神奇的斐波那契數(shù)列學(xué)年論文范-展示頁
2025-06-17 07:04本頁面
【正文】 照某個(gè)比例單位），把它們記錄下來填到圖 3,那些彼此聯(lián)系著的鱗狀表皮上的數(shù)有三個(gè)方向是按照等差數(shù)列方式排列的： 0， 5， 10， 15， 20， ? （公差 d 是 5，與之方向平行的 各 鱗片上的數(shù)字也如此）； 0， 8， 16， 24， 32， ? （公差 d 是 8，與之方向平行的 各 鱗片上的數(shù)字也如此）； 0， 13， 26， 39， 52， ? （公差 d是 13，與之方向平行的 各 鱗片上的數(shù)字也如此） . 這三個(gè)方向上所給出的各等差數(shù)列，其公差分別 是 5， 8， 13? 它們恰好是斐波那契數(shù)列中的三項(xiàng) . 圖 2 圖 3 3）向日葵花盤內(nèi)葵花子排列的螺線數(shù)與斐波那契數(shù)列 向日葵花盤 內(nèi)，種子是按對數(shù)螺線排列的，有順時(shí)針轉(zhuǎn)和逆時(shí)針轉(zhuǎn)的兩 組對數(shù)螺線 .兩組螺線的條數(shù)往往成相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù)，一般是 34和 55，大向日葵是 89 和 144，還曾發(fā)現(xiàn)過一個(gè)更大的向日葵有 144 和 233 條螺線，它們都是相繼的兩個(gè)斐波那契數(shù) .松果種子的排列和菜花表面的螺線數(shù)也有類似特點(diǎn) .這一模式被廣泛研究并給出解 釋：這是植物生長的動(dòng)力學(xué)特性造成的；這使種子的堆集效率達(dá)到最高 . 4) 生物學(xué)與 斐波那契數(shù) 列 樹木的生長，由于新生的枝條，基本上都需要一段“休息”時(shí)間，補(bǔ)充自己由于新生枝條的消耗，而后當(dāng)補(bǔ)滿 消耗之后才能萌發(fā)新枝．因此，樹苗在一段間隔，比如一年以后長出一條新枝；第 二年新枝“休息”，老枝繼續(xù)萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過一年的 新 枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”．這樣，一株樹木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便 構(gòu)成斐波那契數(shù)列．這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的 “魯?shù)戮S格定律” . 5) 楊輝三角與 斐波那契數(shù)列 如圖 4所示，畫一與水平方向成 ?45 角的斜 線 ， 圖 4 1 1 2 3 5 8 13 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 衢州學(xué)院教師教育學(xué)院數(shù)理系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 專業(yè) 學(xué)年論文 5 可以由楊輝三角 得到斐波那契數(shù)列 . 6) 蜜蜂的家譜與斐波那契數(shù)列 蜜蜂的“家譜” :蜜蜂的繁殖規(guī)律十分有趣 .雄蜂只有母親，沒有父親，因?yàn)榉浜笏a(chǎn)的卵， 受精的孵 化為雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的 孵化為雄蜂 .人們在追溯雄蜂的家譜時(shí)，發(fā)現(xiàn) 1只雄蜂的第 n代子孫的數(shù)目剛好就是斐波那契數(shù)列數(shù)列的第 n 項(xiàng) . 7) 仙人掌的結(jié)構(gòu)與 斐波那契數(shù)列 在仙人掌的結(jié)構(gòu)中有這一數(shù)列的特征 .研究人員分析了仙人掌的形狀、葉片厚度和一 系列控制仙人掌情況的各種因素，并將所得數(shù)據(jù)輸入電腦，結(jié)果發(fā)現(xiàn)仙人掌的 斐波那契數(shù)列 結(jié)構(gòu)特 征能讓仙人掌最大限度地減少能量消耗，適應(yīng)其在干旱沙漠的生長環(huán)境 . 創(chuàng)新生活 ： 斐波那契數(shù)列 常 與諸多 自然 現(xiàn)象相吻合 ， 菠蘿的鱗片結(jié)構(gòu)、松 果和 向日葵的種子堆積方式等 都與 斐波那契數(shù) 有關(guān) ，它們的出現(xiàn)是植物適應(yīng)自然的和諧生長方式 ， 這是數(shù)列 與 自然美的完美體現(xiàn) .我們 也可以利用這一緊湊 而 和諧的生長方式去創(chuàng) 新和設(shè)計(jì) 我們的生活 .例如種植 架可以設(shè)計(jì)成菠蘿狀，菠蘿鱗片處挖空種植 適宜的草藥，利于上面的植物花粉掉落達(dá) 到 授粉目的和更密集生長 ；燈具設(shè)計(jì)上可以采用 菠蘿 狀 ，以求更為絢麗 ；噴水灌溉系統(tǒng)的噴頭設(shè)計(jì)成松果噴頭，以求水量充足下的更 稠密和 均勻；家庭浴室噴頭采用 向日葵種子分布結(jié)構(gòu)不乏更為均勻合理；鮮花束的插制利用松果螺旋等 . 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式 斐波那契數(shù)列 的 通項(xiàng)公式 ： 1 1 5 1 5225nnnF??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???.此 式 又稱為 “ 比內(nèi)公式 ” ,以最初證明它的法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)命名 .該 等 式 的 左 邊 是正整數(shù)，而 等 式 的 右 邊 卻 是用無理數(shù)來表達(dá)的 [3],斐波那契數(shù)列的神奇性不言而喻 . 證明： 利用特征方程（線性代數(shù)解法） 線性遞推數(shù)列的特征方程為 12 ??xx ,解得 2 51,2 5121 ???? xx， 則 nnn xcxcF 2211 ?? ， 1)2()1( ?? FF? ，????????112222112211 xcxc xcxc ， 把 21,xx 代入解得 1211,55cc? ? ?, 所以 1 1 5 1 5225nnnF??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???. 除此之外， 通項(xiàng)公式 的 推導(dǎo) 還有 初等代數(shù)法 、 構(gòu)造等比數(shù)列 法 、迭代法 等 . 衢州學(xué)院教師教育學(xué)院數(shù)理系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 專業(yè) 學(xué)年論文 6 斐波那契數(shù)列的幾個(gè) 奇特 性質(zhì) 斐波那契數(shù)列 被發(fā)現(xiàn)有許多有趣的 特 性， 下面僅列出其中的 5條供 大家 欣賞 . 1） 斐波那契數(shù)列的第 n+2 項(xiàng)同時(shí)也代表了 集合 {1,2,...,n}中所有不 包含 相鄰正 整數(shù) 的 子集 個(gè)數(shù) ； 2） 第 12等項(xiàng)的數(shù)字能被 2整除；第 12等項(xiàng)的數(shù)字能被 3整除；第 10 等項(xiàng)的數(shù)字能被 5整除；其余依此類推 ； 3）從斐波納數(shù)列中任意選出 10 個(gè)連續(xù)的數(shù)，它 們 的和等于這 10 個(gè)數(shù)中第 7 個(gè)數(shù)的 11倍 ； 4） )2()1(121 ???? ??? nFFFF nnnnn ； 5） 前 n 項(xiàng)和： 121 ?? ??? nnk k FF . 2 斐波那契數(shù)列與其它對象的聯(lián)系 斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)的聯(lián)系 黃金數(shù) ??? 與斐波那契數(shù)列 ??nF 之間有關(guān)系式 ?????
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