【正文】 ?，則 ?????? ? ?? 232cos=___________． 51 43? 17? 97? 12 4． 若 13c os ( ) , c os ( )55? ? ? ?? ? ? ?，則 tan tan??? ． 5．求值： 11si n 20 tan 40????_________． 6． 已知232,534c os ????? ????????? ?． 求 ?????? ? 42cos ??的 值 奎屯王新敞 新疆 解： ? ?.2s in2c o s2 24s in2s in4c o s2c o s42c o s ???????? ?????????? ? 又 3 c os 0 ,2 2 4? ? ?????? ? ? ?????且 ,47443 ???? ??? 544c o s14s in 2 ???????? ?????????? ?? ????奎屯王新敞 新疆 從而25244c os4s in222s in2c os ???????? ??????? ???????? ?? ???????， 2574c os2122c os2s in 2 ??????? ????????? ??? ?????奎屯王新敞 新疆 50 23125725242 242c o s ???????? ?????????? ?? ??奎屯王新敞 新疆 2020 高中數(shù)學(xué) 精講精練 第四章 平面向量與復(fù)數(shù) 【 知識(shí) 圖解】 Ⅰ .平面向量知識(shí)結(jié)構(gòu)表 Ⅱ .復(fù)數(shù)的知識(shí)結(jié)構(gòu)表 3 向量 向量的概念 向量的運(yùn)算 向量的運(yùn)用 向量的加、減法 實(shí)數(shù)與向量的積 向量的數(shù)量積 兩個(gè)向量平行的充要條件件件 兩個(gè)向量垂直的充要條件件件 數(shù)系的擴(kuò)充與 復(fù)數(shù)的引入 復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)的運(yùn)算 數(shù)系的擴(kuò)充 O A P Q B a b 第 4 題 【 方 法點(diǎn)撥 】 由于向量融形、數(shù)于一體，具有幾何形式與代數(shù)形式的“雙重身份”，使它成為了中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)的一個(gè)重要交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。 sin105176。 cos75176。高中數(shù)學(xué) 精講精練 第三章 三角函數(shù) A 【知識(shí) 導(dǎo)讀 】 【方法點(diǎn)撥】 三角函數(shù)是一種重要的初等函數(shù)，它與數(shù)學(xué)的其它部分如解析幾何、立體幾何及向量等有著廣泛的聯(lián)系，同時(shí)它也提供了一種解決數(shù)學(xué)問題的重要方法 —— “三角法”．這一部分的內(nèi)容，具有以下幾個(gè)特點(diǎn)： 1． 公式 繁雜 .公式雖多，但公式間的聯(lián)系非常密切，規(guī)律性強(qiáng) .弄清公式間的相互聯(lián)系和推導(dǎo)體系，是記住這些公式的關(guān)鍵 . 2． 思想豐富 .化歸、數(shù)形結(jié)合、分類討論和函數(shù)與方程的思想貫穿于本單元的始終，類比的思維方法在本單元中也得到充分的應(yīng)用 .如將任意角的三角函數(shù)值的問題化歸為銳角的三角函數(shù)的問題，將不同名的三角函數(shù)問題化成同名的三角函數(shù)的問題，將不同角的三角函數(shù)問題化成同角的三角函數(shù)問題等 . 3．變換靈活 .有角的變換、公式的變換、三角函數(shù)名稱的變換、三角函數(shù)次數(shù)的變換、三角函數(shù)表達(dá)形式的變換及一些常量的變換等，并且有的變換技巧性較強(qiáng) . 4．應(yīng)用廣泛 .三角函數(shù)與數(shù)學(xué)中的其它知識(shí)的結(jié)合點(diǎn)非常多，它是解決立體幾何、解析幾何及向量問題的重要工具，并且這部分知識(shí)在今后的學(xué)習(xí)和研究中起著十分重要的作用，比如在物理學(xué)、天文學(xué)、測(cè)量學(xué)及其它各門科學(xué)技術(shù)都有廣泛 的應(yīng)用 . 任意角 的概念 角度制與 弧度制 任意角的 三角函數(shù) 弧長(zhǎng)與扇形 面積公式 三角函數(shù)的 圖象和性質(zhì) 和 角 公 式 差 角 公 式 幾個(gè)三角 恒等式 倍 角 公 式 同角三角函數(shù)關(guān)系 誘 導(dǎo)公 式 正弦定理與余弦定理 解斜三角形及其應(yīng)用 化簡(jiǎn)、計(jì)算、求值 與證明 第 1 課 三角函數(shù)的概念 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 1． 理解任意角和弧度的概念，能正確進(jìn)行弧度與角度的換算． 角的概念推廣后，有正角、負(fù)角和零角；與 ? 終邊相同的角連同角 ? 本身，可構(gòu)成一個(gè)集合? ?ZkkS ????? ,3 60 ???? ；把長(zhǎng)度等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角定義為 1弧度的角，熟練掌握角度與弧度的互換，能運(yùn)用弧長(zhǎng)公式 rl ?? 及扇形的面積公式 S ＝ lr21（ l 為弧長(zhǎng)）解決問題 . 2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定義 . 角的概念推廣以后，以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，角的始邊為 x 軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，在角的終邊上任取一點(diǎn) ( , )Pxy （不同于坐標(biāo)原點(diǎn)），設(shè) OP r? （ 220r x y? ? ?），則 ? 的三 個(gè)三角函數(shù)值定義為： sin , c os , ta ny x yr r x? ? ?? ? ?． 從定義中不難得出六個(gè)三角函數(shù)的定義域：正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域?yàn)?R；正切函數(shù)的定義域?yàn)?{ | , , }2R k k Z?? ? ? ?? ? ? ?． 3． 掌握判斷三角函數(shù)值的符號(hào)的規(guī)律，熟記特殊角的三角函數(shù)值． 由三角函數(shù)的定義不難得出三個(gè)三角函數(shù)值的符號(hào)，可以簡(jiǎn)記為：一正（第一象限內(nèi)全為正值），二正弦（第二象限內(nèi)只有正弦值為正），三切（第三象限只有正切值為正），四余弦（第四象限內(nèi)只有余弦值為正）． 另外， 熟記 0 、 6? 、 4? 、 3? 、 2? 的三角函數(shù)值，對(duì)快速、準(zhǔn)確地運(yùn)算很有好處 . 4． 掌握正弦線、余弦線、正切線的概念． 在平面直角坐標(biāo)系中，正確地畫出一 個(gè)角的正弦線、余弦線和正切線，并能運(yùn)用正弦線、余弦線和正切線理解三角函數(shù)的性質(zhì)、解決三角不等式等問題． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1． 885? 化成 2 ( 0 2 , )k k Z? ? ? ?? ? ? ?的形式是 ． 2．已知 ? 為第三象限角，則 2? 所在的象限是 ． 3．已知角 ? 的終邊過點(diǎn) ( 5,12)P? ，則 cos? = ， tan? = ． 4． tan( 3)sin5cos8? 的符號(hào)為 ． 5．已知角 ? 的終邊上一點(diǎn) ( , 1)Pa? （ 0?a ），且 a???tan ，求 ?sin ， ?cos 的值． 解：由三角函數(shù)定義知， 1a?? ，當(dāng) 1a? 時(shí)， 2sin 2? ?? ， 2cos 2?? ； 當(dāng) 1a?? 時(shí)， 2sin 2? ?? ， 2cos 2? ?? ． 【范例解析】 136 12???? 第二或第四象限 513? 125? 正 例 1.（ 1）已知角 ? 的終邊經(jīng)過一點(diǎn) (4 , 3 )( 0)P a a a??，求 2sin cos??? 的值； （ 2）已知角 ? 的終邊在一條直線 3yx? 上，求 sin? ， tan? 的值 ． 分析：利用三角函數(shù)定義求解 ． 解：（ 1）由已知 4xa? ， 5ra? ．當(dāng) 0a ? 時(shí)， 5ra? ， 3sin5???， 4cos5??，則 22sin cos5??? ? ?； 當(dāng) 0a? 時(shí)， 5ra?? ， 3sin5??， 4cos5???，則 22 sin cos5????． （ 2）設(shè)點(diǎn) ( , 3 )( 0)P a a a ? 是角 ? 的終邊 3yx? 上一點(diǎn)，則 tan 3?? ； 當(dāng) 0a? 時(shí)， 角 ? 是第一象限角，則 3sin 2?? ； 當(dāng) 0a? 時(shí)， 角 ? 是第三象限角，則 3sin 2??? ． 點(diǎn)評(píng)：要注意對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論 ． 例 2.（ 1）若 sin cos 0????，則 ? 在第 _____________象限 ． （ 2）若角 ? 是第二象限角，則 sin2? ， cos2? ， sin2? ， cos2? ， tan2? 中能確定是正值的有 ____個(gè) ． 解：（ 1）由 sin cos 0????，得 sin? ， cos? 同號(hào)，故 ? 在第一，三象限 ． （ 2）由角 ? 是第二象限角，即 222 kk? ? ? ? ?? ? ? ?，得 4 2 2kk? ? ???? ? ? ?，4 2 2 4kk? ? ? ? ?? ? ? ?，故僅有 tan2? 為正值 ． 點(diǎn)評(píng)：準(zhǔn)確表示角的范圍，由此確定三角函數(shù)的符號(hào)． 例 3. 一扇形的周長(zhǎng)為 20cm ，當(dāng)扇形的圓心角 ? 等于多少時(shí)，這個(gè)扇形的面積最大？最大面積是多少？ 分析：選取變量，建立目標(biāo)函數(shù)求最值． 解：設(shè)扇形的半徑為 x ㎝，則弧長(zhǎng)為 (20 2 )lx??㎝，故面積為 21 ( 20 2 ) ( 5 ) 252y x x x? ? ? ? ? ?， 當(dāng) 5x? 時(shí)，面積最大，此時(shí) 5x? ， 10l? ， 2lx???， 所以當(dāng) 2?? 弧度時(shí)，扇形面積最大 25 2cm ． 點(diǎn)評(píng)：由于弧度制引入，三角函數(shù)就可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)． 【反饋演練】 1． 若 sin cos??? 且 sin cos 0????則 ? 在 第 _______象限 ． 二 2．已知 6?? ， 則點(diǎn) (sin , tan )A ??在第 ________象限． 3．已知 角 ? 是第二象限，且 ( , 5)Pm 為其終邊上一點(diǎn)，若 2cos 4 m? ? ，則 m的值為 _______． 4．將時(shí)鐘的分針撥快 30min ，則時(shí)針轉(zhuǎn)過的弧度為 ． 5．若 46? ? ??? ，且 ? 與 23??終邊相同，則 ? = ． 6．已知 1 弧度的圓心角所對(duì)的弦長(zhǎng) 2，則這個(gè)圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是 _______，這個(gè)圓心角所在的扇形的面積是 ___________． 7．（ 1）已知扇形 AOB 的周長(zhǎng)是 6cm，該扇形中心角是 1 弧度，求該扇形面積． （ 2）若扇形的面積為 8 2cm ，當(dāng)扇形的中心角 ? ( 0)?? 為多少弧度時(shí)，該 扇形周長(zhǎng)最小． 簡(jiǎn)解：（ 1）該扇形面積 2 2cm ； （ 2） 2182r l yrl????? ???，得 162 8 2yr r? ? ? ，當(dāng)且僅當(dāng) 22r? 時(shí)取等號(hào) ．此時(shí)， 42l? ， 2lr???． 第 2 課 同角三角函數(shù)關(guān)系及誘導(dǎo)公式 【考點(diǎn)導(dǎo)讀】 ；同角的三角函數(shù)關(guān)系反映了同一個(gè)角的不同三角函數(shù)間的聯(lián)系． 三 3? 12?? 163? 11sin2 11 cos1? ，余弦的誘導(dǎo)公式；誘導(dǎo)公式則揭示了不同象限角的三角函數(shù)間的內(nèi)在規(guī)律，起著變名，變號(hào)，變角等作用． 【基礎(chǔ)練習(xí)】 1. tan600176。 =______． 2. 已知 ? 是第四象限角， 5tan12???，則 sin?? ______． 3cos22? ?????????， 且2???， 則 tan? ＝ ______． 176。 +cos15176。 =___1___． 【范例解析】 例 8cos( ) 17????， 求 sin( 5 )??? ， tan(3 )??? 的值 ． 分析：利用誘導(dǎo)公式結(jié)合同角關(guān)系，求值． 解：由 8cos( ) 17????，得 8cos 017? ? ? ?， ?? 是第二，三象限角． 若 ? 是第二象限角，則 15sin( 5 ) sin 17? ? ?? ? ? ? ?， 15ta n( 3 ) ta n 8? ? ?? ? ? ?； 若 ? 是第三象限角，則 15sin ( 5 ) sin 17? ? ?? ? ? ?， 15ta n( 3 ) ta n 8? ? ?? ? ?． 點(diǎn)評(píng)：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函數(shù)值，但沒有確定角所在的象限，可按角的象限進(jìn)行分類，做到不漏不重復(fù)． 例 ? 是三角形的內(nèi)角，若 1sin cos 5????，求 tan? 的值． 分析：先求出 sin cos??? 的值，聯(lián)立方程組 求解． 解：由 1sin cos 5????兩邊平方，得 11 2 sin c os 25??? ? ?，即 242 si n c os 025??? ? ? ? ?． 又 ? 是三角形的內(nèi)角， cos 0???， 2? ??? ? ? ． 由 2 49(sin c os ) 25????，又 sin cos 0????，得 7sin cos 5????． 聯(lián)立方程組1sin cos57sin cos5????? ?????? ????，解得4sin53cos5??? ????? ????，得 4tan 3??? ． 點(diǎn)評(píng)：由于 2( s i n c o s ) 1 2 s i n c o s? ? ? ?? ? ? ?，因此式子 sin c