【正文】 ? baba dxxabafabdxxf ])([)()(。 （ 4）設 ]1,0[)( Cxf ? 且單調減少，證明：當 10 ??? 時，有 ?? ? 100 )()( dxxfdxxf ??。 （三）弧長 設 ))((: bxaxfyL ??? ，則 dxxfds )(1 2??? ，從而 ? ??? ba dxxfl )(1 2。 過 )0(2 ?? xxy 上某點作切線，使該曲線、切線和 x 軸所圍成的圖形面積為 121 ，求切點坐標、切線方程及所圍成的圖形繞 x 軸一周所成旋轉體的體積。 二、微分方程的種類及解法 （一）一階微分方程及解法 可分離變量的微分方程 （ 1）定義 — 稱 ),( yxfdxdy? （其 中 )()(),( 21 yxyxf ??? ）為可分離變量的微分方程。 貝努利方程 （ 1）定義 — 形如 )1,0()()( ???? nyxQyxPy n稱為貝努利方程。 稱 )()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ 2） 若 )()()( 21 xfxfxf ?? ，則（ 2）可以分解為如下兩個方程： )()()()( 11)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ ） )()()()( 21)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ ） 為 n 階非齊線性微分方程。 特殊情形 — 高階常系數(shù)線性微分方程的解法 （ 1）二階常系數(shù)齊次線性微分方程及解法 稱 0?????? qyypy （ qp, 為常數(shù)）為二階常系數(shù)齊次線性方程， 稱 02 ??? qp?? 為其特征方程。 （ 1）求微分方程 02)( 3 ??? xdydxxy 的通解。 2020考研數(shù) 學導學班輔導講義 線性代數(shù)部分 — 矩陣理論 一、矩陣基本概念 矩陣的定義 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211，稱為矩陣 nm? ，記為 nmijaA ?? )( 。大家有選擇性的看，都是個人覺得非常好的。 鯉魚資料下載網，各種資料都有下載。若兩個矩陣同型且對應元素相同，稱兩個矩陣相等。 求微分方程 xxeyyy ?????? 23 的通解。 微分方程22 1 yxy ???的通解為 ________________ 。 6 ）設 )(,),(),( 21 xxx n??? ? 為（ 1 ）的 n 個 線 性 無 關 解 ， 則)()()( 2211 xkxkxk nn??? ??? ?為（ 1）的通解。 0),( ???? yyyf 解法：令 py?? ，則dydppdxdpy ????，于 是原方程化為 0),( ?dydpppyf，解出 p 即 y? ，再不定積分即可。 一階非齊線性微分方程 （ 1）定義 — 形如 )()( xQyxPdxdy ?? 稱為一階非齊 線性微分方程。 微分方程的解 — 使得微分方程成立的函數(shù)稱為微分方程的解。 （ 1）證明：存在 )1,0(?c ，使得在區(qū)間 ],0[ c 上以 )(cf 為高的矩形面積等于在區(qū)間 ]1,[c 上以 )(xfy? 為曲邊的曲邊梯形的面積。 曲線繞 y 軸旋轉所得旋轉體的體積： ?? bay dxxfxV |)(|||2?。 （ 2）設 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)且單調減少，證明： ??? ??? ?? nnkn dxxffkfdxxf 1111 )()1()()( 。 （ 2）計算 ??22 a r c ta n|s in|?? dxex x。 （三）解答與證明題 計算下列定積分： （ 1） ? ?4542 )sin1(?? dxx 。 3） ??? )21( 。 （ 3） ],(],()( bccaCxf ?? — 若廣義積分 ?ca dxxf )(與 ?bc dxxf )(都收斂，稱?ba dxxf )( 收斂，若兩個廣義積分中至少有一個發(fā)散，稱廣義積分 ?ba dxxf )( 發(fā)散。 例 1計算 ?? ?2241sin?? dxexx。 2）設 ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)(。 （ 3） ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(。 （ 3） )()]([)()]([)(1122)( )(21 xxfxxfdttfdxd xx ?????? ?????。 （ 3）函數(shù)有界只是函數(shù)可積的必要條件。 例 1計算下列不定積分 （ 1） ? ??21 1 xx； （ 2） ?? dxxx )41( 1； （ 3） ?? dxex 11； （ 4） dxxx? ??4211 ； （ 5） dxxx? ? )1( 1 7； （ 6） dxxx x? ? 2)ln( ln1。 10） Cxdxx ???? c s cc o tc s c ； （ 6） 1） Cxdxx ???? a r c s in1 1 2。 （ 4） Caadxa xx ??? ln ， Cedxe xx ??? 。 不定積分 — 設 )(xf 為一個存在原函數(shù)的函數(shù)，則 )(xf 的所有原函數(shù)稱為 )(xf的不定積分，記為 dxxf? )( ，設 )(xF 為 )(xf 的一個原函數(shù)，則dxxf? )( CxF ?? )( 。 設 ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內可導，且 0)( ?? xf ，證明：存在 ),(, ba??? ，使得 ??? ?????? eab eeff ab)( )(。 （三）漸近線 若 ??? )(lim xfax，則稱 ax? 為 )(xfy? 的鉛直漸近線。 例題 1 設 )(xf 一階連續(xù)可導， 0)0( ?f ， 2)()(lim0 ???? xxfxfx，判斷 0?x 是否是)(xf 的極值點。 設 ]2,1[)( Cxf ? ，在 )2,1( 內可導，且 2)2(,21)1( ?? ff ，證明：存在 )2,1(?? ，使得 ??? )(2)( ff ??。 例 2 設 ],[)( baCxf ? ，且 0)( ??? xf ，取 )1](,[ nibaxi ??? ，設 )1(0 nik i ??? 且121 ???? nkkk ? ，證明： )()()()( 22112211 nnnn xfkxfkxfkxkxkxkf ??????? ??。 （ 2）泰勒中值定理中的 0x 的選擇標準 1）若已知 條件中給出某點的一階導數(shù)，則該點往往為 0x 。 定理 4（ Taylor 中值定理）設 )(xf 在 0xx? 的鄰域內有直到 1?n 階導數(shù)，則有 )()(! )()(!2 )()()()( 00)(20200 xRxxn xfxxxfxfxfxf nnn ??????????? ?， 且 nnn xxnfxR )()!1( )()( 0)1( ??? ? ?，其中 ? 介于 0x 與 x 之間。 函數(shù)極值點處導數(shù)的可能情況 情形一： 0)( ??af 。 例 1 設??? ? ?? ty tx arctan)1ln(，求 dxdy 及22dxyd 。 2)( v vuvuvu ?????； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 1)( ??? aa axx ，特別地????????????xxxx21)(1)1(2 。 若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的左導 數(shù)，記為 )( 0xf?? ，若xyx ????? 0lim 存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的右導數(shù)，記為 )( 0xf?? ， )(xfy?在點 0xx? 處可導的充分必要條件是 )( 0xf?? 與 )( 0xf?? 都存在且相等。 求下列極限)c o s1( s in1t a n1lim0 xx xxx ? ????。 3．（零點定理）設 ],[)( baCxf ? ，且 0)()( ?bfaf ，則存在 ),( ba?? ，使得 0)( ??f 。 （ 2）函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù) — 若函數(shù) )(xf 在 ),( ba 內點點連續(xù)，且 )0()( ?? afaf ，)0()( ?? bfbf ，稱 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，記為 ],[)( baCxf ? 。 （ 3）當 0?x 時常用的等價無窮小 1） )1l n (~1~a r c t a n~a r c s i n~t a n~s i n~ xexxxxx x ??。 （ 2）復合運算性質 1）設 Aufau ?? )(lim， axgxx ?? )(lim0，則 Axgfxx ?? )]([lim0。 極限的存在性質 （ 1）（迫斂定理） 1）（數(shù)列型）設 nnn cba ?? ，且 Acannnn ?? ???? limlim，則 Abnn ???lim。 定義 5 無窮小 — 以零為極限的函數(shù)稱為無窮小。 定義 3 初等函數(shù) — 由常數(shù)及基本初等函數(shù)經過有限次的四則運算和復合運算而成的一個式子稱初等函數(shù)。 高等數(shù)學部分 第一講 極 限 與 連 續(xù) 跟大家分享點經驗，以及告訴大家一些方法： 太多的人總是抱怨學不進去，記不住，思維轉得慢，大腦不好使，吸取知識的能力太差，學習效率太低。 定義 2 基本初等函數(shù) — 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)及反三角函數(shù)稱 基本初等函數(shù)。 例題 3討論函數(shù)xxxf112121)(??? 在 0?x 處的極限情況。 （ 4）（極限與無窮小的關系） Axf ?)(lim 的充要條件是 ??? Axf )( ，其中 ? 為無窮小。 運算性質 （ 1）四則運算性質 設 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 1） BAxgxfxgxf ????? )(l im)(l im)()(l im [ ； 2） ABxgxfxgxf ?? )(lim)(lim)()(lim ； 3） kAxfkxkf ?? )(lim)(lim ； 4）BAxg xfxg xf ?? )(lim )(lim)( )(lim。 3）設 0,0 ?? ?? ，則 ??~ 的充分必要條件是 )(??? o?? 。 [注解 ] )(xf 在點 0xx? 處連續(xù)的充分必要條件是 )()0()0( 000 xfxfxf ???? 。 2．（有界定理）設 ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上有界。 （ 3） 21coslim xx x????????。 [注解 ] （ 1） 0??x 同時包括 ??? 0x 與 ??? 0x 。 問題 1 函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處何時可微（或可微的條件）？ 問題 2 若函數(shù) )(xfy? 在 0xx? 處可微， ??A 二、求導數(shù)三大工具 （一）基本公式 0)( ??C 。 ukku ???)( 。 參數(shù)方程確定的函數(shù)的導數(shù) 設 )(xfy? 由??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導，求 dxdy 及22dxyd 。 第三講 中 值 定 理 及 其 應 用 一、中值定理 （一）預備知識 極值點與極值 — 設 ))(( Dxxfy ?? ， Dx?0 ，若存在 0?? ，當 ???? ||0 0xx時，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0x 為 )(xf 的極大點， )( 0xf 為 )(xf 的極大值；若存在0?? ，當 ???? ||0 0xx 時，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0 x 為 )(xf 的極小點， )( 0xf 為 )(xf的極小值。 定理 3（ Cauchy 中值定理）設 )(),( xgxf 滿足：（ 1） ],[)(),( baCxgxf ? ；（ 2）)(),( xgxf 在 ),( ba 內可導；（ 3） ),(,0)( baxxg ??? ，則存在 ),( ba?? ，使得 )( )()()( )()( ??gfagbg afbf ?????。 6）