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2025-01-23 08:10本頁面
【正文】 得基礎解系.1)0( 322 的全部特征值是對應于所以 ??? ??kpk例４ 證明：若 是矩陣 A的特征值， 是 A的屬于 的特征向量，則 ??x? ? .)1( 是任意常數(shù)的特征值是 mA mm?.,)2( 11 的特征值是可逆時當 ?? AA ?證明 ? ? xAx ???1? ? ? ? ? ? ? ?xAxxAAxA ???? ???? xxA 22 ???再繼續(xù)施行上述步驟 次，就得 2?m xxA mm ??.,征向量的特對應于是且的特征值是矩陣故 mmmm AxA ??可得由 xAx ??? ? ? ? xAxAAxA 111 ??? ?? ??xxA 11 ?? ?? ?? ? ,0,2 ??可逆時當 A., 1111的特征向量對應于是且的特征值是矩陣故 ???? ?? AxA.,., 121212121線性無關則各不相等如果向量依次是與之對應的特征個特征值的是方陣設定理mmmmppppppmA??????????證明 使設有常數(shù) mxxx , 21 ?.02211 ???? mm pxpxpx ?則 ? ? ,02211 ???? mm pxpxpxA ?即 ,0222111 ???? mmm pxpxpx ??? ?類推之，有 .0222111 ???? mmkmkk pxpxpx ??? ?? ?1,2,1 ?? mk ?二、特征值和特征向量的性質 把上列各式合寫成矩陣形式，得 ? ??????????????????11221112211111,mmmmmmmpxpxpx?????????????? ?0,0,0 ??于是有可逆從而該矩陣該行列式不等于不相等時當各式列陣的行列式為范德蒙行上式等號左端第二個矩.,0, i?? ? ? ? ,0,0,0, 2211 ?? ?mm pxpxpx? ?.,2,10 mjpx jj ???即 ,0?jp但 ? ?.,2,10 mjx j ??故., 21 線性無關所以向量組 mppp ?注意 １ . 屬于不同特征值的特征向量是線性無關 的． ２ . 屬于同一特征值的特征向量的非零線性 組合仍是屬于這個特征值的特征向量． ３ . 矩陣的特征向量總是相對于矩陣的特征 值而言的，一個特征值具有的特征向量不唯一； 一個特征向量不能屬于不同的特征值． 一、相似矩陣與相似變換的概念 .,., , 111的相似變換矩陣變成稱為把可逆矩陣進行相似變換稱為對行運算進對相似與或說矩陣的相似矩陣是則稱使若有可逆矩陣階矩陣都是設定義BAPAAPPABAABBAPPPnBA???1. 等價關系 ? ? ? ?? ?..2 2111211 PAPPAPPAAP ??? ?? ? ., .3 為正整數(shù)相似與則相似與若 mBABA mm二、相似矩陣與相似變換的性質 .本身相似與 AA., 相似與則相似與若 ABBA.,相似與則相似與相似與若CACBBA反身性)1()2( 對稱性傳遞性)3(證明 相似與 BA? ? PEPAPPEB ?? 11 ?? ????? ? PEAP ??? ? 1PEAP ??? ? 1.EA ???? ? PAPkPAPkPAkAkP ??? ???., 21 是任意常數(shù)其中 kkBAPPP ??? ? 1, 使得可逆陣., 1的特征值亦相同與從而式相同的特征多項與則相似與階矩陣若定理BABABAn推論 若 階方陣 A與對角陣 n????????????????n????21., 21 個特征值的即是則相似 nAn??? ?., 1 對角化這就稱為把方陣為對角陣使若可找到可逆矩陣階方陣對AAPPPAn???證明 , 1 為對角陣使假設存在可逆陣 ??? APPP? ? ., 21 npppPP ??用其列向
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