【正文】 0xx? 處連續(xù)，反之不對。 若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的左導(dǎo) 數(shù)，記為 )( 0xf?? ，若xyx ????? 0lim 存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的右導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf?? ， )(xfy?在點 0xx? 處可導(dǎo)的充分必要條件是 )( 0xf?? 與 )( 0xf?? 都存在且相等。 第二講 導(dǎo) 數(shù) 與 微 分 一、基本概念 導(dǎo)數(shù) — 設(shè) )(xfy? 為定義于 D 上的函數(shù)， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若極限 xyx ???? 0lim存在，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可導(dǎo)為 )(xfy? 在 0xx? 處的導(dǎo)數(shù)，記為 )( 0xf? 或0| xxdxdy? 。 設(shè) ),[)( ??? aCxf ，且 Axfx ???? )(lim，證明： )(xf 在 ),[ ??a 上有界。 設(shè)???????????????????01,110,00,)1ln ()(xxxxxxxxxf ，討論)(xf 在 0?x 處的連續(xù)性。 求下列極限)c o s1( s in1t a n1lim0 xx xxx ? ????。 （ 2） 310 sin1tan1lim xx xx?????? ???。 （ 2） )0,0,0()(lim 1 ??????? cbacba nnnnn。 （ 2）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 )()( bfaf ? ，不妨設(shè) )()( bfaf ? ，則對任意的)](),([ bfaf?? ，總存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f 。 3．（零點定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 0)()( ?bfaf ，則存在 ),( ba?? ，使得 0)( ??f 。 （二）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1．（最值定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上取到最大值和最小值。 若 ))()(0()0( afafaf ???? ，稱 ax? 為函數(shù) )(xf 的可去間斷點； 若 )0()0( ??? afaf ，稱 ax? 為函數(shù) )(xf 的跳躍間斷點。 （ 2）若 ],[)( baCxf ? ，則 ],[|)(| baCxf ? 。 （ 2）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù) — 若函數(shù) )(xf 在 ),( ba 內(nèi)點點連續(xù)，且 )0()( ?? afaf ，)0()( ?? bfbf ，稱 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，記為 ],[)( baCxf ? 。 二、連續(xù)與間斷 （一）基本概念 連續(xù) （ 1）函數(shù)在一點連續(xù) — 若 )()(lim00 xfxfxx ??，稱 )(xf 在 0xx? 點處連續(xù) 。 （ 2） ex xx ???10 )1(lim。 3） axx a ~1)1( ?? 。 （ 3）當 0?x 時常用的等價無窮小 1） )1l n (~1~a r c t a n~a r c s i n~t a n~s i n~ xexxxxx x ??。 2）若 ?? ?~ ， ?? ?~ ，且 ????lim 存在，則 ???lim ????lim 。 3）常數(shù)與無窮小之積是無窮小。 無窮小的性質(zhì) （ 1）無窮小的一般性質(zhì) 1）有限個無窮小之和或之積是無窮小。 （ 2）復(fù)合運算性質(zhì) 1）設(shè) Aufau ?? )(lim， axgxx ?? )(lim0，則 Axgfxx ?? )]([lim0。 （ 2）設(shè) }{na 單調(diào)增加，則有如下兩中情況： 情形一：數(shù)列 }{na 沒有上界，則 ????? nn alim； 情形二：數(shù)列 }{na 有上界，則nn a??lim存在，令 Aann ???lim，則 A 即為數(shù)列 }{na 的上界， A 是所有上界中最小的上界。 [例子 ] 證明 ?,222,22,2 ??? 極限存在并求之。 [例子 ] 求 )2211(lim222 nn nnnn ??????? ?。 極限的存在性質(zhì) （ 1）（迫斂定理） 1）（數(shù)列型）設(shè) nnn cba ?? ，且 Acannnn ?? ???? limlim，則 Abnn ???lim。 （ 3）（有界性）若nn a??lim存在，則數(shù)列 }{na 有界。 2）若 )0(0)( ??xf ，且 Axf ?)(lim ，則 )0(0??A 。 （二）極限性質(zhì) 極限的基本性質(zhì) （ 1）（唯一性）極限存在必唯一。 定義 5 無窮小 — 以零為極限的函數(shù)稱為無窮小。 【注解】 )(lim0 xfxx?存在的充分必要條件是 )0( 0 ?xf 與 )0( 0 ?xf 都存在且相等。 （ 4）左右極限 — 若對任意的 0?? ，總存在 0?? ，當 ???? xx00 時，有??? |)(| Axf ，稱 A 為函數(shù) )(xf 在 0xx? 處的左極限，記為 Axf ?? )0( 0 。 （ 2） ??? 定義 — 若對任意的 0?? ，總存在 0?? ，當 ???? ||0 0xx 時，有??? |)(| Axf ，稱 A 為函數(shù) )(xf 當 0xx? 時的極限，記為 Axfxx ?? )(lim0。 定義 3 初等函數(shù) — 由常數(shù)及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復(fù)合運算而成的一個式子稱初等函數(shù)。 （ 4）周期性 例題 2設(shè) ][)( xxxf ?? ，討論其特性。非常極力的推薦給正在高壓學(xué)習(xí)的朋友們，希望你們也能夠快速高效的學(xué)習(xí)，成就 自己的人生。 的時候，無意間在 搜索到一個叫做“”的產(chǎn)品，當時要考公務(wù)員，花了幾百塊錢買了來練，開始一兩個星期沒有太明顯的效果，但是一個月的訓(xùn)練之后，效果非常理想，閱讀速度和記憶能力在短時間內(nèi)提高很多，思維這些都比以前更敏捷，那個時候一兩個小時可以看完一本書，而且非常容易記住書中的內(nèi)容。 高等數(shù)學(xué)部分 第一講 極 限 與 連 續(xù) 跟大家分享點經(jīng)驗，以及告訴大家一些方法： 太多的人總是抱怨學(xué)不進去，記不住，思維轉(zhuǎn)得慢，大腦不好使，吸取知識的能力太差，學(xué)習(xí)效率太低。讀書的學(xué)習(xí)不好，經(jīng)商的賺錢不多！作者本人以前也和讀者有著同樣的困惑，在我考上研究生，然后再讀 MBA，后來再考托福，一路的高壓力考試中，從開始就學(xué)習(xí)了很多的學(xué)習(xí)方法，記憶方法，包括各種潛能開發(fā)培訓(xùn)班都上過一些，還有吃補腦的藥也有一些，不過感覺上懂了理論，沒有太多的實踐，效果不太明顯，吃的就更不想說了，相信太多 的人都吃過，沒有作用。這個能力在后來的考研、 MBA、托福以及生活中都很大程度上成就了我，這也是我今天要推薦給諸位的最有分享價值的好東西 （ ） 基本上 30個小時就夠用了。最后，經(jīng)常學(xué)習(xí)的同學(xué)，我再推薦一個學(xué)習(xí)商城“愛貝街”，上面的產(chǎn)品非常全，有一個分類是潛能開發(fā)，里面賣的產(chǎn)品比市場上便宜很多哦 ~（ 好的，開始進入正題！ 一、極限 （一）基本概念 定義 1 函數(shù)的初等特性 （ 1）單調(diào)性 （ 2）有界性 （ 3）奇偶性 例題 1研究函數(shù) )1ln ()( 2xxxf ??? 的奇偶性，并求其反函數(shù)。 定義 2 基本初等函數(shù) — 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)稱 基本初等函數(shù)。 定義 4 極限的概念 （ 1） N?? 定義 — 若對任意的 0?? ，總存在 0?N ，當 Nn? 時，有 ??? || Aan ，稱 A 為數(shù)列 na 的極限， 記為 Aann ???lim。 （ 3） X?? 定義 — 若對任意的 0?? ，總存在 0?X ，當 Xx ?|| 時，有 ??? |)(| Axf ，稱 A 為函數(shù) )(xf 當 ??x 時的極限，記為 Axfx ??? )(lim。 若對任意的 0?? ，總存在 0?? ，當 ???? 00 xx 時，有 ??? |)(| Bxf ，稱 B 為函數(shù) )(xf 在 0xx? 處的右極限，記為 Bxf ?? )0( 0 。 例題 3討論函數(shù)xxxf112121)(??? 在 0?x 處的極限情況。 設(shè) 0,0 ?? ?? ，若 0lim ??? ，稱 ? 為 ? 的高階無窮小，記為 )(?? o? ；若),0(lim ??? k?? ，稱 ? 與 ? 為同階無窮小，記為 )(?? O? ，特別地，若 1lim ??? ，稱 ? 與 ? 為等價無窮小，記為 ??~ 。 （ 2）（保號性） 1）若 )0(0)(lim ???? Axfax，則存在 0?? ，當 ???? ||0 ax 時，有 )0(0)( ??xf 。 3）若 )()( xgxf ? ，且 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 BA? 。 （ 4）（極限與無窮小的關(guān)系） Axf ?)(lim 的充要條件是 ??? Axf )( ，其中 ? 為無窮小。 2）（函 數(shù)型）設(shè) )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 （ 2）單調(diào)有界的數(shù)列必有極限。 [注解 ]（ 1）設(shè)數(shù)列 }{na 由 )(1 nn afa ?? 確定，令 )(xfy? ，若 0)( ?? xf ，則數(shù)列 }{na單調(diào)，其中當 21 aa? 時，數(shù)列 }{na 單調(diào)減少；當 21 aa? 時，數(shù)列 }{na 單調(diào)增加。 運算性質(zhì) （ 1）四則運算性質(zhì) 設(shè) BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 1） BAxgxfxgxf ????? )(l im)(l im)()(l im [ ； 2） ABxgxfxgxf ?? )(lim)(lim)()(lim ； 3） kAxfkxkf ?? )(lim)(lim ； 4）BAxg xfxg xf ?? )(lim )(lim)( )(lim。 2）設(shè) )()(lim afufau ??， axgxx ?? )(lim0，則 )()](lim[)]([lim00 afxgfxgf xxxx ?? ??。 2）有界函數(shù)與無窮小之積是無窮小。 （ 2）等價無窮小的性質(zhì) 1） ??~ ；若 ??~ ，則 ??~ ；若 ??~ ， ??~ ，則 ??~ 。 3）設(shè) 0,0 ?? ?? ，則 ??~ 的充分必要條件是 )(??? o?? 。 2） 22 2~co s1,2~co s1 xaxxx a?? 。 幾個重要極限 （ 1） 1sinlim0 ?? xxx。 （ 3） axa xx ln1lim0 ???。 [注解 ] )(xf 在點 0xx? 處連續(xù)的充分必要條件是 )()0()0( 000 xfxfxf ???? 。 [注解 ] （ 1）初等函數(shù)有定義的地方都連續(xù)。 間斷及分類 （ 1）若 )0(),0( ?? afaf 都存在且間斷，稱 ax? 為 )(xf 的第一類間斷點。 （ 2）若 )0(),0( ?? afaf 至少有一個不存在，稱 ax? 為函數(shù) )(xf 的第二類間斷點。 2．（有界定理）設(shè) ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上有界。 4．（介值定理） （ 1）設(shè) ],[)( baCxf ? ，且 Mm, 分別為函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上的最小值與最大值，則對任意的 ],[ Mm?? ，總存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f 。 例題部分 求極限 （ 1） ???????? ???????? nnnnn 22212111lim ?。 求下列極限 （ 1） ? ? xx x c os1120 sin1lim ?? ?。 （ 3） 21coslim xx x????????。 設(shè) 01,1 11 ???? ? nn xxx ，證明數(shù)列 }{nx 收斂，并求nn x??lim。 討論xxexf???111)( 的連續(xù)性。 設(shè) ],[)( baCxf ? ，證明：對任意的 )1](,[ nibaxi ??? 及 )1(0 niki ??? 且121 ???? nkkk ? ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( 2211 ?fxfkxfkxfk nn ???? ?。 [注解 ] （ 1） 0??x 同時包括 ??? 0x 與 ??? 0x 。 （ 2）函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處導(dǎo)數(shù)的等價定義 xyxf x ???? ?? 00 lim)( h xfhxfh )()(lim 000 ??? ? 0 0 )()(lim 0 xx xfxfxx ??? ? 。 [反例 ] ||)( xxf ? ，顯然 )(xf 在 0?x 處連續(xù)，但 ||)(