高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題一題多解(一)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)一題多解---23題59解-展示頁
2025-04-05 05:33本頁面
【正文】 的對(duì)數(shù)式比較大小的2種解法 比較與的大小解法一：（作差法） ∵ ，∴，∴．解法二： （分離常數(shù)法，利用換底公式），∵ ∴，∴．第3題 一對(duì)特殊關(guān)系的指數(shù)方程與對(duì)數(shù)方程的兩根和的3種解法設(shè)方程的根為，方程的根為，求.解法一：（觀察法+證明法） 因?yàn)?，所以方程的一個(gè)根，又在上為增函數(shù)，所以在上最多只有一個(gè)零點(diǎn)，所以因?yàn)椋苑匠痰囊粋€(gè)根，在上為增函數(shù)，所以在上最多只有 一個(gè)零點(diǎn)， 所以 所以解法二： （化歸為同種函數(shù)法）顯然上面提供的代數(shù)解法僅僅局限于能夠用觀察法求出方程根的情況，對(duì)于含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式及整式的方程，一般無法用初等方法求出方程的根，因此可以考慮從整體上求出. 此題的特殊性決定了題目的確具有更有一般性的代數(shù)方法，但是要用到指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，很難想到，下面提供給同學(xué)們僅供參考： ① ②①式可以變形為，即為，若設(shè)，則，于是，②式變?yōu)?，與都是方程的根，而這個(gè)方程即，又函數(shù)在上為增函數(shù)，最多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此必有，所以解法三: （利用一對(duì)反函數(shù)圖象）將方程變形為，將方程變形為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)， 的圖像，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線對(duì)稱，而與垂直，設(shè)垂足為C，則直線與，的圖像的交點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，易求得C點(diǎn)坐標(biāo)為，又A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得第4題 一道含有絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)問題的2種解法已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解法一：（去掉絕對(duì)值號(hào)，化為二次函數(shù)問題）原方程即.恒為方程的一個(gè)解，因此問題轉(zhuǎn)化為方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.⑴當(dāng)時(shí)，方程化為：，即 ， ①時(shí) ，方程無解；②當(dāng)時(shí)，ⅰ）當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解. ⅱ）時(shí)，顯然，結(jié)合知原方程有一個(gè)正根.ⅲ）時(shí)，而此時(shí)，結(jié)合知方程無解.⑵當(dāng)時(shí)，方程化為：，即 ， ①時(shí) ，方程無實(shí)數(shù)解；②當(dāng)時(shí)，?。┊?dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解. ⅱ）時(shí)，顯然，結(jié)合知原方程有一個(gè)負(fù)根.ⅲ）時(shí)，方程顯然有兩個(gè)相等的負(fù)根.ⅳ）時(shí)，而此時(shí)，結(jié)合知方程有兩個(gè)不等的負(fù)根.綜上可得，當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.解法二：（利用兩個(gè)函數(shù)圖象法，利用斜率幾何意義法）原方程即.恒為方程的一個(gè)解，因此問題轉(zhuǎn)化為方程（*） 有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解. 顯然，在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)和函數(shù)（）的圖像： 由圖像可知，當(dāng)時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖像僅有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，若的圖像在第二象限的部分與雙曲線相交，則在第二象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，而在第一象限內(nèi)顯然總有一個(gè)交點(diǎn)，因此我們只要利用判別式求出相切時(shí)的值，那么本題的答案就是. 當(dāng)，方程即，由得：因此的取值范圍.第5題 一道自主招生函數(shù)零點(diǎn)問題的2種解法函數(shù)，且沒有實(shí)數(shù)根，問：是否有實(shí)數(shù)根？證明你的結(jié)論．解法一：（沒有實(shí)根問題轉(zhuǎn)化為證明不等式恒成立）是沒有實(shí)數(shù)根．證明：因?yàn)闆]有實(shí)數(shù)根，所以，或， 當(dāng)時(shí)，再以代有，所以， 當(dāng)時(shí)，再以代有，所以，所以是沒有實(shí)數(shù)根．解法二：（用反證法）是沒有實(shí)數(shù)根．證明： 若存在使得，令，則，即有和是的點(diǎn)，顯然這兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以與必有公共點(diǎn)，從而有實(shí)數(shù)解，與已知矛盾．所以是沒有實(shí)數(shù)根．規(guī)律總結(jié)：替換法是一個(gè)重要的方法第6題 分子分母都是二次式的分式型函數(shù)值域問題的2種解法函數(shù)的值域?yàn)?，求?shí)數(shù)．（2005年上海交大報(bào)送推優(yōu)題，是個(gè)老題）解法一：（等價(jià)轉(zhuǎn)化為不等式） 顯然，． 且必與及都相切， ， 解法二：（等價(jià)轉(zhuǎn)化為方程，再轉(zhuǎn)化為不等式）， （1）時(shí)， （2）時(shí)，此不等式解集應(yīng)是，而不等式顯然是一個(gè)一元二次不等式，所以的兩個(gè)解即為1和9，所以，顯然滿足（1）。本文檔一共給出了23道數(shù)式、方程、函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)題目，每道題目至少2種解法，一共有59個(gè)解法。題目有層次，有教材基礎(chǔ)題 ，有高考題和模擬題，自主招生題和競(jìng)賽題，適合不同程度的學(xué)生使用。綜上第7題 一道分式不等式恒成立題的3種解法已知函數(shù)若對(duì)任意恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍。 解法一：（用反證法，用絕對(duì)值定義）若，則（1） +（2）得，由（3）得，矛盾！所以，中至少有一個(gè)不小于解法二：（直接法，用絕對(duì)值不等式性質(zhì)） 由絕對(duì)值不等式性質(zhì)，得，所以，中至少有一個(gè)不小于．第9題 分子分母都是二次式的分式型函數(shù)值域問題的3種解法求的值域解法一：（常數(shù)分離法） ∴ 即∴值域?yàn)閇，1解法二：（反解法） 由∴函數(shù)的值域?yàn)閇，1解法三：（判別式法）由（1）當(dāng)時(shí) ， ， 故舍去（2）當(dāng)
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