數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文euclid空間上的線性泛函的內(nèi)積刻畫及推廣汪朋-展示頁
2025-01-25 15:58本頁面
【正文】 ）或；3）.證明 1）2）若，使得，有，則當(dāng)時，下設(shè).，有:，從而:，即，所以；反之 ，有:，即，于是.因此.再根據(jù)引理3和引理4知，由于，所以.2）3）當(dāng)時，此時3）顯然成立；當(dāng)時，則，故，所以，于是，令，則有，其中因此，而，所以.3）1）若，則令，結(jié)論自然成立.若，且，則，于是可設(shè)，對任何，令，則， 即 .，由于 ，所以 ，令，則 . 而的唯一性通過引理3是顯然的.證畢.由定理2知道，維Euclid空間上的線性泛函都能用內(nèi)積來刻畫，再結(jié)合定理3知該泛函為零函數(shù)或者其零空間的維數(shù)為，這一點在幾何空間中是有比較明確的幾何意義的（前面已分析）. Euclid空間上不能用內(nèi)積刻畫的線性泛函的存在性在上一段我們得到定理3這個重要結(jié)論，下面利用定理3來說明Euclid空間上確實存在線性泛函不能用內(nèi)積來刻畫.設(shè) ，則按多項式函數(shù)的加法和數(shù)乘構(gòu)成實數(shù)域上的線性空間，對于，定義內(nèi)積，易知按此內(nèi)積構(gòu)成一個Euclid空間，對于，我們再定義，不難驗證是上的線性泛函，下面我們就來證明不能用內(nèi)積來刻畫.事實上，根據(jù) 的定義知，2，3，. 現(xiàn)設(shè)則有 ，2，3，. （3）由（3）我們可以得到關(guān)于的齊次線性方程組 （4）該齊次線性方程組的系數(shù)行列式為Cauchy行列式其值為，于是齊次線性方程組（4）只有零解，即有由此得到，所以.又由于，因此，從而根據(jù)定理3知不能用的內(nèi)積來刻畫. 雙線性函數(shù)的內(nèi)積刻畫 本文在上面探討了用內(nèi)積來刻畫Euclid空間上的線性泛函的問題，下面我們對雙線性函數(shù)也作類似的探討.設(shè)是Euclid空間上的雙線性函數(shù)，對于，我們定義：，. （5）易知是上的線性泛函，通過這一點，我們可以得到下面的定理.定理4 設(shè)是Euclid空間上的雙線性函數(shù)，對于，是如（5），能用的內(nèi)積來刻畫，則存在的唯一線性變換，使得，有.證明 由于，能用的內(nèi)積來刻畫，結(jié)合引理3知，存在中唯一元素，使得，有，利用此我們可以定義： ，.首先由的唯一性知是到的映射；而與，一方面有： ，另一方面有： ，所以 ，即 .取，代入上式得 ，同理可證 . 是的線性變換.下面我們來證明的唯一性
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