【正文】 tGdttgdtttfdxxf tx ??????? ?? ??? )]([)()()()]([)( 1)( ???? 。 7） Cax axadxax ?????? ||ln211 22。 3） Cxdxx ???? a r c ta n1 12。 6） Cxxx d x ???? |c o tc s c|lnc s c ； 7） Cxxdx ??? ta ns ec 2 。 2） Cxxdx ??? s inc o s 。 （ 2） )1(11 1 ????? ?? aCxadxx aa 。 （ 2）存在第一類間斷點的函數(shù)不存在原函數(shù)，但有第二類間斷的函數(shù)可能存在原函數(shù)，如 ?????????0,00,1c o s1s in2)(xxxxxxf 。 設 )(xf 滿足 xexfxxfx ?????? 1)(3)( 2 ，且 )(xf? 在 0?x 處連續(xù)，證明： （ 1）若 )(xf 在 0??ax 處有極值，則該極值一定是極小值； （ 2）若 )(xf 在 0?x 處有極值，該極值是極大還是極小值？ 證明方程 dxxexx ? ??? ?0 2c o s1ln在 ),0( ?? 內(nèi)有且僅有兩個根 。 設 ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內(nèi)可導， )()( bfaf ? ，且 )(xf 不為常數(shù)，證明：存在 ),( ba?? ，使得 0)( ???f 。 證明：（ 1）存在 )1,21(?? ，使得 ?? ?)(f 。 若 axxfx ???)(lim ， baxxfx ???? ])([lim ，則稱 baxy ?? 為 )(xfy? 的斜漸近線。 （ 2）若在 ),( ba 有 0)( ??? xf ，則 )(xf 在 ),( ba 內(nèi)凸函數(shù)。 如： ]1,0[)1()( 22 Cxxxf ???? ，令 0)1(22)( ????? xxxf ，得 21?x ， 由 21)21(,1)1()0( ??? fff ，得 )(xf 在 ]1,0[ 上的最大值為 1，最小值為 21 。 （二）求極值步驟 （ 1）求函數(shù)的定義域； （ 2）求駐點和函數(shù)不可導的點； （ 3）極值點判別方法 定理 1（第一充分條件）設 )(xf 在 0xx? 的去心鄰域內(nèi)可導，則 （ 1）若當 0xx? 時， 0)( ?? xf ，當 0xx? 時， 0)( ?? xf ，則 0xx? 為 )(xf 的極大點； （ 2）若當 0xx? 時， 0)( ?? xf ，當 0xx? 時， 0)( ?? xf ，則 0xx? 為 )(xf 的極小點。 設 ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內(nèi)可導，且 1)()( ?? bfaf ，證明：存在 ),(, ba??? ， 使得 1)]()([ ???? ???? ffe 。 題型三：含一個中值，不含端點，且結(jié)論中導數(shù)的差距上一階問題 設 ],[)( baCxf ? ，在 ),( ba 內(nèi)可導， 0)()( ?? bfaf ，證明：存在 ),( ba?? ，使得 0)()( ??? ??? ff 。 設 )(xf 在 ]1,0[ 上三階可導， 0)1( ?f ，令 )()( 3 xfxxH ? ，證明：存在 )1,0(?? ，使得 0)( ???? ?H 。 思路二：使用如下定理得到的不等式 定理 設 )(xf 在 ],[ ba 上二階可導，則有 （ 1）若 0)( ??? xf ，則 ))(()()( 000 xxxfxfxf ???? ，等號成立當且僅當 x? ； （ 2）若 0)( ??? xf ，則 ))(()()( 000 xxxfxfxf ???? ，等號成立當且僅當 0xx? 。 3）中點。 5） )()1(11 1 2 xRxxxxnnn ???????? ?。 [注解 ]（ 1）常見函數(shù)的馬克勞林公式 1） )(!!21 2 xRnxxxennx ?????? ?。 （ 2） ? 由 ba, 確定，且 微分中值定理的端點可以為變量。 結(jié)論：若 ax? 為 )(xf 的極值點，則 0)( ??af 或 )(af? 不存在。 例 3 設 xxxf sin)( 2? ，求 )()20( xf 。 分段函數(shù)求導數(shù) 例 1 設??? ?? ?? 0),1ln( 0,s in)( xxxxxf，求 )(xf? 并討論 )(xf? 的連續(xù)性。 三、求導類型 顯函數(shù)求導數(shù) 例 1 設 )s e c2ln ( ta n 21s in 2 xxey x ??? ，求 y? ； 例 2 設 xxy sin? ，求 y? ； 例 3 設 )0( ???? aaaxy xaa axa ，求 y? 。 [注解 ]（ 1）原函數(shù)與其反函數(shù)一階導數(shù)與二階導數(shù)之間的關(guān)系 設 )(xfy? 為二階可導函數(shù)，且 0)( ?? xf ， )(yx ?? 為 )(xfy? 的反函數(shù)，則 )(11)(xfdxdyydydx ????? ? ，即原函數(shù)與其反函數(shù)導數(shù)之間為倒數(shù)關(guān)系， )()(//])(1[])(1[)]([)( 322 xf xfdxdydxxfddyxfddyydydyxd?????????????? ?? 。 vuvuuv ?????)( 。 axxa ln1)(log ??，特別地 xx 1)(ln ?? 。 問題 2 設20 )2(c o s h )3(lim h ffh ???存在，問 )2(f? 是否存在？ 可微 — 設 )(xfy? 為定義于 D 上的函數(shù)， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若 )( xoxAy ????? ，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可微，記 xAdy ?? ，或者 Adxdy? 。 （ 3）若 )(xfy? 在 0xx? 處可導，則 )(xfy? 在 0xx? 處連續(xù)，反之不對。 第二講 導 數(shù) 與 微 分 一、基本概念 導數(shù) — 設 )(xfy? 為定義于 D 上的函數(shù)， Dx?0 ， )()( 00 xfxxfy ????? ，若極限 xyx ???? 0lim存在，稱 )(xfy? 在 0xx? 處可導為 )(xfy? 在 0xx? 處的導數(shù)，記為 )( 0xf? 或0| xxdxdy? 。 設???????????????????01,110,00,)1ln ()(xxxxxxxxxf ，討論)(xf 在 0?x 處的連續(xù)性。 （ 2） 310 sin1tan1lim xx xx?????? ???。 （ 2）設 ],[)( baCxf ? ，且 )()( bfaf ? ，不妨設 )()( bfaf ? ，則對任意的)](),([ bfaf?? ，總存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f 。 （二）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 1．（最值定理）設 ],[)( baCxf ? ，則 )(xf 在 ],[ ba 上取到最大值和最小值。 （ 2）若 ],[)( baCxf ? ，則 ],[|)(| baCxf ? 。 二、連續(xù)與間斷 （一）基本概念 連續(xù) （ 1）函數(shù)在一點連續(xù) — 若 )()(lim00 xfxfxx ??，稱 )(xf 在 0xx? 點處連續(xù) 。 3） axx a ~1)1( ?? 。 2）若 ?? ?~ ， ?? ?~ ，且 ????lim 存在，則 ???lim ????lim 。 無窮小的性質(zhì) （ 1）無窮小的一般性質(zhì) 1）有限個無窮小之和或之積是無窮小。 （ 2）設 }{na 單調(diào)增加，則有如下兩中情況： 情形一：數(shù)列 }{na 沒有上界，則 ????? nn alim； 情形二：數(shù)列 }{na 有上界，則nn a??lim存在，令 Aann ???lim，則 A 即為數(shù)列 }{na 的上界， A 是所有上界中最小的上界。 [例子 ] 求 )2211(lim222 nn nnnn ??????? ?。 （ 3）（有界性）若nn a??lim存在，則數(shù)列 }{na 有界。 （二）極限性質(zhì) 極限的基本性質(zhì) （ 1）（唯一性）極限存在必唯一。 【注解】 )(lim0 xfxx?存在的充分必要條件是 )0( 0 ?xf 與 )0( 0 ?xf 都存在且相等。 （ 2） ??? 定義 — 若對任意的 0?? ，總存在 0?? ，當 ???? ||0 0xx 時，有??? |)(| Axf ，稱 A 為函數(shù) )(xf 當 0xx? 時的極限，記為 Axfxx ?? )(lim0。 （ 4）周期性 例題 2設 ][)( xxxf ?? ，討論其特性。 的時候，無意間在 搜索到一個叫做“”的產(chǎn)品，當時要考公務員，花了幾百塊錢買了來練，開始一兩個星期沒有太明顯的效果，但是一個月的訓練之后，效果非常理想，閱讀速度和記憶能力在短時間內(nèi)提高很多，思維這些都比以前更敏捷，那個時候一兩個小時可以看完一本書，而且非常容易記住書中的內(nèi)容。讀書的學習不好，經(jīng)商的賺錢不多！作者本人以前也和讀者有著同樣的困惑，在我考上研究生，然后再讀 MBA，后來再考托福，一路的高壓力考試中，從開始就學習了很多的學習方法，記憶方法，包括各種潛能開發(fā)培訓班都上過一些，還有吃補腦的藥也有一些，不過感覺上懂了理論，沒有太多的實踐，效果不太明顯，吃的就更不想說了，相信太多 的人都吃過，沒有作用。最后，經(jīng)常學習的同學，我再推薦一個學習商城“愛貝街”，上面的產(chǎn)品非常全，有一個分類是潛能開發(fā)，里面賣的產(chǎn)品比市場上便宜很多哦 ~（ 好的，開始進入正題！ 一、極限 （一）基本概念 定義 1 函數(shù)的初等特性 （ 1）單調(diào)性 （ 2）有界性 （ 3）奇偶性 例題 1研究函數(shù) )1ln ()( 2xxxf ??? 的奇偶性，并求其反函數(shù)。 定義 4 極限的概念 （ 1） N?? 定義 — 若對任意的 0?? ，總存在 0?N ，當 Nn? 時，有 ??? || Aan ，稱 A 為數(shù)列 na 的極限， 記為 Aann ???lim。 若對任意的 0?? ，總存在 0?? ，當 ???? 00 xx 時，有 ??? |)(| Bxf ，稱 B 為函數(shù) )(xf 在 0xx? 處的右極限，記為 Bxf ?? )0( 0 。 設 0,0 ?? ?? ，若 0lim ??? ，稱 ? 為 ? 的高階無窮小，記為 )(?? o? ；若),0(lim ??? k?? ，稱 ? 與 ? 為同階無窮小，記為 )(?? O? ，特別地，若 1lim ??? ，稱 ? 與 ? 為等價無窮小，記為 ??~ 。 3）若 )()( xgxf ? ，且 BxgAxf ?? )(lim,)(lim ，則 BA? 。 2）（函 數(shù)型）設 )()()( xhxgxf ?? ，且 Axhxf ?? )(lim)(lim ，則 Axg ?)(lim 。 [注解 ]（ 1）設數(shù)列 }{na 由 )(1 nn afa ?? 確定，令 )(xfy? ，若 0)( ?? xf ，則數(shù)列 }{na單調(diào)，其中當 21 aa? 時，數(shù)列 }{na 單調(diào)減少；當 21 aa? 時，數(shù)列 }{na 單調(diào)增加。 2）設 )()(lim afufau ??， axgxx ?? )(lim0，則 )()](lim[)]([lim00 afxgfxgf xxxx ?? ??。 （ 2）等價無窮小的性質(zhì) 1） ??~ ；若 ??~ ，則 ??~ ；若 ??~ ， ??~ ，則 ??~ 。 2） 22 2~co s1,2~co s1 xaxxx a?? 。 （ 3） axa xx ln1lim0 ???。 [注解 ] （ 1）初等函數(shù)有定義的地方都連續(xù)。 （ 2）若 )0(),0( ?? afaf 至少有一個不存在，稱 ax? 為函數(shù) )(xf 的第二類間斷點。 4．（介值定理） （ 1）設 ],[)( baCxf ? ，且 Mm, 分別為函數(shù) )(xf 在 ],[ ba 上的最小值與最大值，則對任意的 ],[ Mm?? ，總存在 ],[ ba?? ，使得 ?? ?)(f 。 求下列極限 （ 1） ? ? xx x c os1120 sin1lim ?? ?。 設 01,1 11 ???? ? nn xxx ，證明數(shù)列 }{nx 收斂，并求nn x??lim。 設 ],[)( baCxf ? ，證明：對任意的 )1](,[ nibaxi ??? 及 )1(0 niki ??? 且121 ???? nkkk ? ，存在 ],[ ba?? ，使得 )()()()( 2211 ?fxfkxfkxfk nn ????