【正文】 ? baba dxxabafabdxxf ])([)()(。 （ 4）設 ]1,0[)( Cxf ? 且單調減少，證明：當 10 ??? 時，有 ?? ? 100 )()( dxxfdxxf ??。 （三）弧長 設 ))((: bxaxfyL ??? ，則 dxxfds )(1 2??? ，從而 ? ??? ba dxxfl )(1 2。 過 )0(2 ?? xxy 上某點作切線，使該曲線、切線和 x 軸所圍成的圖形面積為 121 ，求切點坐標、切線方程及所圍成的圖形繞 x 軸一周所成旋轉體的體積。 二、微分方程的種類及解法 （一）一階微分方程及解法 可分離變量的微分方程 （ 1）定義 — 稱 ),( yxfdxdy? （其 中 )()(),( 21 yxyxf ??? ）為可分離變量的微分方程。 貝努利方程 （ 1）定義 — 形如 )1,0()()( ???? nyxQyxPy n稱為貝努利方程。 稱 )()()()( 1)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ 2） 若 )()()( 21 xfxfxf ?? ，則（ 2）可以分解為如下兩個方程： )()()()( 11)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ ） )()()()( 21)1(1)( xfyxayxayxay nnnn ?????? ?? ? （ ） 為 n 階非齊線性微分方程。 特殊情形 — 高階常系數線性微分方程的解法 （ 1）二階常系數齊次線性微分方程及解法 稱 0?????? qyypy （ qp, 為常數）為二階常系數齊次線性方程， 稱 02 ??? qp?? 為其特征方程。 （ 1）求微分方程 02)( 3 ??? xdydxxy 的通解。 2020考研數 學導學班輔導講義 線性代數部分 — 矩陣理論 一、矩陣基本概念 矩陣的定義 — 形如??????????????mnmmnnaaaaaaaaa???????212222111211，稱為矩陣 nm? ，記為 nmijaA ?? )( 。大家有選擇性的看，都是個人覺得非常好的。 鯉魚資料下載網，各種資料都有下載。若兩個矩陣同型且對應元素相同，稱兩個矩陣相等。 求微分方程 xxeyyy ?????? 23 的通解。 微分方程22 1 yxy ???的通解為 ________________ 。 6 ）設 )(,),(),( 21 xxx n??? ? 為（ 1 ）的 n 個 線 性 無 關 解 ， 則)()()( 2211 xkxkxk nn??? ??? ?為（ 1）的通解。 0),( ???? yyyf 解法：令 py?? ，則dydppdxdpy ????，于 是原方程化為 0),( ?dydpppyf，解出 p 即 y? ，再不定積分即可。 一階非齊線性微分方程 （ 1）定義 — 形如 )()( xQyxPdxdy ?? 稱為一階非齊 線性微分方程。 微分方程的解 — 使得微分方程成立的函數稱為微分方程的解。 （ 1）證明：存在 )1,0(?c ，使得在區(qū)間 ],0[ c 上以 )(cf 為高的矩形面積等于在區(qū)間 ]1,[c 上以 )(xfy? 為曲邊的曲邊梯形的面積。 曲線繞 y 軸旋轉所得旋轉體的體積： ?? bay dxxfxV |)(|||2?。 （ 2）設 )(xf 在 ),0( ?? 上連續(xù)且單調減少，證明： ??? ??? ?? nnkn dxxffkfdxxf 1111 )()1()()( 。 （ 2）計算 ??22 a r c ta n|s in|?? dxex x。 （三）解答與證明題 計算下列定積分： （ 1） ? ?4542 )sin1(?? dxx 。 3） ??? )21( 。 （ 3） ],(],()( bccaCxf ?? — 若廣義積分 ?ca dxxf )(與 ?bc dxxf )(都收斂，稱?ba dxxf )( 收斂，若兩個廣義積分中至少有一個發(fā)散，稱廣義積分 ?ba dxxf )( 發(fā)散。 例 1計算 ?? ?2241sin?? dxexx。 2）設 ],[)( aaCxf ?? ，且 )()( xfxf ?? ，則 ?? ?? aaa dxxfdxxf 0 )(2)(。 （ 3） ??? ?? bccaba dxxfdxxfdxxf )()()(。 （ 3） )()]([)()]([)(1122)( )(21 xxfxxfdttfdxd xx ?????? ?????。 （ 3）函數有界只是函數可積的必要條件。 例 1計算下列不定積分 （ 1） ? ??21 1 xx； （ 2） ?? dxxx )41( 1； （ 3） ?? dxex 11； （ 4） dxxx? ??4211 ； （ 5） dxxx? ? )1( 1 7； （ 6） dxxx x? ? 2)ln( ln1。 10） Cxdxx ???? c s cc o tc s c ； （ 6） 1） Cxdxx ???? a r c s in1 1 2。 （ 4） Caadxa xx ??? ln ， Cedxe xx ??? 。 不定積分 — 設 )(xf 為一個存在原函數的函數，則 )(xf 的所有原函數稱為 )(xf的不定積分，記為 dxxf? )( ，設 )(xF 為 )(xf 的一個原函數，則dxxf? )( CxF ?? )( 。 設 ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內可導，且 0)( ?? xf ，證明：存在 ),(, ba??? ，使得 ??? ?????? eab eeff ab)( )(。 （三）漸近線 若 ??? )(lim xfax，則稱 ax? 為 )(xfy? 的鉛直漸近線。 例題 1 設 )(xf 一階連續(xù)可導， 0)0( ?f ， 2)()(lim0 ???? xxfxfx，判斷 0?x 是否是)(xf 的極值點。 設 ]2,1[)( Cxf ? ，在 )2,1( 內可導，且 2)2(,21)1( ?? ff ，證明：存在 )2,1(?? ，使得 ??? )(2)( ff ??。 例 2 設 ],[)( baCxf ? ，且 0)( ??? xf ，取 )1](,[ nibaxi ??? ，設 )1(0 nik i ??? 且121 ???? nkkk ? ，證明： )()()()( 22112211 nnnn xfkxfkxfkxkxkxkf ??????? ??。 （ 2）泰勒中值定理中的 0x 的選擇標準 1）若已知 條件中給出某點的一階導數，則該點往往為 0x 。 定理 4（ Taylor 中值定理）設 )(xf 在 0xx? 的鄰域內有直到 1?n 階導數，則有 )()(! )()(!2 )()()()( 00)(20200 xRxxn xfxxxfxfxfxf nnn ??????????? ?， 且 nnn xxnfxR )()!1( )()( 0)1( ??? ? ?，其中 ? 介于 0x 與 x 之間。 函數極值點處導數的可能情況 情形一： 0)( ??af 。 例 1 設??? ? ?? ty tx arctan)1ln(，求 dxdy 及22dxyd 。 2)( v vuvuvu ?????； )()1(1)(0)()( nnnnnnnn uvCvuCvuCuv ????? ? ?。 1)( ??? aa axx ，特別地????????????xxxx21)(1)1(2 。 若 xyx ????? 0lim存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的左導 數，記為 )( 0xf?? ，若xyx ????? 0lim 存在，稱此極限為 )(xfy? 在點 0xx? 處的右導數，記為 )( 0xf?? ， )(xfy?在點 0xx? 處可導的充分必要條件是 )( 0xf?? 與 )( 0xf?? 都存在且相等。 求下列極限)c o s1( s in1t a n1lim0 xx xxx ? ????。 3．（零點定理）設 ],[)( baCxf ? ，且 0)()( ?bfaf ，則存在 ),( ba?? ，使得 0)( ??f 。 （ 2）函數在閉區(qū)間上連續(xù) — 若函數 )(xf 在 ),( ba 內點點連續(xù)，且 )0()( ?? afaf ，)0()( ?? bfbf ，稱 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù)，記為 ],[)( baCxf ? 。 （ 3）當 0?x 時常用的等價無窮小 1） )1l n (~1~a r c t a n~a r c s i n~t a n~s i n~ xexxxxx x ??。 （ 2）復合運算性質 1）設 Aufau ?? )(lim， axgxx ?? )(lim0，則 Axgfxx ?? )]([lim0。 極限的存在性質 （ 1）（迫斂定理） 1）（數列型）設 nnn cba ?? ，且 Acannnn ?? ???? limlim，則 Abnn ???lim。 定義 5 無窮小 — 以零為極限的函數稱為無窮小。 定義 3 初等函數 — 由常數及基本初等函數經過有限次的四則運算和復合運算而成的一個式子稱初等函數。 高等數學部分 第一講 極 限 與 連 續(xù) 跟大家分享點經驗，以及告訴大家一些方法： 太多的人總是抱怨學不進去，記不住，思維轉得慢，大腦不好使，吸取知識的能力太差，學習效率太低。 定義 2 基本初等函數 — 冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數稱 基本初等函數。 例題 3討論函數xxxf112121)(??? 在 0?x 處的極限情況。 （ 4）（極限與無窮小的關系） Axf ?)(lim 的充要條件是 ??? Axf )( ，其中 ? 為無窮小。 運算性質 （ 1）四則運算性質 設 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 1） BAxgxfxgxf ????? )(l im)(l im)()(l im [ ； 2） ABxgxfxgxf ?? )(lim)(lim)()(lim ； 3） kAxfkxkf ?? )(lim)(lim ； 4）BAxg xfxg xf ?? )(lim )(lim)( )(lim。 3）設 0,0 ?? ?? ，則 ??~ 的充分必要條件是 )(??? o?? 。 [注解 ] )(xf 在點 0xx? 處連續(xù)的充分必要條件是 )()0()0( 000 xfxfxf ???? 。 2．（有界定理）設 ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上有界。 （ 3） 21coslim xx x????????。 [注解 ] （ 1） 0??x 同時包括 ??? 0x 與 ??? 0x 。 問題 1 函數 )(xfy? 在 0xx? 處何時可微（或可微的條件）？ 問題 2 若函數 )(xfy? 在 0xx? 處可微， ??A 二、求導數三大工具 （一）基本公式 0)( ??C 。 ukku ???)( 。 參數方程確定的函數的導數 設 )(xfy? 由??? ?? )()(ty tx ??確定，其中 ??, 皆二階可導，求 dxdy 及22dxyd 。 第三講 中 值 定 理 及 其 應 用 一、中值定理 （一）預備知識 極值點與極值 — 設 ))(( Dxxfy ?? ， Dx?0 ，若存在 0?? ，當 ???? ||0 0xx時，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0x 為 )(xf 的極大點， )( 0xf 為 )(xf 的極大值；若存在0?? ，當 ???? ||0 0xx 時，有 )()( 0xfxf ? ，稱 0 x 為 )(xf 的極小點， )( 0xf 為 )(xf的極小值。 定理 3（ Cauchy 中值定理）設 )(),( xgxf 滿足：（ 1） ],[)(),( baCxgxf ? ；（ 2）)(),( xgxf 在 ),( ba 內可導；（ 3） ),(,0)( baxxg ??? ，則存在 ),( ba?? ，使得 )( )()()( )()( ??gfagbg afbf ?????。 6）