1675曲線擬合的最小二乘法-展示頁(yè)
2024-10-24 14:35本頁(yè)面
【正文】 正交的函數(shù)族，即 則方程的解為 且平方誤差為 01( ) , ( ) , , ( )nx x x? ? ? { } ( 0 , 1 , , )ix i m?( ) ( 0 , 1 , , )ix i m? ?00 , 。3 . 3 8 0 7 3 1 . 5 8 4 3 5 0 . 5 2 8 8 6 1 0 ,abab? ? ? ?? ? ? ??8 0 .6 6 2 1 , 1 6 1 .6 8 2 2 .ab??( 1 ) ( ) ,( 8 0 . 6 6 2 1 1 6 1 . 6 8 2 2 )ty F tt?? ?( 1 ) ( 1 ) ( ) ( 1 , , 16 ) .i i iy F t i? ? ? ?1 ,bayt??9 2） 指數(shù)函數(shù)擬合 擬合曲線形如 兩邊取對(duì)數(shù) 為了確定 令 擬合數(shù)據(jù)的曲線仍為 用上例的方法計(jì)算出 從而 最后求得 各點(diǎn)誤差為 .b ty ae? l n l n .bya t??,ab 1? l n , l n , ,y y A a x t? ? ??( , ) ( , )i i i it y x y由 計(jì)算出 ，1 ?( ) .S x y A b x? ? ?4 .4 8 0 7 2 , 1 .0 5 6 7 ,Ab? ? ? ?31 1 . 3 2 5 3 1 0 ,Aae ?? ? ?3 1 . 0 5 6 7 / ( 2 )1 1 . 3 2 5 3 1 0 ( )ty e F t??? ? ?( 2 ) ( 2 ) ( ) ( 1 , , 1 6 ) .i i iy F t i? ? ? ?10 3)兩個(gè)模型的比較 本例經(jīng)計(jì)算可得 均方誤差為 由此可知 都比較小 ， 所以用 作擬合曲線較好 。 1)雙曲線函數(shù)擬合 雙曲線型： 即 ( ).y F t?時(shí)間t(分 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 濃度 103 4. 00 6. 40 8. 00 8. 80 9. 22 9. 50 9. 70 9. 86 10. 00 10. 20 10. 32 10. 42 10. 50 10. 55 10. 58 10. 60 1 ,bayt??.()ty a t b? ?8 為了確定 令 由數(shù)據(jù)表 t, y生成數(shù)據(jù)表 于是可用 的 線性函數(shù) 擬合數(shù)據(jù) 。 解：根據(jù)所給數(shù)據(jù)知 ， 可選擇線性函數(shù)作擬合曲 線 。 由求多元函數(shù)極值的必要條件 ， 有 ()Sx* ()y S x? 22?20100( , , , ) ( ) [ ( ) ( ) ]mnn i j j i iijI a a a x a x f x????????* * *01( , , , )na a a002 ( ) [ ( ) ( ) ] ( ) 0 ( 0 , 1 , , )mni j j i i k iijkIx a x f x xakn? ? ????? ? ?????3 若記 則上式可改寫為 這個(gè)方程稱為法方程，矩陣形式 其中 00 ( , ) ( ) ( ) ( )( , ) ( ) ( ) ( ) ( 0 , 1 , , )mj k i j i k iimk i i k i kix x xf x f x x d k n? ? ? ? ?? ? ????? ? ???0( , ) ( 0 , 1 , , )nk j j kja d k n??????.G a d?0 1 0 1( , , , ) , ( , , , )TTnna a a a d d d d??0 0 0 1 01 0 1 1 101( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , )nnn n n nG? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??????????4 由于 線性無(wú)關(guān)，故 ，方 程組存在唯一解 (Haar條件 ) 從而得到函數(shù) 的最小二乘解為 可證 故 是所求最小二乘解。 ( , )iixy( 0 , 1 , , )im? 01{ , , , }n? ? ? ??* ()y S x?2 2 * 2 22 ()0 0 1[ ( ) ] m in [ ( ) ]m m mi i i i iSxi i iS x y S x y????? ? ?? ? ? ? ?? ? ?0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )nnS x a x a x a x n m? ? ?? ? ? ? ?2 220( ) [ ( ) ( ) ]mi i iix S x f x??????( ) 0x? ?2 用 最小二乘法求曲線擬合的問題 ， 就是在 中求一函數(shù) ， 使 取的最小 。1 167。 5 曲線擬合的最小二乘法 一般的最小二乘逼近 (曲線擬合的最小二乘 法 )的一般提法是 : 對(duì)給定的一組數(shù)據(jù) ,要求在函數(shù)類 中找 一個(gè)函數(shù) ,使誤差平方和 其中 帶權(quán)的最小二乘法： 其中 是［ a, b］上的權(quán)函數(shù)。 它轉(zhuǎn)化為求多元函數(shù) 的極小點(diǎn) 問題 。 01, , , n? ? ? 0G ?* ( 0 , 1 , , ) ,kka a k n??()fx* * * *0 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )nnS x a x a x a x? ? ?? ? ? ?* 2 200( ) [ ( ) ( ) ] ( )
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