x E???? ??（ 2） ? ?2222 ()m V x E???? ??222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????以 2? 1?左乘式（ 1）， 左乘以（ 2），再相減，即得 ? ?2 1 1 2 2 1 1 200ddx? ? ? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ?1212???????于是有 故 12????常 數(shù)222 ( ) ( ) ( )2d V x x E xm d x ????? ? ?????在量子力學中，如不作特別的聲明，都假定勢能 取實函數(shù)，即 ()Vx* ( ) ( )V x V x?如果 滿足定態(tài) Schr246。 ? ?2 1 1 2 C? ? ? ????? 常 數(shù)所以 ? ? ? ?12 0xx??? ? ? ? ? ?對一維束縛定態(tài) 0C?則 證 : 設(shè) 分別為屬于能級 的束縛態(tài)波函數(shù)。 答：對于一定頻率 的電磁輻射，物體只能以 為單位吸收或發(fā)射它。 x x ?xp答：對易關(guān)系為 ，不確定關(guān)系為 。 ? ?,rt? ? ? 2,rt?答：物理上可觀測量對應(yīng)線性厄米算符。 例 3 （第二章） 波函數(shù) 是用來描述什么的？ 的物理含義？ ? ?,rt? ? ?,rt?答：波函數(shù) 是用來描述體系量子狀態(tài)的復函數(shù)。 例 4（第三章） 物理上可觀測量應(yīng)該對應(yīng)什么樣的算符？為什么？ 答：微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系所有的性質(zhì)。 3P 無磁場 無自旋假設(shè) 無磁場 考慮自旋軌道耦合 弱磁場 考慮自旋軌道耦合 強磁場 考慮了自旋，但忽略了 電子自旋與軌道的耦合 高分辨率的分光鏡 分辨率很高的光譜儀 高分辨率光譜儀 6條 4條 nm 3S 589 nm nm 2/33P2/13P2/13S2/1?2/3?2/1? 2/3?2/1? 2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?2/1?1?1?00001?1?D1 D2 ml ms 2/1?精細結(jié)構(gòu) 反常塞曼效應(yīng) 正常塞曼效應(yīng) 例 5（第三章）坐標 分量算符與動量 分量算符 的對易關(guān)系是什么？并寫出兩者滿足的不確定關(guān)系。 掌握無耦合表象和耦合表象的描述方式。 掌握電子自旋假設(shè)的表述內(nèi)容。 掌握簡單塞曼效應(yīng)、復雜塞曼效應(yīng)和光譜的精細結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的原因。 掌握全同粒子的概念、全同性原理的表述內(nèi)容。 掌握電子自旋算符及其本征態(tài)和本征值。 三個基本概念： 微分散射截面，總散射截面，散射振幅。 掌握態(tài)密度的概念。 掌握簡并定態(tài)微擾論求能量的一級微擾修正和零級波函數(shù)的方法。 掌握斯塔效應(yīng)產(chǎn)生的原因。 掌握希爾伯特空間（態(tài)空間）的概念。 掌握由算符矩陣求其本征值和本征矢的方法。 掌握算符在其自身表象中是一個對角矩陣，對角元即算符的本征值。 兩個定義 四個算符 兩類公式 第四章 態(tài)和力學量的表象 掌握態(tài)的表象的概念。 兩個假設(shè) 兩個定理 掌握厄密算符的定義；厄密算符的性質(zhì)。 1掌握測不準關(guān)系的主要內(nèi)容；均方偏差、均方根偏差的計算公式。 掌握系統(tǒng)在某一狀態(tài)下求力學量平均值的方法（直接計算積分、或通過求該狀態(tài)在力學量本征函數(shù)展開式的方法、或 HF定理）。 掌握角動量平方算符的本征值、本征函數(shù)。 掌握坐標、動量及角動量算符的對易關(guān)系式。 幾個重要概念 兩個原理 兩個假設(shè) 兩個模型 第三章 量子力學中的力學量 掌握動量算符及其本征函數(shù)、本征值。 掌握波函數(shù)統(tǒng)計解釋的表述及物理意義。 掌握基態(tài)、激發(fā)態(tài)的概念。 掌握簡并態(tài)（非簡并態(tài)）和簡并度的概念。 掌握波函數(shù)的物理內(nèi)涵；波函數(shù)的模平方的物理意義；波函數(shù)應(yīng)滿足的標準條件。 1掌握解一維無限深勢阱（能級、歸一化波函數(shù)）的步驟和方法。 四個飛躍 第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 掌握薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程。 由微觀粒子具有波粒二象的性質(zhì)這個基本觀念出發(fā)，運用物理邏輯推理的思維，可以推論出貫穿全部量子理論的 3 個基本特征： 概率解釋 、 量子化現(xiàn)象 、 不確定關(guān)系 。 掌握愛因斯坦的光量子假設(shè)的表述。 掌握德布羅意物質(zhì)波假設(shè)的表述；德布羅意關(guān)系式。2022年物理學院量子力學期終考試總復習課 考試時間：第二十周星期三下午 2： 30（ 1月 19號下午 2： 30） 考試地點： 西十二 N101（ 0801班） 西十二 N102（ 0802班） 考試方式：閉卷、 150分鐘 注意事項 只能提前 15分鐘 左右交卷 所有同學都要參加考試 不要夾帶任何復習資料 西十二 N103（ 0803班） 西十二 N104（ 0804班） 西十二 S101（ 0805班） 考試題型 簡答題（ 25分） 計算題（ 60分） 證明題（ 15分） 重要公式 本征值和本征態(tài)：（ a） 分立譜 一維無限深勢阱 一維線性諧振子 氫原子 能級 波函數(shù) 2( ) s i n , 0nnxx x aaa??? ? ???????22 22 , 1 , 2 ,2nE n na????1 , 0 , 1 , 2 ,2nE n n??? ? ??????? ? ? ? 2 /2n n nN H e ?? ?? ? ?,x????? ? ?422 2 2 2022ssn eeEn n a? ? ? ??? ? ? ?,n lm n l lmR r Y?? ? ?? ?22? ( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )( , , ) ( , ,? 1? )n l m n n l mn l m n l mn l m l mz nH r E rL l lLmrrrr? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????????平均值公式： 已經(jīng)歸一化 ? ?r?完備性公式 幾率幅公式 平均值公式 分立譜 連續(xù)譜 ? ? ? ?nnnr c r? ??? ? ? ? ?*nnc r r d? ?? ? ? ? ? ? ?2 *? ?nnnF f c r F r d??? ?? ? ?? ? ? ?ffr c r d f? ??? ? ? ? ?*ffc r r d? ?? ? ? ? ? ? ?2 *? ?fF f c d f r F r d???? ? ? ?? ? ? ?? ? 1 / 2?1( 2 )xxxxx p x pip xpp x p xxe??? ???（ b）連續(xù)譜 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?,n n n f fF r f r F r f r? ? ? ???? ( ) ( )n n nH x E x???a) 非簡并 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 0 0 000?, , 1 ,