數(shù)學與應用數(shù)學本科畢業(yè)論文____關(guān)于幾種插值多項式的比較分析-展示頁
2025-03-11 01:50本頁面
【正文】 5 階 Newton 插值多項式， )(xRn為插值多項式誤差。則xx xxxxxxxxx on nnn ggg ??? ? ],...,[],...,[],...,[ 1102110 被稱 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 4 為函數(shù) )(xg 關(guān)于節(jié)點 xxxxn,......, 210的 n 階差商。那么有形如：xx xxxx ggg 01 0110 )()(],[ ??? ，稱 ],[ 10 xxg 為函數(shù) )(xg 關(guān)于節(jié)點 xx，10 處的一階差商。 同 理 ， 當 xxxx n???? ... .. .210 為 插 值 節(jié) 點 時 ， 有.),. ... .,2,1,0()( niyxL iin ?? ,則 )(xLn 可寫成： ?)(xLn ??? )(0 xni iily ))... ()()... (())... ()()... ((1101100 xxxxxxxxxxxxyniiiiiiniini ixxxx ???? ?????????? )( 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 3 式 )( 被稱為 Lagrange 插值多項式 . 在 )( ， )( ， )( 式子中， )(xlik均為插值基函數(shù)，且滿足： ?)(xlik ???01 ki ki??，即得 ?)(xlk ), . . . . . . ,2,1,0(0nixnkii ikixx x ??????. 誤差估計由定理形式給出： 定理 ]7,6,1[ 設(shè) xxxxn,......, 210為區(qū)間 ],[ ba 上互不相同的節(jié)點，? ? ],[ baxf Cn? ，且 )()1( xf n? 在 ),( ba 內(nèi)存在， )(xLn 滿足 yxL iin ?)( 的插值多項式，則對 ),(],[ babax ???? ? ，使得 ?? )()( xfxRn ?)(xLn )()!1( )( 1)1( xn nnf ?? ??? . 還可寫成其截斷誤差： )()!1()( 11 xnx nnn MR ? ????.其中 )(m a x )1(1 xfM nbxan ???? ?，)()( 01 ??? ?? ni in xxx? . Lagrange 插值多項式的優(yōu)點是表達式簡單明確、便于推導、格式整齊規(guī)范；缺點是沒有承上啟下性和計算量大，即當需要增加、減少新的節(jié)點或節(jié)點位置變化時，就得從新計算所以的函數(shù) )(xlik。則 )(1xL 可以寫成 ]5,1[ ： ?)(1 xL y0 ???xx xx101 y1 xx xx010?? )( 它是兩個線性函數(shù) ?)( 00 xl ，x xx x101?? ?)( 11 xl xx xx010?? 的線性組合，所以稱 )( 為線性插值多項式 . 當 2?n 時，相應的構(gòu)造出過三點 ),(00 yx ),( 11 yx ),( 22 yx的多項式)(2xL （ 次 數(shù) 不 超 過 2 且 xxx 210 ?? ） ， 使 得,)( 001 yxL ? ,)( 111 yxL ? yxL 221 )( ? 。若設(shè) )(xR 為誤差函數(shù)或余項，則有 )()()( xxfxR ??? .而且)(xR 滿足關(guān)系式 : .,.. .. .. ,2,1,0,0)( nkR x k ?? Lagrange 插值法 已知 Lagrange 插值是為 n 次多項式插值，首先考察低次的插值多項式。尋找一個簡單、便于計算的函數(shù))(x? ，使 )(x? 滿足： ., .. .. .. ,2,1,0),()( nkf xx kk ??? 通常稱 ],[ba 為 插 值區(qū) 間， )(xf 為 被 插 值 函數(shù) ， )(x? 為插值函數(shù)，xxxx n,......, 210 為插值節(jié)點。 1 、幾種常見的插值公式及其構(gòu)造 插值法是函數(shù)插值法的簡稱，它的基本思想是：構(gòu)造一個簡單便于計算的函數(shù) )(x? 去逼近原函數(shù) )(xf ，通過計算逼近函數(shù) )(x? 在某一點的值從而得到原函數(shù) )(xf 在這一點的近似值， 而求 )(x? 的方法就 稱為插值法。比如在計算斷面的面積、漏磁探傷和曲線擬和等諸多實際問題中，有的函數(shù) )(xf 雖然給出了解析表達式，但往往過于復雜而難以計算，使用不方便；有的函數(shù) )(xf 只 能給出它在平面上一些離散的點和這些點的函數(shù)值，而函數(shù) )(xf 的具體解析表達式則不能給出，在這樣的情況下，選用近似函數(shù) )(x? 來逼近函數(shù) )(xf 。討論和比較它們的實用范圍和優(yōu)缺點 . 關(guān)鍵詞： 數(shù)值分析 插值法 插值公式 誤差 Matlab 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 2021屆本科畢業(yè)論文 II Comparison and Analysis on several kinds of interpolation polynomials Mathematics and Computer Science Department Mathematics and Applied Mathematics Wang Ye ABSTRACT Interpolation is one of the most basic method of numerical algorithm, but also the function approximation, numerical integration, numerical differentiation, numerical solution of differential equation based. Many practical problems need to solve by using the interpolation method, so the introduction of several mon interpolation formula and error estimate,
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