【正文】 ??? NA FAd?0?? ?? AA dAyCAdCy結(jié) 論： 中性軸一定通過截面的形心。 0??? NA FAd?? ? zA MyAd －?? ?純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 這一表達式雖然給出了橫截面上的應(yīng)力分布 ， 但仍然不能用于計算橫截面上各點的正應(yīng)力 。 ?/EC?純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 xdd?? ?1純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 梁橫截面上的應(yīng)力 16 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 ??y－?其中 ?為 中性面彎曲后的曲率半徑 ， 也就是梁的軸線彎曲后的曲率半徑 。 于是得到 ??? yxddyxdxd －－ ????這就是正應(yīng)變沿橫截面高度方向分布的數(shù)學(xué)表達式 。 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 梁橫截面上的應(yīng)力 14 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 在橫截面上建立 Oxy坐標(biāo)系 ， 其中 z軸與中性軸重合 (位置未定 )， y軸沿橫截面高度方向并與加載方向重合 。 梁橫截面上的應(yīng)力 13 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 用相鄰的兩個橫截面從梁上截取長度為 dx的微段 ， 假定梁發(fā)生彎曲變形后 ， 微段的兩個橫截面仍然保持平面 ， 但是繞各自的中性軸轉(zhuǎn)過一角度 dθ。 ? 變形前垂直于縱向線的橫向線 ,變形后仍為直線 ， 且仍與彎曲了的縱向線正交 ， 但兩條橫向線間相對轉(zhuǎn)動了一個角度 。 梁橫截面上的應(yīng)力 11 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 mmnnFF實 驗 現(xiàn) 象 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 應(yīng)力分布 應(yīng)力公式 變 形 應(yīng)變分布 平面假定 物性關(guān)系 靜力 方程 確定橫截面上正應(yīng)力的方法與過程 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 梁橫截面上的應(yīng)力 9 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 分析梁橫截面上的正應(yīng)力 ， 就是要確定梁橫截面上各點的正應(yīng)力與彎矩 、 橫截面的形狀和尺寸之間的關(guān)系 。 梁彎曲的若干定義與概念 第 7章 平面彎曲 167。 梁橫截面上的應(yīng)力 7 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 ※ 梁的中性層與橫截面的中性軸 梁彎曲后 ， 一些層發(fā)生伸長變形 ， 另一些則會發(fā)生縮短變形 ， 在伸長層與縮短層的交界處那一層 ，既不發(fā)生伸長變形 ， 也不發(fā)生縮短變形 ， 稱為梁的 中性層 或 中性面(neutral surface)。 梁彎曲的若干定義與概念 第 7章 平面彎曲 167。 一般情形下 ， 平面彎曲時 ， 梁的橫截面上一般將有兩個內(nèi)力分量 ， 就是 剪力 和 彎矩 。 梁橫截面上的應(yīng)力 5 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 平面彎曲 ：所有外力 （ 包括外力偶 ） 都作用梁的同一主軸平面內(nèi)時 ， 梁的軸線將彎曲成平面曲線 ， 這一曲線位于外力作用平面內(nèi) 。 如果梁的橫截面上只有彎矩這一個內(nèi)力分量 ， 這種平面彎曲稱為 純彎曲 (pure banding)。 這種彎曲稱為 平面彎曲 (plane bending)。由于對稱軸一定是 主軸 ，所以對稱面也一定是 主軸平面 。 主軸平面 ：如果梁的橫截面沒有對稱軸 ， 但是都有通過橫截面形心的形心主軸 ， 所有相同的形心主軸組成的平面 ， 第 7章 平面彎曲 167。 梁的強度 167。 剪力圖和彎矩圖 167。第 7章 平 面 彎 曲 2 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 第 7章 平 面 彎 曲 167。 梁的剪力和彎矩 167。 梁橫截面上的應(yīng)力 167。 梁的變形與剛度 3 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 縱向?qū)ΨQ面 ： 梁的橫截面通常具有縱向?qū)ΨQ軸 ， 所有縱向?qū)ΨQ軸組成的平面 ， 稱為梁的縱向 對稱面 (symmetric plane)。 梁橫截面上的應(yīng)力 稱為梁的 主軸平面 (plane including principal axes)。 梁彎曲的若干定義與概念 4 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 平面彎曲 ：所有外力 （ 包括外力偶 ） 都作用梁的同一主軸平面內(nèi)時 ， 梁的軸線將彎曲成平面曲線 ， 這一曲線位于外力作用平面內(nèi) 。 一般情形下 ， 平面彎曲時 ， 梁的橫截面上一般將有兩個內(nèi)力分量 ， 就是 剪力 和 彎矩 。 梁彎曲的若干定義與概念 第 7章 平面彎曲 167。 這種彎曲稱為 平面彎曲 (plane bending)。 梁在橫向力作用下 ， 其橫截面上一般將同時產(chǎn)生剪力和彎矩 ， 這稱為 橫力彎曲 (transverse bending)。 梁橫截面上的應(yīng)力 6 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 試判斷下列桿件中哪些是純彎曲，哪些是橫力彎曲？ 是純彎曲； 是橫力彎曲 梁彎曲的若干定義與概念 第 7章 平面彎曲 167。 中性層與梁的橫截面的交線 ， 稱為截面的 中性軸 (neutral axis)。 梁橫截面上的應(yīng)力 8 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 中性層與中性軸 梁彎曲的若干定義與概念 第 7章 平面彎曲 167。 可以根據(jù)梁的變形情形推知梁橫截面上的正應(yīng)力分布 。 梁橫截面上的應(yīng)力 10 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 梁橫截面上的應(yīng)力 12 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 ? 變形前互相平行的縱向直線 、 變形后變成弧線 ， 且凹邊纖維縮短 、 凸邊纖維伸長 。 實 驗 現(xiàn) 象 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 微段上到中性面的距離為 y處長度的改變量為： ?dyxd －??式中的負(fù)號表示 y坐標(biāo)為正的線段產(chǎn)生壓縮變形 ， 反之產(chǎn)生伸長變形 。 梁橫截面上的應(yīng)力 15 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 ?dyxd －??將線段的長度改變量除以原長 dx， 即為線段的正應(yīng)變 。 其中 xdd?? ?1純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 因為 ?與 y坐標(biāo)無關(guān) ， 所以在上述二式中 ， ?為常數(shù) 。 梁橫截面上的應(yīng)力 17 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 應(yīng)用彈性范圍內(nèi)的應(yīng)力－應(yīng)變關(guān)系的虎克定律 : ?? E?得到正應(yīng)力沿橫截面高度分布的數(shù)學(xué)表達式 CyyE ?? ?? －式中 為待定的比例常數(shù) ， E為材料的彈性模量 。 梁橫截面上的應(yīng)力 18 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 CyyE ?? ?? －這表明 ， 橫截面上的彎曲正應(yīng)力 ， 沿橫截面的高度方向從中性軸為零開始呈線性分布 。 這是因為尚有兩個問題沒有解決：一是中性軸的位置沒有確定 ， y坐標(biāo)無法計算；二是中性面的曲率半徑 ?沒有確定 。 梁橫截面上的應(yīng)力 19 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 應(yīng)用靜力方程確定待定常數(shù) x z y C dA y z σdA 于是 ， 應(yīng)用積分的方法 ， 負(fù)號表示坐標(biāo) y為正值的微面積 dA上的力對 z軸之矩為負(fù)值； Mz為作用在加載平面內(nèi)的彎矩 。 梁橫截面上的應(yīng)力 20 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 應(yīng)用靜力方程確定待定常數(shù) x z y C dA y z σdA zI? ? ,zA MyAd ??? ? CyyE ??? ??? ? zAA MdAyCyAdCy －?? ?? 2zzIMC －?zzIyM??純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 這些點的 y坐標(biāo)值最大 ， 即 y=ymax。 zzzzWMIyMσ == m a xm a xm a x= yIW zz純彎曲 時梁橫截面上的正應(yīng)力 第 7章 平面彎曲 167。 梁橫截面上的應(yīng)力 24 水 利 土 木 工 程 學(xué) 院 工 程 力 學(xué) 課 程 組 z y d D zzzzWMIyM ?? m a xm a x?m a x= yIW zz32)1(=264)1(=2===4344αDπDαDπDIWWW zy－－D