【正文】 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 [例 ] 將 n個(gè)人等可能的分配到 N(n≤N) 間房中的每一間去 ,試求下列事件的概率 : A={某指定的 n間房中各有一人 }。同時(shí) P(A)滿足公理化定義的三公理 . 2. 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 3. 古典概率的計(jì)算步驟 : (1). 弄清隨機(jī)試驗(yàn)是什么 ? (判斷有限性和等可能性 )。,)1(:)()(,)(,????ABPABBABAPBPAPBA互不相容的值求下列情況下的概率設(shè)隨機(jī)事件例()(0)(,1??????）則）（APBAPABPAB?)()()()3( ??? ABPAPBAP)()()()2(?????BPAPBAPAB?BABA ???解：)()( BAPBAP ??? )()(3 ABPAP ??由推論第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 例 某城市共發(fā)行 A,B,C三種報(bào)紙 .調(diào)查表明居民家庭中訂購(gòu) C報(bào)的占 30%.同時(shí)訂 A,B兩報(bào)的占 10%,同時(shí)訂 A,C及 B,C兩報(bào)的各8%,5%.三報(bào)都訂的占 3%.今在該城中任找一戶 .問(wèn)該戶 (1)只訂A,B兩報(bào) 。公理化定義嚴(yán)格 ,便于理論研究 ,但比較抽象 ,對(duì)農(nóng)科學(xué)生只需了解此定義 . 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 概率的性質(zhì) 0)(,0:1 ??PTH 即不可能事件的概率為),2,1(3: ???? iA i中取在公理證明????? ?????0)( ??? P0)(2 ??P：據(jù)公理?? )()()()(3 ???????? PPPP有：據(jù)公理第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 兩兩互不相容即若概率具有有限可加性 nAAATH ?,:2 21????niinii APAP11)()(?則???? ?? ?213: nn AA中取在公理證明??????11 iinii AA則??? ???? ?????0)()()(3111niiiinii APAPAP有：據(jù)公理?????niinii APAP11)()(?第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 )(1)(,:3 APAPAATH ??則的對(duì)立事件為設(shè)????? AAAA?:證明)(1)( APAP ??則1)()()()()(???????PAAPAPAPAAP第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 )()(,4 APBPABTH ?? 則：若BABAAB?????:證明)()()(,2 BAPBPAPTH ??由B A ??BAB ?而)( BP?)()( BPAP ??第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 1)(,:1 ?APA 有對(duì)任意事件推論）有時(shí)當(dāng)推論 BPAPBAPAB ()()(,:2 ????)()()(,:3 ABPAPBAPBA ???有對(duì)任意事件推論)()()()()()(ABPAPBAPABPAPBAP?????即則???? BAABBAABA ?? 且證明 :)()()( BAPABPAP ???第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 )()()()()(,:5加法定理有，對(duì)于任意兩個(gè)事件ABPBPAPBAPBATH????BA BAAB證明 : BAABBABA ???? ?)()()()( BAPABPBAPBAP ???? ?)()()( ABPABPBAP ?????)()()()()( ABPBPABPABPAP ?????)()()( ABPBPAP ???第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 )()()()()()()()(,:1A B CPBCPACPABPCPBPAPCBAPCBA?????????有對(duì)任意三個(gè)事件推論)()1()()()()(,:2211111121nnntjitjinjijiniiniinAAApAAApAApApApAAAn???????????????????? ???有個(gè)事件對(duì)任意一般地推論第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 一般加法公式中的求和號(hào)“ ∑”是對(duì)一切滿足 1≤i＜ j＜ t＜ …≤n 的下標(biāo)進(jìn)行的 .即積事件中各事件的排列次序是按下標(biāo)由小到大排列的 ,這樣 , n個(gè)事件按下標(biāo)排列雖有 n!種排法 ,但只取其中一種即 A1A2…A n. 由此可計(jì)算出一般加法公式中 ,含有總項(xiàng)數(shù) : 12)11( 01321?????????? ?nnnnnnnnnnCCCCCC ?注意 : 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 )()3(。).2(。1)(,)2(。1)()2( ??? pSp第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 二、古典概率 設(shè) E是試驗(yàn)， S是 E的樣本空間，若滿足 (1) S只含有有限多個(gè)樣本點(diǎn) 。 C={最多有 4人活著 }. 則 A與 B, A與 C, B與 C是否互不相容？ A, B, C的對(duì)立事件是什么？ 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 解（ 1） e0={無(wú)人活到 2022年 }, e1={有 1人活到 2022年 }, e2={有 2人活到 2022年 }, … … … … e100={有 100人活到 2022年 } 這就是 E的所有可能結(jié)果 (基本事件 ),E的樣本空間有上面 101個(gè)基本事件構(gòu)成 ,即 : },{ 100210 eeeeS ??第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 },{},{},{1 0 065432101 0 0643210eeeBCCeeeeeBSBeeeeeeeASA???????????(2) },{},{},{ 43210100655 eeeeeCeeeBeA ??? ?由于 : ??????? BCACeAB ,}{5故 A與 B相容 , A與 C, B與 C都互不相容 , 且 : 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率 一、概率的統(tǒng)計(jì)定義 設(shè)事件 A在 n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)中發(fā)生了 rA次 ,則比值 rA/n叫做 n次試驗(yàn)中 A發(fā)生的頻率 ,記作 : W (A) = r A / n 由定義知頻率具有如下性質(zhì) : 0)(1)(.21)(00?????wSwAw 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 注 意 : （ 1） 頻率越大 ,A發(fā)生的可能性越大，并且，頻率具有穩(wěn)定性，即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) n充分大時(shí)，頻率w(A)在 [0, 1]上的某一個(gè)確定的數(shù) p附近擺動(dòng)，即以 p為 “ 穩(wěn)定中心 ” ，這時(shí) w(A)≈p. （ 2） A發(fā)生的可能性大小稱為 A的概率 .由頻率的特性知，事件發(fā)生的可能性大小是事件本身所固有，不以人們主觀意志而改變的客觀屬性，于是我們可以借助于頻率來(lái)定義概率 . 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 定義 1 隨著試驗(yàn)次數(shù) n的增大 ,事件 A發(fā)生的頻率 w(A)在 [0, 1]上某一個(gè)數(shù) p附近擺動(dòng) ,則定義事件 A的概率為 p,記為 P(A)=P. 設(shè) E為試驗(yàn) , S為樣本空間 , 也表示必然事件 , Φ 表示不可能事件 , A, B, Ai (i=1,2, … )表示事件 ,則有 : 。 （ ii）事件 A不發(fā)生 , 則它的對(duì)立事件一定發(fā)生 。 (5)A, B, C中至少有兩個(gè)發(fā)生 。 (3)A, B, C中至少有一個(gè)發(fā)生 。AAAAAAAA??第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 設(shè) A, B為任意二事件 , 易證 : (1). ????????)(,)()(?? ? ?ABAABBAABAABBABA (2). )(, ??? ?? BAABBAABA (3). BABA ?? (4). BABA ???(5). })({),( ??????? ABAABABBA ?第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 [例 ] 設(shè) A, B , C為三事件 ,試用事件的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件 : (1)A, B C 都發(fā)生 。 E2的樣本空間 S2={1, 2, 3 ，一 , 二 }. 注 意 : （ i）樣本空間是由隨機(jī)試驗(yàn)決定的 ,不同的試驗(yàn)具有不同的樣本空間 。 有二只黃球 , 編號(hào)為一 , 二 .現(xiàn)從中任取一只球 , E1: 觀察顏色 。 E3的樣本空間 S3=[0 , 3)。 在 E2中 , A1={取的號(hào)碼數(shù)小于 3}是隨機(jī)事件 , A2={取的號(hào)碼數(shù)大于 0}是必然事件 , A3={取的號(hào)碼數(shù)小于 1}是不可能事件 , A4={取的號(hào)碼是 n}是基本事件 . [樣本空間 ] 在隨機(jī)試驗(yàn) E中 , 基本事件 (樣本點(diǎn) )的全體所組成的集合稱為樣本空間 ,記為 S(或 ). ?第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 [例 ] 求 [例 ]試驗(yàn)的樣本空間： E1的樣本空間 S1={H,T}。 顯然 , 上面給出的四個(gè)試驗(yàn)都是隨機(jī)試驗(yàn) ,它們均 滿足定義 ,且 4E是復(fù)合試驗(yàn) . 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 [隨機(jī)事件 ] 在一次試驗(yàn)中 ,可能發(fā)生也可能不發(fā)生 ,而在大量的重復(fù)試驗(yàn)中具有某種統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的事情稱為隨機(jī)事件 (簡(jiǎn)稱事件 ),常以大寫字母 A, B, C的表示 . [必然事件 ] 每次試驗(yàn)中必然發(fā)生的事情 . 記為 S(或 ) ?[不可能事件 ] 每次試驗(yàn)中必然不發(fā)生的事情 . 記為 ?第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 注 意 : （ i）必然事件與不可能事件本來(lái)是描述絕對(duì)型現(xiàn)象的 ,但為了方便 ,把它們看作特殊的隨機(jī)事件 。 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 :3E 一 個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有區(qū)間 [0,3)上諸數(shù)字 ,在桌面上旋轉(zhuǎn)它 ,當(dāng)它停下來(lái)時(shí) ,觀察圓周與桌面接著處的刻度 。同時(shí)滿足1,2,3的稱為可重復(fù)的 . 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 [復(fù)合試驗(yàn) ] 由一串 (簡(jiǎn)單 )試驗(yàn)依次各做一次所組成的試驗(yàn) . 記為 : nEEEE ???? ?21[例 ]: 設(shè)有如下試驗(yàn) : :1E 擲一枚硬幣 ,觀察正 (H)反 (T)出現(xiàn)的情況 。 進(jìn)行某一次試驗(yàn)之前 ,不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生 。返回 ★ 第一節(jié) 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 ★ 第二節(jié) 隨機(jī)事件的概率 ★ 第三節(jié) 條件概率 ★ 第四節(jié) 事件的獨(dú)立性 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 第一章 隨機(jī)事件及其概率 [教學(xué)要求 ]： 掌握隨機(jī)試驗(yàn) ,樣本空間和隨機(jī)事件的概念 。 熟悉事件乊間的關(guān)系與運(yùn)算； 正確理解隨機(jī)事件的 概率定義 ,熟記 概率性質(zhì)； 熟練掌握古典概型的三類問(wèn)題： (1).摸球問(wèn)題 ； (2).分房問(wèn)題 ； (3).隨機(jī)取數(shù)問(wèn)題 . 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 掌握條件概率和有關(guān)條件概率的三個(gè)公式： 乘法公式、全概率公式和貝葉斯 (逆概率 )公式 . 掌握隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)的 獨(dú)立性 概念 ,并能熟練運(yùn)用； 了解事件的 互逆 ,互不相容 (互斥 )和 相互獨(dú)立 三者乊間的關(guān)系 . [學(xué)時(shí)數(shù) ]： 10 第一章 隨機(jī)事件及隨機(jī)事件的概率 返回 第一節(jié) 隨機(jī)事件及其運(yùn)算 一、基本概念 [ 隨機(jī)試驗(yàn) ] 具有下列特性的試驗(yàn)稱為隨機(jī)試驗(yàn) (記為 E )： 試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行 . 試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè) ,但能事先明確試驗(yàn)的所有可能的結(jié)果 。 不滿足 3的試驗(yàn)稱為不可重復(fù)的隨機(jī)試驗(yàn) 。 :2E 袋中有編號(hào)為 1, 2, … , n 的 n個(gè)球 ,從中任取一個(gè)球 ,觀察球的編號(hào) 。 :4E 將一枚硬幣連拋三次 ,觀察正面出現(xiàn)的情況 。 （ ii）基本事件是最簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件 ,試驗(yàn)中的任何事件都是由基本事件組成的 . [基本事件 ] 試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果 .(也叫樣本點(diǎn) )記為 e. 第一章