【正文】 (2)5個樣品中至少有 2個一極品的概率 . 重貝努里試驗這是一個解 5:)()()()(1 41155005 ???? CC)()(),5()1( 32252 ??? Cb),5(),5(),5(),5()2( 5432 bbbb ???),5(),5(1 10 bb ???第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 例 從一個工廠的產(chǎn)品中進行重復(fù)抽樣檢查 ,共取 200件 .檢查結(jié)果其中有 4件次品 .問該廠廢品率 是否可信 ? 解 :這是一個 200重的貝努里試驗 .不妨假定廢品率為 ,則 200件產(chǎn)品中恰抽到 4件次品的概率為 : )()(),200( 196442022 ?? Cb 這表明 ,在 200件產(chǎn)品中抽到 4件次品的概率(小概率 ),屬于小概率事件 ,而它竟然發(fā)生了 .我們認(rèn)為 ,廢品率為 .. 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 例 設(shè)每次射擊打中目標(biāo)的概率為 ,如果射擊 5000 次 ,試求打中目標(biāo)的概率 . }{)5000,2,1}({目標(biāo)被擊中次擊中目標(biāo)第設(shè)???BiiA i ? 這表明 ,雖然小概率事件在一次試驗中幾乎不可能發(fā)生 ,而在多次重復(fù)試驗下 ,卻很容易發(fā)生 . )9 9 ()0 0 (1 5 0 0 0005 0 0 0 ??? C.5000: 重貝努里試驗這是一個解)()( 500021 AAAPBP ?????),5000(1 0b??第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 第一章小結(jié) : )(/)()(/)()1( SLALAPnrAP ??)()()()()()2( 加法定理ABPBPAPBAP ????),()()( 2111有限可加性兩兩互斥設(shè) nniinii AAAAPAP ?? ????)(/)()/()3( APABPABP ?)/()()/()()()4( BAPBPABPAPABP ??)()()()(。 有放回地抽查產(chǎn)品 ,觀察正品與次品 。 反乊不然 . （ iii）事件的獨立性常常不是根據(jù)定義來判別的 , 而是根據(jù)實際問題來判斷 . 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 )()()(,: BPAPABPAABABABA ???? 且證明 ?.。 (ii)對于古典概型 , 若 S由 n個基本事件組成 , A由 m個基本事件組成 ( m 0), AB由 k個基本事件組成 , 則 : mknmnkAPABPABP ???//)()()/(這時 , 把作為條件的事件 A=SA看作縮減的樣本空間 . 0)(,2,1,)()()/(12112121121??????iiiiiAAAPiAAAPAAAPAAAAP?????(iii)定義可推廣到 : 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 1)/(0)1( ?? ABP非負(fù)性1)/()2( ?? AP規(guī)范性????????11)/()/(,),2,1()3(iiiii ABPABPiB 則兩兩互不相容若事件可列可加性?0)/()4( ?? AP)/(1)/()5( ABPABP ??)/()/()/()/()6( 212121 ABBPABPABPABBP ????)/()/(]/)[(,)7( ABPACPABCPCB ???? 時當(dāng)?shù)谝徽? 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 驗證條件概率滿足概率的三公理 . 證 : (1) 1)( )( ?? AP ABP(2) 1)()()()()/( ???APAPAPASPASP????????11)/()( )(iiii ABPAPABP????? )()( ABABBB jiji ??(3) )()()()(]/)[(111 APABPAPABPABPiiiiii????????????)()(, APABPAAB ???)/( ABP?0第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 袋中有 16個球 ,顏色與材料如下表所示 : 現(xiàn)從中任意摸取一個球 , 若已知摸到的是紅球 , 那么這紅球是木質(zhì)球的概率是多少 ? 解 1: E : 從 16個球中人取一個 , 觀察顏色和材料 . 則 S含有 16個基本事件 . 設(shè) A={摸到的是紅球 }, B={摸到的是木質(zhì)球 } 題中要求的概論率是 P(B/A) 木質(zhì)球 玻璃球 紅球 2 4 3 7 黃球 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 162)(,83166)(,165)( ???? ABPBPAP?解 2: 因為 S含有 16個基本事件 , A含有 5個基本事件 , AB含有 2個基本事件 , 52)/( ?? ABP)()()/(APABPABP ??52?第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 二、乘法公式 設(shè) E是試驗 , S是 E的樣本空間 , A, B, Ai(i=1,2,… ,n) 是 E的事件 , 且 P(A) 0, (或 P(B) 0), P(A1A2… An1) 0, 則有 : )/()()(),/()()()1(BAPBPABPABPAPABP????)/()/()/()()()2(12121312121?? nnnAAAAPAAAPAAPAPAAAP???第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 )/()()(,21 121210 AAPAPAAPn ?? 顯然有時當(dāng)即結(jié)論成立時假設(shè)當(dāng) ,12 0 ?? kn時結(jié)論也成立現(xiàn)證當(dāng) kn ?)/()/()/()/()(1212211213121????kkkk AAAAPAAAAPAAAPAAPAP???用數(shù)學(xué)歸納法證明 :)2()/()/()/()()( 2211213121121 ??? ? kkk AAAAPAAAPAAPAPAAAP ???)/()()( 121121121 ??? ? kkkkk AAAAPAAAPAAAAP ???第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 一批燈泡共 100只 ,次品率為 10%. 不放回抽取三次 , 每次一只 , 求第三次 才 取得合各格品的概率 . 解 : 設(shè) Ai={第 i次取得合格品 }, i=1, 2, 3. 顯然所求的概率是 P(第一次取次品 且 第二次取次品 且 第三次取合格品 ) )( 321 AAAP??)( 1AP?)/()/()()( 213121321 AAAPAAPAPAAAP ?由乘法公式：?)/( 12 AAP?)/( 213 AAAP008 ????100109999890第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 七人抓鬮 , 其中 6張空票 , 1張戲票 . 求每個人抓到戲票的概率是多少 ? 解 1: 設(shè) Ai={第 i個人 才 抓到戲票 } Bi={第 i次抓到戲票 }. i=1, 2, … 7 )()( 212 BBPAP ?7111213243546576 ????????71)()(11 ??? BPAP)()( 76543217 BBBBBBBPAP ?716176???)/()( 121 BBPBP ????)/()/()/()( 617213121 BBBPBBBPBBPBP ????第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 解 2: 本題可理解為 , 一次一次把七張票無放回地取完 , 則樣本空間為 : 77A最后一人取得戲票為 : 6611 AA ?71)(7766117 ????AAAAP第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 某人有 5把鑰匙 ,其中有 2把房門鑰匙 ,但忘了開房門的是哪二把 ,只好逐把試開 .問此人在三次內(nèi)打開房門的概率是多少 ? 52)(1 ?AP5132.42.53)/()/()()( 213121321 ??? AAAPAAPAPAAAP10342.53)/()()( 12121 ??? AAPAPAAP)()( 321211 ???? AAAAAAPBP}{3,2,1}{: 三次內(nèi)打開房門次打開房門第設(shè)解 ??? BiiA i第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 ]/)[()/()()()(CBAPBACBPACPCPAP?求已知例?????????? ))((: CBCABABA 則解 ?)()()()( ????CPCBAPCBPCAP)]/(1[)/()()( ???? CBPCBPCPCBP)()()()( ????? ACPAPCAPCAP?]/)[( CBAP ? )(])[(CPCBAP ?)()(CPCBCAP ??第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 三、全概率公式 定義 2 設(shè) E是試驗 , S是樣本空間 (或必然事件 ), B, Ai是 E的事件 (i=1, 2, … n), 且滿足 : (1) ),2,1,( njijiAA ji ?????(2) SAAA n ????? 21., 21 為樣本空間的一個劃分則稱 nAAA ?第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 )())(:11jiBABABAABBBjiiniini?????????）（且（證明 ??1A???????niiiinABPAPBPBniAPAAA121)/()()(,210)(,:)(1有中的任一事件則對），（且劃分的一個為樣本空間，設(shè)全概率公式定理??2AnAB????niii ABPAP1)/()()()(1iniBAPBP??? ????niiBAP1)(第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 四、逆概率公式 定理 2 (貝葉斯公式 )在全概率公式的條件下 , 若 P(B) 0則有 逆概率公式 (簡稱逆概公式 ): ?????niiiiiiABPAPABPAPBAP1)/()()/()()/()()()/(:BPBAPBAP ii??證明??????niiiiiiABPAPABPAPBAP1)/()()/()()/(???niii ABPAPBP1)/()()( )/()()(iii ABPAPBAP ?第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 注意 :在全概和逆概公式中的 Ai是導(dǎo)致試驗結(jié)果的各種原因 , P(Ai) (i=1, 2, … n) 是各種原因發(fā)生的概率 , 稱為先驗概率 , 一般是由實際經(jīng)驗給出的 . P(Ai/B)稱為后驗概率 , 它反映了試驗之后各種原因 Ai發(fā)生的概率的新結(jié)果 , 是 P(Ai)的修正值 . 凡是已知試驗結(jié)果 , 要找某種原因發(fā)生的可能性 , 即已知信息 , 問信息來自何方的問題 , 可用逆概公式來解決 . 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 [例 ] 設(shè)甲箱中有 a個白球 , b個紅球 , (a 0, b 0), 乙箱中有 c個白球 , d個紅球 (c0,d0). 從甲箱中任取一球放入乙箱中 ,然后再從乙箱中任取一球 , 試求從乙箱中取到的球為白球的概率 . 解 1 : 設(shè) B={從乙箱中取到的球為白球 }, B是試驗結(jié)果 . A1={從甲箱中取出的球為白球 } A2={從甲箱中取出的球為紅球 } 212121 , BABABAASAA ??? ????白 a, 紅b 白 c, 紅 d A1=從甲箱中取出白球 A2=從甲箱中取出紅球 B=從乙箱中取白球 第一章 隨機事件及隨機事件的概率 返回 )1)(()1(??????dcbabcca)