【正文】 iY ～ ),??(210 ????iXN ?于是， iY 的概率函數(shù)為 2102 )??(2121)(ii XYi eYP??? ??????? i = 1 , 2 , ? ,n 回憶一元線性回歸模型 將該或然函數(shù)極大化 ， 即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量 。即01???niie ( 2) 回歸超平面通過數(shù)據(jù)的均值點(diǎn)，即bx?y ( 3) 從回歸方程中獲得的擬合值的均值等于樣本觀測值的均值，即yy ?? 需要注意的是，上述命題成立的前提是線性模型中包含常數(shù)項(xiàng)，也就是第一個解釋變量是“啞變量”形式。 顯然，根據(jù)正定矩陣的定義或者正定矩陣的判斷準(zhǔn)則，可知當(dāng)矩陣的滿秩條件滿足時，矩陣是正定的，因此最小二乘解的充分性成立。接下來考察求極值充分條件。所以，得到 ?的估計為 用向量展開或矩陣微分法（ 前導(dǎo)不變后導(dǎo)轉(zhuǎn)置 ），我們可得到關(guān)于待估參數(shù)估計值的正規(guī)方程組： 令 故 ? 注：這只是得到了求極值的必要條件。 uXY ?? ??? ? βXY其中： 殘差可用矩陣表示為： 殘差平方和 )()( ?? ???? YYYY)β()β( ?? ???? XYXY)β)(β( ?? ?????? XYXY???? ?????????? ββββ XXXYYXYY? ??????????????????? ?nnieeeeeeeeeQ. . .. . .21212注意到上式中所有項(xiàng)都是 標(biāo)量 ， 且 ?????? β)?( XYYX???????????? βββ2 XXYXYYQ0β)( ?????eeYXXX ??? ?βYXXX ??? ?? 1)(β與采用標(biāo)量式推導(dǎo)所得結(jié)果相同。β)39。( XX ?β39。 參數(shù) ?的 OLS估計 ?參數(shù) ?的 OLS估計 附錄：極大似然估計和矩估計 投影和投影矩陣 分塊回歸和偏回歸 偏相關(guān)系數(shù) 我們的模型是： iKKi1iiiiXβ. . . .XβYYYe???1 ??????殘差為： 一、參數(shù) ?的 OLS估計 ? 普通最小二乘估計原理：使樣本殘差平方和最小 Y= x1?1 + x2?2 +…+ xk ?k + ? 關(guān)鍵問題是選擇 ?的估計量 b（ 或 ） ， 使得殘差平方和最小 。 通常 ， 一定要假設(shè)在模型中有常數(shù)項(xiàng) ， 即盡量讓模型包含常數(shù)項(xiàng) ， 以中心化誤差 。 tttt uLDC ???? 321 βββntuDC ttt ,...,2,1, ???? ?? 需要說明的是 ， 如果令 x1≡ 1， 則 ?1便是常數(shù)項(xiàng) 。 在下面的模型中： 這里 ， β 是可支配收入對消費(fèi)額的總影響 ， 顯然 β 和 β 2的含義是不同的 。 收入變動對消費(fèi)額的 總影響 =直接影響 +間接影響 。 例： 其中 ， Ct=消費(fèi) ， Dt=居民可支配收入 Lt=居民擁有的流動資產(chǎn)水平 β 2的含義是 ， 在流動資產(chǎn)不變的情況下 ， 可支配收入變動一個單位對消費(fèi)額的影響 。 在經(jīng)典回歸模型的諸假設(shè)下 ， 對 （ 1） 式兩邊求條件期望得 E（ Y|X1,X2,… Xk)= x1?1 + x2?2 +… + xk ?k ?偏回歸系數(shù) 的含義如下： ?1度量著在 X2,X3,…,X k保持不變的情況下， X1每變化 1個單位時， Y的均值 E(Y)的變化，或者說?1給出 X1的單位變化對 Y均值的“直接”或“凈”（不含其他變量）影響。 多元回歸分析 （ multiple regression analysis）是以多個解釋變量的固定值為條件的回歸分析 ， 并且所獲得的是諸變量 X值固定時 Y的平均值 。 （ 6） 正態(tài)假設(shè)。 （ 5） 球形擾動。 （ 4） x的 DGP是外生的。 （ 3） 回歸性。 （ 2） 滿秩。 （ 1） 線性性 。 在計量經(jīng)濟(jì)學(xué)分析中，通常會借助矩陣工具，在此亦將多元線性模型表示成矩陣形式，以便于下一步的數(shù)學(xué)運(yùn)算。 在研究中，我們根本無法了解式（ 1）所示的總體模型的特征，而只能通過樣本特征來近似考察。 以多元線性回歸模型的一般形式 —— K元線性回歸模型入手進(jìn)行講解，其模型結(jié)構(gòu)如下： Y= x1?1 + x2?2 +…+ xk ?k + ? (1) 其中， Y是被解釋變量（因變量、相依變量、內(nèi)生變量）， x是解釋變量（自變量、獨(dú)立變量、外生變量）， ?是隨機(jī)誤差項(xiàng)， ?i, i = 1, … , k 是回歸參數(shù) 。這樣的模型被稱為 多元線性回歸模型 。 多元線性回歸模型的描述 多元線性回歸模型的形式 ? 由于在實(shí)際經(jīng)濟(jì)問題中，一個變量往往受到多個原因變量的影響； ? “從一般到簡單”的建模思路。第三章 多元線性回歸模型 ** ? 多元線性回歸模型是我們課程的重點(diǎn) ，原因在于： 多元線性回歸模型應(yīng)用非常普遍； 原理和方法是理解更復(fù)雜計量經(jīng)濟(jì)學(xué)模型的基礎(chǔ)； 內(nèi)容較為豐富。 ? 從而，我們應(yīng)不遺余力地學(xué)，甚至是不遺余力地背！??！ 本章主要內(nèi)容 ? 多元線性回歸模型的描述 ? 參數(shù) ?的 OLS估計 ? OLS估計量的有限樣本性質(zhì) ? 參數(shù)估計量的方差 協(xié)方差矩陣和隨機(jī)誤差項(xiàng)方差 ?2的估計 ? 單方程模型的統(tǒng)計檢驗(yàn) ? 多元線性回歸模型實(shí)例 167。 ? 所以，在線性回歸模型中的解釋變量有多個，至少開始是這樣。 ? 多元線性回歸模型參數(shù)估計的原理與一元線性回歸模型相同，只是計算更為復(fù)雜。 線性回歸模型的意義在于把 Y分成兩部分：確定性部分和非確定性部分。 設(shè)經(jīng)過 n次試驗(yàn)，得到 n個樣本，如下所示： y1 x11 x12 … x 1 k y2 x21 x22 … x 2 k …… yn x n1 x n2 … x nk 從而得到表達(dá)式如下： Yi= xi1?1 + xi2?2 +…+ xik ?k + ?i (2) 其中，式（ 1）稱為總體線性模型；式（ 2）稱為樣本線性模型。 )1n(n21)1(21)n(nn1n22211111)1n(n21????????????????????????????????????????????????????????????????????????????kkkkjkjkjxxxxxxxxxyyy（ 3） 寫成一般形式為： Y = X ? + ? (4) 針對式（ 4），在這里主要講參數(shù)估計和統(tǒng)計推斷，但在此之前，我們要先回顧一下什么模型才是多元線性回歸模型，即了解線性回歸模型的 6大假設(shè)，這一點(diǎn)十分重要。即要求模型關(guān)于參數(shù)是線性的，關(guān)于擾動項(xiàng)是可加的。 說明解釋變量之間是線性無關(guān)的，這一假設(shè)很重要，在后面會經(jīng)常受到。 x與 ?不相關(guān) 。 x相對于 y是外生的，是非隨機(jī)的。 同方差性和非自相關(guān)性。 多元回歸方程及偏回歸系數(shù)的含義 稱為 多元回歸方程 （ 函數(shù) ） 。 諸 ?i稱為 偏回歸系數(shù) （ partial regression coefficients） 。 其他參數(shù)的含義與之相同。 這是收入對消費(fèi)額的直接影響 。 （ 間接影響：收入 ?流動資產(chǎn)擁有量 ?消費(fèi)額 ） 但在模型中這種間接影響應(yīng)歸因于流動資產(chǎn) ， 而不是收入 ， 因而 ， β 2只包括收入的直接影響 。 偏回歸系數(shù) bj就是 xj本身變化對 y的直接 （ 凈 ） 影響 。習(xí)慣上把常數(shù)項(xiàng)看成為一個虛變量的系數(shù) ， 在參數(shù)估計過程中該虛變量的樣本觀測值始終取 1。 167。 β?要使殘差平方和 ? ?22 ??? ? ????? iKKi11ii Xβ. . .XβYeQ0?. . . ,0?1??