【正文】 ???? ?這個(gè)指標(biāo)具有下面的性質(zhì) : 1．如果大的 X 值與大的 Y 值相聯(lián)系，小的 X 值與小的Y 值相聯(lián)系，那么 和 二者符號(hào)相同，在公式中它們的乘積為正． X 和 Y 之間有正相關(guān)． )X(X i ? )Y(Y i ?2．如果大的 X 值與小的 Y 值相聯(lián)系，小的 X 值與大的Y 值相聯(lián)系，那么 和 二者符號(hào)相反，在公式里符號(hào)為負(fù) . 于是我們就說(shuō)這種 情形里 X 和 Y 之間有 負(fù)相關(guān) )X(X i ? )Y(Y i ? 如果我們用 n－ 1 除公式 , 就得到一個(gè)新指標(biāo) , 用 r 表示 , 首先它滿足兩個(gè)條件且范圍從－ 1到 +1（我們將在隨后驗(yàn)證） . 有 ? ?? ?? ? ? ? YYXXXYnYnXnYXYXiilllYXXYssnYYXXr????????????????????????????????2222)1())((即 r 是 X 和 Y 的修正積差除以 X 和 Y 的修正平方和乘積的平方根．注意 r 是參數(shù) ρ的估計(jì)值，參數(shù) ρ定義為 : .YYXXXYlllr??YXXY???? ? 希臘字母 ρ(“rho”) 表示變量 X 和 Y 之間真實(shí)的總體關(guān)系． 相關(guān)系數(shù)無(wú)單位 , 取值范圍為－ 1≤r≤1， r 的符號(hào)表示相關(guān)方向， r0稱為正相關(guān)， r0稱為負(fù)相關(guān)。表示兩個(gè)變量間直線關(guān)系密切程度和方向的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)。例如，血壓很高的人和很低的人死亡率均較高，而中等血壓的人死亡率較低，死亡率和血壓之間有如圖 71(h)所示曲線關(guān)系，不適合作直線相關(guān)分析。 從散點(diǎn)圖可初步看出變量分布非正態(tài)時(shí) ， 應(yīng)考慮作等級(jí)相關(guān)而不宜作積矩相關(guān) 。 第一節(jié) 直線相關(guān) 相關(guān)分析用于測(cè)量觀察到的任何一對(duì)變量之間的聯(lián)合強(qiáng)度，我們主要關(guān)心兩個(gè)變量是否互相依賴或共同變化．這里我們沒(méi)有把變量表示成為其它函數(shù)，像回歸分析一樣并未暗示 Y依賴于 X ． X和 Y二者測(cè)量有誤差并且我們希望估計(jì)這些變量共同變化的程度．見(jiàn)圖 相關(guān)與回歸分析的種類很多，按變量個(gè)數(shù)劃分，有一個(gè) x 一個(gè) y 的簡(jiǎn)單相關(guān)與回歸分析，多個(gè) x 和一個(gè) y 的多元相關(guān)與回歸分析，以及多個(gè) x 多個(gè) y的典型相關(guān)。隨機(jī)性關(guān)系是指變量間的關(guān)系以非確定性形式出現(xiàn)的情況。第六章 一元線性相關(guān)與回歸 變量間的關(guān)系有確定性關(guān)系 (函數(shù)關(guān)系 )和隨機(jī)性關(guān)系。函數(shù)關(guān)系是指對(duì)于一個(gè)變量的每個(gè)可能取值，另外的變量都有完全確定的值與之對(duì)應(yīng)。 例如兒童身高與體重的關(guān)系；隨著身高的增長(zhǎng)，體重也增加，一般說(shuō)，身高高的兒童，體重也重一些，兩者之間確實(shí)存在著某種關(guān)系，但顯然不是函數(shù)關(guān)系，因?yàn)樯砀呦嗤娜梭w重也有的重，有的輕，身高和體重之間的客觀聯(lián)系存在于隨機(jī)背景中，不能說(shuō)某一身高的兒童，其體重一定是多少。本章介紹最簡(jiǎn)單的兩變量間的直線相關(guān)與回歸，稱為一元線性相關(guān)與回歸 圖 a) 圖說(shuō)明 X 和 Y 之間具有正相關(guān)． b) 圖說(shuō)明 X 和 Y 之間具有負(fù)相關(guān) . c) 圖和 d)圖說(shuō)明 X 和 Y 之間沒(méi)有相關(guān)關(guān)系 雙變量相關(guān)分析步驟是先作原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 ， 根據(jù)散點(diǎn)圖的提示再作恰當(dāng)分析 ， 如兩變量有直線趨勢(shì) ，則作直線相關(guān)分析 。 并非任何有聯(lián)系的兩個(gè)變量都是直線聯(lián)系。 2. 積矩相關(guān)系數(shù) :Pearson積差 相關(guān)系數(shù) , 簡(jiǎn)稱相關(guān)系數(shù)。 用 r 表示，總體相關(guān)系數(shù)用 ρ表示， r 是 ρ的點(diǎn)估計(jì)。 r的絕對(duì)值表示兩個(gè)變量間直線關(guān)系的密切程度， r的絕對(duì)值為 1表示完全相關(guān)。 二、積矩相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) ρ=0表示總體中兩變量 x 和 y 無(wú)直線相關(guān)關(guān)系。當(dāng)由 r≠0時(shí)，因?yàn)榇嬖诔闃诱`差，不能認(rèn)為 ρ≠0，所以，判斷 x 和 y 是否線性相關(guān)，需要檢驗(yàn) r是否來(lái)自 ρ＝ 0的總體，稱為相關(guān)系數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)。 例 測(cè)得某地 10名三歲兒童的體重與體表面積如下，試計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù) r，并檢驗(yàn)其是否來(lái)自 ρ＝ 0的總體 體重 x(kg): 面積 y(101m2): H0：總體相關(guān)系數(shù) ρ＝ 0，體重與體表面積間無(wú)直線相關(guān)關(guān)系； H1： ρ≠0。 在直角坐標(biāo)系上畫(huà)出散點(diǎn)圖 , 有直線趨勢(shì) , 故進(jìn)行直線相關(guān)分析 . 使用程序型計(jì)算器時(shí) , 在線性回歸 (LR)工作方式下 , 成對(duì)地輸入 x 與 y 后 , 可直接輸出 r= 。 以 r＝ 量 , 用自由度 df＝ 102＝ 8, 查附表 16得界值(8)＝ , 統(tǒng)計(jì)量 r , P, 按 α＝ H0, 接受H1, 可以認(rèn)為某地三歲兒童體重 (kg)與體表面積 (10－ 1m2)呈正向直線相關(guān)。 三、直線相關(guān)分析應(yīng)注意的問(wèn)題 1． 判斷兩個(gè)變量間是否存在相關(guān)關(guān)系 ， 不能僅根據(jù)樣本相關(guān)關(guān)系的大小下結(jié)論 ， 必須進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn) 。 因此 ， 事物間有相關(guān)關(guān)系 ， 不一定是因果關(guān)系；但如果兩事物之間存在因果關(guān)系 ， 則兩者必然是相關(guān)的 。 │r│(低度相關(guān) )， 是否有作回歸分析的必要 ， 有不同的看法 。不要把 P值大小誤解為相關(guān)程度，樣本相關(guān)系數(shù)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義并不一定反映相關(guān)就很密切，需要考慮專業(yè)意義或進(jìn)一步結(jié)合決定系數(shù)來(lái)作實(shí)際意義解釋。 第三節(jié) 直線回歸 一、直線回歸的模型 簡(jiǎn)單線性回歸 在線性回歸里，一個(gè)變量的變化（因變量 Y）是由于另一個(gè)變量（自變量 X）的變化所致．明確地，我們將尋找直線或?qū)ふ矣?X的變化而引起 Y的線性變化．回歸分析通常所處的位置是已經(jīng)控制了變量 X并且基本上能夠準(zhǔn)確測(cè)量它．當(dāng)變量之間有曲線關(guān)系的時(shí)候，也就是指數(shù)，拋物線或多項(xiàng)式，但我們限定所考慮的是線性情形．我們考慮簡(jiǎn)單線性回歸 分析目標(biāo)是描述兩變量之間的函數(shù)關(guān)系，這里 X 是自變量而 Y 是應(yīng)變量 . 假定 X 可測(cè)量而沒(méi)有誤差 , 而且是可以重復(fù)測(cè)量的．因?yàn)?Y 是應(yīng)變量 , 它是自由多變的 . 當(dāng)我們把數(shù)據(jù)畫(huà)圖時(shí) , 如果數(shù)據(jù)表現(xiàn)出有線性關(guān)系 , 希望了解這個(gè)線性方程性質(zhì)的真實(shí)參數(shù)． 二、直線回歸方程的建立與檢驗(yàn) 回歸分析的內(nèi)容包括三個(gè)方面： （ 1） 建立回歸方程 ， 是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)判定回歸方程的類型 ， 建立回歸方程的估計(jì)式 。 （ 3） 使用回歸方程 ， 是在樣本數(shù)據(jù)范圍內(nèi) ， 由自變量數(shù)據(jù)推算因變量的估計(jì)值 （ 稱預(yù)測(cè) ） ， 或由因變量數(shù)據(jù)推算自變量的估計(jì)值 （ 稱控制 )。 到 18℃ , 紀(jì)錄每個(gè)溫度下的心律 .數(shù)據(jù)如下表所示． 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 對(duì)兩變量之間的關(guān)系怎樣進(jìn)行處理描述呢 ?顯然兩個(gè)變量有函數(shù)依賴 ─隨著溫度的增加 , 心律也就增加 . 這里溫度由學(xué)生控制 , 且在使用不同蛙的其它實(shí)驗(yàn)里能夠準(zhǔn)確測(cè)得相同值 (見(jiàn)下圖 )．溫度是自變量或“預(yù)報(bào)”變量 . 心律由溫度確定 , 因此它是應(yīng)變量或“反應(yīng)”變量 . 以不同溫度下心律預(yù)測(cè)為目標(biāo) , 回歸分析能夠正確地分析這些資料． X(溫度 ) 2 4 6 8 10 12 14 16 18 Y(心律 ) 5 11 11 14 22 23 32 29 32 圖 溫度和心律數(shù)據(jù)用●表示 , 這些數(shù)據(jù)接近所顯示的直線 , 在相同溫度下 , 如果重復(fù) 7次實(shí)驗(yàn) , 數(shù)據(jù)是相似的 , 但是并非都一樣 (見(jiàn)空心○ ) .在實(shí)驗(yàn)運(yùn)行中 , 因?yàn)檠芯空呖刂屏藴囟?, 所以這些點(diǎn)排列在垂線上． 線性模型的假定 1. X 固定且測(cè)量無(wú)誤差 ． 2. 對(duì)所給的 X， 變量 Y 的期望值 （ 或平均值 ） 用一個(gè)線性函數(shù)來(lái)描述 : E (