主成分分析-展示頁
2025-01-20 10:24本頁面
【正文】 出了 m個(gè)主成分，則第 i 原始變量信息的被提取率為：是 Fj 能說明的第 i 原始變量的方差是 Fj 提取的第 i 原始變量信息的比重 例 那么 X1， X2， ……X P各有多少信息分別 F1， F2， …… ， Fm被提取了 。四、原始 變量與主成分之間的相關(guān)系數(shù) 可見， 和 的相關(guān)的密切程度取決于對(duì)應(yīng)線性組合系數(shù)的大小。到底應(yīng)該選擇多少個(gè)主成分，在實(shí)際工作中，主成分個(gè)數(shù)的多少取決于能夠反映原來變量 80%以上的信息量為依據(jù)，即當(dāng)累積貢獻(xiàn)率 ≥80% 時(shí)的主成分的個(gè)數(shù)就足夠了。 2）累積貢獻(xiàn)率：前 k個(gè)主成分共有多大的綜合能力，用這 k個(gè)主成分的方差和在全部方差中所占比重來描述，稱為累積貢獻(xiàn)率。 三、精度分析 1）貢獻(xiàn)率：第 i個(gè)主成分的方差在全部方差中所占比重 ，稱為貢獻(xiàn)率 4 主成分的性質(zhì)一、均值二、方差為所有特征根之和 說明主成分分析把 P個(gè)隨機(jī)變量的總方差分解成為 P個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量的方差之和。第二主成分在約束條件 下，尋找第二主成分 因?yàn)樗? 則，對(duì) p維向量 ，有 所以如果取線性變換： 則 的方差次大。 如果第一主成分的信息不夠，則需要尋找第二主成分。時(shí)，有最大的方差 ?1。=u1時(shí)，即 下面我們來看，是否由 U的第一列元素所構(gòu)成為原始變量的線性組合是否有最大的方差。第一主成分設(shè) X的協(xié)方差陣為由于 Σ x為非負(fù)定的對(duì)稱陣，則有利用線性代數(shù)的知識(shí)可得，必存在正交陣 U，使得 其中 ?1， ?2， … ， ?p為 Σ x的特征根，不妨假設(shè)?1? ?2 ? … ??p 。3 主成分的推導(dǎo)及性質(zhì) 一、兩個(gè)線性代數(shù)的結(jié)論 若 A是 p階實(shí)對(duì)稱陣，則一定可以找到正交陣 U，使其中 是 A的特征根。 F簡化了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，抓住了主要矛盾。二維平面上的個(gè)點(diǎn)的方差大部分都?xì)w結(jié)在Fl軸上，而 F2軸上的方差很小。經(jīng)過上述旋轉(zhuǎn)變換原始數(shù)據(jù)的大部分信息集中到 Fl軸上，對(duì)數(shù)據(jù)中包含的信息起到了濃縮作用。 根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的公式： 旋轉(zhuǎn)變換的目的是為了使得 n個(gè)樣品點(diǎn)在Fl軸方向上的離 散程度最大，即 Fl的方差最大。? 如果我們將 xl 軸和 x2軸先平移，再同時(shí)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) ?角度，得到新坐標(biāo)軸 Fl和F2。顯然，如果只考慮 xl和 x2的方差和 x2由圖可以看出這 n個(gè)樣本點(diǎn)無論是沿著 xl設(shè)有 n個(gè)樣品，每個(gè)樣品有兩個(gè)觀測(cè)變量 xl和 x2，在由變量 xl和 x2為了方便，我們?cè)诙S空間中討論主成分的幾何意義。即? ? ?? ?????? ??? ???????? ???????? ????????主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸??? ??????? ??????????????? ??? ?????????主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?? ???? ????? ???????????????????? ????主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?? ? ?? ?????? ??? ???? ???? ????????????????主成分分析的幾何解釋平移、旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)軸?????????????????????????????????????? ?????????????????????滿足如下的條件：主成分之間相互獨(dú)立，即無重疊的信息。這種由討論多個(gè)指標(biāo)降為少數(shù)幾個(gè)綜合指標(biāo)的過程在數(shù)學(xué)上就叫做降維。2 （ 3）如何解釋主成分所包含的經(jīng)濟(jì)意義。主成分分析的目的是簡化變量，一般情況下主成分的個(gè)數(shù)應(yīng)該小于原始變量的個(gè)數(shù)。這些綜合指標(biāo)就稱為主成分。當(dāng)分析中所選擇的經(jīng)濟(jì)變量具有不同的量綱，變量水平差異很大，應(yīng)該選擇基于相關(guān)系數(shù)矩陣的主成分分析。 很顯然，識(shí)辨系統(tǒng)在一個(gè)低維空間要比在一個(gè)高維空間容易得多。 在社會(huì)經(jīng)濟(jì)的研究中，為了全面系統(tǒng)的分析和研究問題，必須考慮許多經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，這些指標(biāo)能從不同的側(cè)面反映我們所研究的對(duì)象的特征，但在某種程度上存在信息的重疊，具有一定的相關(guān)性。Δ i l i l F1 F2 F3 i i tF1 1 更有意思的是，這三個(gè)變量其實(shí)都是可以直接測(cè)量的?；舅枷? 在進(jìn)行主成分分析后，竟以 ％的精度，用三新變量就取代了原 17個(gè)變量。167。主成分分析?主成分分析?主成分回歸?立體數(shù)據(jù)表的主成分分析 一項(xiàng)十分著名的工作是美國的統(tǒng)計(jì)學(xué)家斯通(stone)在 1947年關(guān)于國民經(jīng)濟(jì)的研究。他曾利用美國 1929一 1938年各年的數(shù)據(jù)，得到了 17個(gè)反映國民收入與支出的變量要素，例如雇主補(bǔ)貼、消費(fèi)資料和生產(chǎn)資料、純公共支出、凈增庫存、股息、利息外貿(mào)平衡等等。1根據(jù)經(jīng)濟(jì)學(xué)知識(shí)，斯通給這三個(gè)新變量分別命名為總收入 F總收入變化率 F2和經(jīng)濟(jì)發(fā)展或衰退的趨勢(shì) F3。斯通將他得到的主成分與實(shí)際測(cè)量的總收入 I、總收入變化率 ?I以及時(shí)間 t因素做相關(guān)分析，得到下表： F2 0 1 F3 0 0 1 t 1 主成分分析是把各變量之間互相關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)系進(jìn)行簡化分析的方法。 主成分分析試圖在力保數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對(duì)這種多變量的截面數(shù)據(jù)表進(jìn)行最佳綜合簡化，也就是說，對(duì)高維變量空間進(jìn)行降維處理。 (1) 基于相關(guān)系數(shù)矩陣還是基于協(xié)方差矩陣做主成分分析。 在力求數(shù)據(jù)信息丟失最少的原則下，對(duì)高維的變量空間降維，即研究指標(biāo)體系的少數(shù)幾個(gè)線性組合，并且這幾個(gè)線性組合所構(gòu)成的綜合指標(biāo)將盡可能多地保留原來指標(biāo)變異方面的信息。 要討論的問題是： （ 2） 選擇幾個(gè)主成分。關(guān)于保留幾個(gè)主成分，應(yīng)該權(quán)衡主成分個(gè)數(shù)和保留的信息。167。數(shù)學(xué)模型與幾何解釋 假設(shè)我們所討論的實(shí)際問題中，有 p個(gè)指標(biāo)，我們把這 p個(gè)指標(biāo)看作 p個(gè)隨機(jī)變量，記為 X1， X2， … ， Xp，主成分分析就是要把這 p個(gè)指標(biāo)的問題，轉(zhuǎn)變?yōu)橛懻?p個(gè)指標(biāo)的線性組合的問題，而這些新的指標(biāo) F1， F2， … ， Fk(k≤p ），按照保留主要信息量的原則充分反映原指標(biāo)的信息，并且相互獨(dú)立。主成分分析通常的做法是，尋求原指標(biāo)的線性組合 Fi。
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