研究生統(tǒng)計(jì)學(xué)講義第3講總體均數(shù)估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)-展示頁
2024-10-27 18:17本頁面
【正文】 總體均數(shù)的置信區(qū)間 ． ???????????????? 1/00 tnsXtC解這個(gè)不等式，把關(guān)心的參數(shù) μ從中間分離出來，就得到置信度為 1－ α的總體均數(shù)的置信區(qū)間為： nstXnstX00 ???? ?注意－ t 0和 t 0由自由度 n－ 1和置信水平確定， 和 來自樣本自身，所以在沒有任何額外知識的情況下就能夠確定置信區(qū)間 ． X nS（ 48） t0=tα/2 例 從同一批號的逍遙丸中隨機(jī)抽檢 5丸，測得其崩解時(shí)間 (月 )為 21， 18， 20， 16， 15。二者是矛盾的，為兼顧準(zhǔn)確度和精密度，常用 95%可信區(qū)間。在可信度確定的情況下，增大樣本含量，相應(yīng)的界值（如 t界值）減少，標(biāo)準(zhǔn)誤也減小，可減小區(qū)間長度，提高精密度。因 5%是小概率，在實(shí)際應(yīng)用中就認(rèn)為待估計(jì)的總體參數(shù)在算得的區(qū)間內(nèi)。 2．可信區(qū)間的意義 現(xiàn)以總體均數(shù)的 95%可信區(qū)間為例，總體參數(shù) 95%可信區(qū)間的意義是：考慮總體參數(shù)的可信區(qū)間取決于所抽取的樣本，在同樣條件下，進(jìn)行許多重復(fù)的抽樣，每抽取一個(gè)樣本可得到待估計(jì)參數(shù)的一個(gè)可信區(qū)間，在這些區(qū)間中，有的包含待估計(jì)的參數(shù)，有的不包含，平均說來每 100個(gè)中有 95個(gè)正確。 統(tǒng)計(jì)學(xué)上更合理的估計(jì)是在一定概率（ 1α）下，由含有未知參數(shù)及其點(diǎn)估計(jì)值所構(gòu)成的統(tǒng)計(jì)量的分布規(guī)律估計(jì)出參數(shù)可能存在的范圍，稱為區(qū)間估計(jì) （ interval estimation），所給出的范圍稱為該參數(shù)的（ 1α）可信區(qū)間或置信區(qū)間（ confidence interval，簡記為 CI）。點(diǎn)估計(jì)給出未知參數(shù)的一個(gè)近似值 ， 但沒考慮試驗(yàn)誤差影響 ， 也未指出這種估計(jì)的可靠程度 。 三 . 總體均數(shù)的估計(jì) (P 51) 1． 點(diǎn)估計(jì)和 區(qū)間估計(jì) 總體參數(shù)的估計(jì)有點(diǎn)估計(jì)和區(qū)間估計(jì) 。 P（ t） ＝ P（ t ） ＝ ； P（ ∣ t∣ ） ＝ P（ t ） ＝ 12 ＝ 。 t界值有單側(cè)和雙側(cè)兩種情況：自由度為 df時(shí) ，t分布的雙側(cè) α界值記為 tα/2,df， P（ | t |≥tα/2,df） =?； t分布的單側(cè) α界值記為 tα， df， P（ t≥tα， df） =?。 （ 2）從相互獨(dú)立，總體均數(shù)分別為 μ1， μ2，而標(biāo)準(zhǔn)差都為 σ的兩個(gè)正態(tài)總體中，隨機(jī)抽取樣本含量分別為n1， n2的兩個(gè)樣本，分別算出樣本均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差為 X1和 S1， X2和 S2，按 （式 45）計(jì)算的統(tǒng)計(jì)量服從自由度為 df=n1+n2－ 2的 t分布。第四章 第一節(jié) 總體均數(shù)的估計(jì) 一 .樣本均數(shù)的分布和 t 分布 （ P49） 在抽樣研究中，即使是嚴(yán)格遵守隨機(jī)抽樣原則，從同一總體中每次抽取樣本含量相等 (都為 n)的樣本，計(jì)算每一個(gè)樣本的樣本均數(shù)，由于變異存在，樣本均數(shù)有大有小，不盡相同，是隨機(jī)變量，其分布稱為樣本均數(shù)的分布。這里介紹樣本均數(shù)的兩條常用性質(zhì)： 情形 Ⅰ 當(dāng)抽樣來自均數(shù)為 ，方差為 的 正態(tài)分布總體 時(shí)，樣本均數(shù)的分布（抽樣分布）有下面的性質(zhì) X? 2X?1. 的分布是正態(tài)的． X 分布的均數(shù)是 ,則 = XX? X? 的方差是 ,則 = , 是總體標(biāo)準(zhǔn)誤 . X 2X? 2X?nX2?X?X?情形 Ⅱ 當(dāng)抽樣來自均數(shù)為 ，方差為 的 非正態(tài)分布 總體時(shí)，樣本均數(shù)的分布（抽樣分布）有下面的性質(zhì)： X?2X?1． 的分布是近似正態(tài)的，隨樣本容量的增加，靠近正態(tài)的程度就越好 ． 一般地， 的抽樣分布靠近正態(tài)分布所需要的樣本容量取決于最初分布的外形 ．在幾乎所有的情形里面，對 的抽樣分布，樣本容量在 30或以上就可以得到很好的正態(tài)近似 ． （均數(shù)的這個(gè)性質(zhì)就是眾所周知的 中心極限定理 Central Limit Theorem ) XXX 分布的均數(shù)是 ,則 = 的方差是 ,則 = , 是總體標(biāo)準(zhǔn)誤 . X? X?XX 2X?2X?nX2? X?X?由第 1條（均數(shù)抽樣分布的正態(tài)或近似正態(tài)）將在后面推出強(qiáng)有力的統(tǒng)計(jì)推論 ． 兩種情形中的第 3條表明，與個(gè)體觀測值相比較，樣本均數(shù)是變化較小的變量，那是因?yàn)闃?biāo)準(zhǔn)誤總是比標(biāo)準(zhǔn)差小的緣故 ． nSSXX? 二、 t 分布 在公式 n/μX?? 中用 ns n?代替 得到： nsX/??用 S 替換 σ產(chǎn)生了一個(gè)不同的樣本分布 ． 如果 σ值未知又必須估計(jì)它，用估計(jì)值替換 σ所得變量的分布稱為 t 分布．這個(gè)分布是 19世紀(jì)在英國 Guinness 啤酒廠工作的 ，在 1908年以筆名“ Student” 發(fā)表．因此有時(shí)稱為 Student’s t 分布，這個(gè)分布族取決于參數(shù) n－ 1． （ 44） n/μX??nsX/??是具有 μ=0， σ=1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，而 是具有 μ=0， σ取決于樣本容量的 t 分布 ． 隨樣本容量的增加， t 分布漸近標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 ． 見圖， t 分布的準(zhǔn)確外形取決于被稱為自由度（ degrees of freedom）的數(shù)量 ． 像正態(tài)分布一樣， t 分布是對稱的鐘形曲線，但是有點(diǎn)平坦，例如，它們有大的標(biāo)準(zhǔn)差． 對任何 t 分布，自由度恰好是樣本容量減 1:df=n－ 1 ． 作為為多個(gè) t 分布的部分累積分布函數(shù)的比較已經(jīng)列在附表 5 里 ． 因?yàn)?t 分布是概率密度函數(shù)，任何 t 分布曲線下的面積為 1． 在某些情形，我們必須使用固定概率（一個(gè) t 分布下的面積），留心并找出區(qū)間端點(diǎn)到中心 0的這個(gè)概率，設(shè)這個(gè)概率是 1－ α， α常常很小，規(guī)定為 或 ，于是 1－ α= ． 那么為尋找這個(gè) t 0 ,使得
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