神奇的斐波那契數(shù)列學(xué)年論文范(編輯修改稿)
2025-07-11 07:04 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 蘿狀，菠蘿鱗片處挖空種植 適宜的草藥，利于上面的植物花粉掉落達(dá) 到 授粉目的和更密集生長 ；燈具設(shè)計上可以采用 菠蘿 狀 ，以求更為絢麗 ；噴水灌溉系統(tǒng)的噴頭設(shè)計成松果噴頭，以求水量充足下的更 稠密和 均勻；家庭浴室噴頭采用 向日葵種子分布結(jié)構(gòu)不乏更為均勻合理；鮮花束的插制利用松果螺旋等 . 斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式 斐波那契數(shù)列 的 通項(xiàng)公式 ： 1 1 5 1 5225nnnF??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???.此 式 又稱為 “ 比內(nèi)公式 ” ,以最初證明它的法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)命名 .該 等 式 的 左 邊 是正整數(shù)，而 等 式 的 右 邊 卻 是用無理數(shù)來表達(dá)的 [3],斐波那契數(shù)列的神奇性不言而喻 . 證明： 利用特征方程（線性代數(shù)解法） 線性遞推數(shù)列的特征方程為 12 ??xx ,解得 2 51,2 5121 ???? xx， 則 nnn xcxcF 2211 ?? ， 1)2()1( ?? FF? ，????????112222112211 xcxc xcxc ， 把 21,xx 代入解得 1211,55cc? ? ?, 所以 1 1 5 1 5225nnnF??? ? ? ???????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???. 除此之外， 通項(xiàng)公式 的 推導(dǎo) 還有 初等代數(shù)法 、 構(gòu)造等比數(shù)列 法 、迭代法 等 . 衢州學(xué)院教師教育學(xué)院數(shù)理系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 專業(yè) 學(xué)年論文 6 斐波那契數(shù)列的幾個 奇特 性質(zhì) 斐波那契數(shù)列 被發(fā)現(xiàn)有許多有趣的 特 性， 下面僅列出其中的 5條供 大家 欣賞 . 1） 斐波那契數(shù)列的第 n+2 項(xiàng)同時也代表了 集合 {1,2,...,n}中所有不 包含 相鄰正 整數(shù) 的 子集 個數(shù) ； 2） 第 12等項(xiàng)的數(shù)字能被 2整除；第 12等項(xiàng)的數(shù)字能被 3整除；第 10 等項(xiàng)的數(shù)字能被 5整除；其余依此類推 ； 3）從斐波納數(shù)列中任意選出 10 個連續(xù)的數(shù)，它 們 的和等于這 10 個數(shù)中第 7 個數(shù)的 11倍 ； 4） )2()1(121 ???? ??? nFFFF nnnnn ； 5） 前 n 項(xiàng)和： 121 ?? ??? nnk k FF . 2 斐波那契數(shù)列與其它對象的聯(lián)系 斐波那契數(shù)列與黃金分割數(shù)的聯(lián)系 黃金數(shù) ??? 與斐波那契數(shù)列 ??nF 之間有關(guān)系式 ????? 1lim nnn FF .[4] 早在古希臘 ， 那時的 人們就已經(jīng)認(rèn)識到 的神奇 性 ，并將其 廣泛 應(yīng)用到建筑和繪畫等 領(lǐng)域 .現(xiàn)在 它的應(yīng)用更為廣泛 ， 例如 人體模型設(shè)計 、風(fēng)景照中地平線位置的安排、舞臺主持人的最佳站位、 小說戲曲高潮的出現(xiàn) ，決策與管理中的優(yōu)選法 等 都 選擇按黃金比 . 除此之外我們還可以利用比內(nèi)公式推得斐波那契數(shù)列與黃金數(shù)之間的一些關(guān)系式 . 1） 111 )1( ??? ??? nnnn FF ?? 2）2143212221232221225432 FFFFFFFFFFFFFFFFnnnnnnnn ???????????? ?????? ???? ? 3）黃金數(shù) ? 恒位于兩相鄰分?jǐn)?shù)1?nnFF 和21??nnFF 之間，且更靠近后一個分?jǐn)?shù)，即 ?? ??????121nnnn FFFF 4）在所有分母不大于 1?nF 的分?jǐn)?shù)中，以1?nnFF 最接近 ? （即最佳漸進(jìn)分?jǐn)?shù)） . 衢州學(xué)院教師教育學(xué)院數(shù)理系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 專業(yè) 學(xué)年論文 7 斐波那契 數(shù)列與代數(shù)、概率中問題的聯(lián)系 1)一個由求方程近似解而得到斐波那契數(shù)列的例子 . 我們用迭代的方法求方程 012 ???xx 的正的近似解 : 令 1)( 2 ??? xxxf .由 01)1(,01)0( ????? ff ，知 )(xf 在（ 0， 1）間有解 *x . 由 012 ???xx ,得11??xx,考慮迭代格式：111 ??? nn xx. 令 10?x （稱為第 0次迭代），則 211 1 01 ??? xx（第 1 次迭代） ； 32211 11 1 12 ????? xx（第 2 次迭代） ； 53321 11 1 23 ????? xx（第 3次迭代） ；85531 11 1 34 ????? xx（第 4 次迭代） ； 138851 11 1 45 ????? xx（第 5次迭代） ， ??? 我們已經(jīng)看到， 各次迭代的近似解 ,...138,85,53,32,21,11 的分子、分母都恰好是構(gòu)成一個斐波那契數(shù)列 . 2)一個與古典 概率問題研究有關(guān)的例子 . 連續(xù)拋一枚硬幣，直到連 續(xù) 出 現(xiàn) 兩 個正面為止 .假定 事件發(fā)生在第 n次拋擲的情形： 我們用 H表示硬幣的正面，用 T 表示硬幣的反面，從下表可以看出：事件發(fā)生在第n次的所有可能的種類數(shù)恰為 1?nF . 表 2 n 可能的序列 序列的數(shù)目 2 HH 1 3 THH 1 4 HTHH,TTHH 2 5 THTHH,HTTHH,TTTHH 3 6 HTHTHH,TTHTHH,THTTHH,HTTTHH,TTTTHH 5 … … … 當(dāng) n=7 時，只需在 n=6 時 序列每個的前面加上 T（共 5 個），此外還可以在每個 T打頭的序列面前加上 H(共 3個 )，這樣一共有 5+3=8 個 . 衢州學(xué)院教師教育學(xué)院數(shù)理系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)（師范） 專業(yè) 學(xué)年論文 8 仿此， 利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明：“連續(xù)拋一枚硬幣，直到連 續(xù) 兩次 出現(xiàn) 正面為止”的事件發(fā)生在第 n次拋擲所有可能的方式數(shù)為 1?nF . ① n=2,3 的情形 顯然成立
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