【正文】 c osC A CA A CAAAAAv v v v vv l v lv l l vj? ? j? ? j? ? ? ?? ? ?? ? ?則桿的動(dòng)能 2211222 2 2 2 21 1 1 12 4 2 122 2 21123( c os ) ( )( c os )CCAAAAT m v Jm v l l v m lm v l l v?? ? j ?? ? j??? ? ? ?? ? ?vA ? j B A l vA vCA vC vA ? 運(yùn)動(dòng)分析 系統(tǒng)分析 1. 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 取質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程的矢量形式 ddm t ?v F在方程兩邊點(diǎn)乘 dr， 得 d dddm t ? ? ?v r F r因 dr＝ v dt， 于是上式可寫(xiě)成 ddm ? ? ?v v F r或 21d( ) δ2 m v W? 動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力的元功 。 試求當(dāng)桿 AB與鉛垂線的夾角為 j 時(shí) ， 桿的動(dòng)能 。 解：在橢圓規(guī)系統(tǒng)中滑塊 A和 B作平動(dòng) ， 曲柄OC作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) ， 規(guī)尺 AB作平面運(yùn)動(dòng) 。 1 si nrv O B r? ? a? ? ?1ddPmrlg? ? ?22221d d s in d22 rPrT m v rgl? a? ? ? ? ?桿 OA的動(dòng)能是 2 2 2 22200d s in d s in26ll P r P lT T rg l g?? aa? ? ? ???解：取出微段 dr到球鉸的距離為 r，該微段的速度是 微段的質(zhì)量 微段的動(dòng)能 運(yùn)動(dòng)分析 系統(tǒng)分析 O1 例 4 求橢圓規(guī)的動(dòng)能 ， 其中 OC、 AB為均質(zhì)細(xì)桿 ， 質(zhì)量為 m和2m， 長(zhǎng)為 a和 2a， 滑塊 A和 B質(zhì)量均為 m， 曲柄 OC的角速度為?， j = 60176。 v A B ? C 解： I 234AT M v?222111 2 2 3IlI m l m m l??? ? ?????2222112 6 s in 3A B I A BmvT I m v??? ? ?? ? 21 9412T M m v??總例 2 均質(zhì)細(xì)桿長(zhǎng)為 l，質(zhì)量為 m，上端 B靠在光滑的墻上，下端 A用鉸與質(zhì)量為 M半徑為 R且放在粗糙地面上的圓柱中心相連，在圖示位置圓柱作純滾動(dòng)，中心速度為 v，桿與水平線的夾角 ?=45o，求該瞬時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能。?＝ vC ,于是得 222121 ?CC JmvT ?? 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能的和 。 2. 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的算術(shù)和稱為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ， 即 221ii vmT ?? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 剛體是工程實(shí)際中常見(jiàn)的質(zhì)點(diǎn)系 ， 當(dāng)剛體的運(yùn)動(dòng)形式不同時(shí) ， 其動(dòng)能的表達(dá)式也不同 。 所以只需計(jì)算 T 與 F的功 。 分析：滑塊在任一瞬時(shí)受力如圖 。 常見(jiàn)力的功 3) 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上作用力的功 設(shè)作用在定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上 A點(diǎn)的力為 F, 將該力分解為 Ft、 Fn和 Fb， 常見(jiàn)力的功 當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，轉(zhuǎn)角 j與弧長(zhǎng) s的關(guān)系為 t c osF ??FddsR j?R為力作用點(diǎn) A到軸的垂距 。 常見(jiàn)力的功 2) 彈力的功 物體受到彈性力的作用 , 作用點(diǎn)的軌跡為圖示曲線 A1A2, 在彈簧的彈性極限內(nèi) , 彈性力的大小與其變形量 d 成正比 。 1) 重力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 m， 在重力作用下從 M1運(yùn)動(dòng)到 M2。 δ dW ??Fr 21dMMW ??? Fr稱為 矢徑法表示的功的計(jì)算公式 。力 F在微小弧段上所作的功稱為力的元功 , 記為 dW, 于是有 δ c os dW F s??? 力的功 M39。m 。 它表示力在一段路程上的累積作用效應(yīng) ，因此功為累積量 。 在介紹動(dòng)能定理之前 ， 先介紹有關(guān)的物理量：功與動(dòng)能 。 不同于動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理 ， 動(dòng)能定理是從能量的角度來(lái)分析質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題 ， 有時(shí)是更為方便和有效的 。機(jī)械效率 前兩章是以動(dòng)量和沖量為基礎(chǔ) ， 建立了質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)量的變化與外力及外力作用時(shí)間之間的關(guān)系 。第十三章 動(dòng)能定理 ? 力的功 ? 質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能 ? 動(dòng)能定理 ? 普遍定理的綜合應(yīng)用舉例 ? 功率 功率方程 本章以功和動(dòng)能為基礎(chǔ) ， 建立質(zhì)點(diǎn)或質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變和力的功之間的關(guān)系 ， 即動(dòng)能定理 。同時(shí) ， 它還可以建立機(jī)械運(yùn)動(dòng)與其它形式運(yùn)動(dòng)之間的聯(lián)系 。 引言 常力的功 設(shè)物體在常力 F作用下沿直線走過(guò)路程 s， 如圖 ，則力所作的功 W定義為 cosW F s?? ? ? ?Fs功是代數(shù)量 。 在國(guó)際單位制中 ， 功的單位為： J (焦耳 ), 1J＝ 1 N 變力的功 設(shè)質(zhì)點(diǎn) M在變力 F的作用下沿曲線運(yùn)動(dòng) ， 如圖 。 M1 M2 ? ds M dr F 力在全路程上作的功等于元功之和 0 c o s dsW F s?? ?上式稱為 自然法表示的功的計(jì)算公式 。 在直角坐標(biāo)系中 d d d dx y zF F F x y z? ? ? ? ? ?F i j k , r i j kδ d d dx y zW F x F y F z? ? ?21( d d d )M x y zMW F x F y F z? ? ?? 力的功 上兩式可寫(xiě)成矢量點(diǎn)乘積形式 上式稱為 直角坐標(biāo)法表示的功的計(jì)算公式 ， 也稱為 功的解析表達(dá)式 。 建立如圖坐標(biāo) ， 則 0 , 0 ,x y zF F F m g? ? ? ?代入功的解析表達(dá)式得 211 2 1 2( ) d ( )zzW m g z m g z z? ? ? ?? 常見(jiàn)力的功 力的功 M1 M2 M mg z1 z2 O x y z 對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系 ， 其重力所作的功為 1 2 1 2121212()()()()i i ii i i iCCCCW m g z zm z m z gMz Mz gMg z z? ? ?? ? ? ?????由此可見(jiàn) ， 重力的功僅與重心的始末位置有關(guān) ， 而與重心走過(guò)的路徑無(wú)關(guān) 。 設(shè)彈簧原長(zhǎng)為 l0 , 則彈性力為 00()k r l? ? ?Fr22111 2 0 0d ( ) dAAW k r l? ? ? ? ???F r = r rA1 A2 r2 r1 l0 O r0 r A d F A0 dr 常見(jiàn)力的功 于是 21221 2 0 1 0 2 01( ) d ( ) ( )2rrW k r l r k r l r l??? ? ? ? ? ? ????或 )(21 222112 dd ?? kW因?yàn)? 2011d d d ( ) d d22 rrr r r? ? ? ? ? ? ?rr r r r r彈性力作的功只與彈簧在初始和末了位置的變形量有關(guān) ， 與力的作用點(diǎn) A的軌跡形狀無(wú)關(guān) 。 力 F的元功為 ttδ d d d dzW F s F R Mjj? ? ? ?F r =Ft F r Fb Fn O z O1 A ? 力 F在剛體從角 j1轉(zhuǎn)到 j2所作的功為 2112 dzWMjj j? ?Mz可視為作用在剛體上的力偶 a 例 1 如圖所示滑塊重 P＝ N， 彈簧剛度系數(shù) k＝ N/cm， 滑塊在 A位置時(shí)彈簧對(duì)滑塊的拉力為 N，滑塊在 20 N的繩子拉力作用下沿光滑水平槽從位置 A運(yùn)動(dòng)到位置 B， 求作用于滑塊上所有力的功的和 。 由于 P與 N始終垂直于滑塊位移 ， 因此 ， 它們所作的功為零 。 先計(jì)算 T 的功： 解：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中 ， T 的大小不變 ， 但方向在變 ， 因此 T 的元功為 δ c os dTW T xa?22 15)20()20(c o s ???? xxaT 15 cm B A 20 cm T P F N 因此 T在整個(gè)過(guò)程中所作的功為 再計(jì)算 F的功： 由題意： 1 5 c m ??2 5 20 25 c md ? ? ?