高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題一題多解(一)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)一題多解---23題59解-wenkub.com
2025-04-05 05:33 本頁面
【正文】 當時, 的單調(diào)減區(qū)間為,當時, 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,.(Ⅱ)解法一：由(1)知,當時, 在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為.“任意,存在使”等價于“任意某個”,即“的最小值的最小值”.因此,原題等價于在的最小值小于或等于.,對稱軸為,又,①當時, ,解得,與矛盾,舍去.②當時, ,解得,與矛盾,舍去.③當時, ,解得.綜上, 的取值范圍是解法二:由(1)知,當時, 在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為.“任意,存在使”等價于“任意某個”,即“的最小值的最小值”.因此,原題等價于在的最小值小于或等于.即不等式在有解，即在有解，令,在是減函數(shù), ,所以,即的取值范圍是第16題 一道聯(lián)賽題的2種解法 函數(shù)的圖象的對稱中心為．（２０１０年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東賽區(qū)）解法１．利用和的立方公式假設(shè)對稱中心為，把的圖象按向量平移，所得圖象關(guān)于原點對稱，對應(yīng)函數(shù)為奇函數(shù)．于是考慮用和的立方公式把轉(zhuǎn)化為的形式． ．令，則轉(zhuǎn)化為，顯然是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱．因此，的對稱中心坐標滿足方程組即的對稱中心為．解法２．利用導(dǎo)數(shù)注意到的對稱中心為，在過的圖象上任意一點的切線中，以過的切線斜率最小，因此猜想的圖象的對稱中心也是滿足同樣的性質(zhì)．， 當時，最小，此時，所以猜想函數(shù)的圖象的對稱中心為．可以證明的圖象的對稱中心為．一般結(jié)論：設(shè)對于函數(shù)，令得．可以證明的圖象的對稱中心為．證明 設(shè)的圖象上任意一點為，則關(guān)于的對稱點，只要證明也在的圖象上，即證 ?。ǎ保┮驗? ，∴，即（１）式成立．∴的圖象的對稱中心為．第17題 與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題的3種解法近年來，證明不等式經(jīng)常作為高考壓軸題出現(xiàn)，所以在今年臨沂市三月份一輪模擬考試中出現(xiàn)了一個不等式的證明題．原題第一問雖然提供了一個可以利用的函數(shù)，但是仍然有不少考生找不到利用的辦法，因此筆者仔細研究了這一類問題，發(fā)現(xiàn)這種題型，考生不必一定要用第一問提供的函數(shù)，只要利用數(shù)學(xué)歸納法，就可以找到需要的函數(shù)，現(xiàn)在就利用這個例子說明如何利用數(shù)學(xué)歸納法探索構(gòu)造函數(shù)證明不等式．原題：求證：．證法一：（1）當時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立．（2）假設(shè)當時，不等式成立，即，則當時，而，所以，即當時，不等式也成立．由（1）（2）可知，對于任意 ，都有．說明：上面的證明中，可以認為利用了函數(shù)的單調(diào)性，這個證明中利用的函數(shù)比較簡單，所以對于構(gòu)造函數(shù)的過程看的不夠明朗，下面的證法二可以比較清楚的看到構(gòu)造過程．證法二：（1）當時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立．（2）假設(shè)當時，不等式成立，即，則當時 ，只要證明，為了利用上假設(shè)，我們作如下變形，只要證，利用上假設(shè)，只要證即只要證，注意到互為倒數(shù)，并且，即只要證，其中， 令（）,則，所以在上是增函數(shù)， 所以，所以 （）成立，即當時，不等式也成立．由（1）（2）可知，對于任意 ，都有．說明：這類題目，若是利用拆項的辦法還可以構(gòu)造與上面不同的函數(shù)，請看下面的證法三：證法三：要證 ，只要證 ，只要證 ，只要證 ，只要證 ，只要證，其中，令，當時，當時，所以當時，取最大值為，所以（）成立，所以原不等式成立．說明：顯然，上面的證法構(gòu)造思路比較特殊，但是主要利用了對數(shù)的一個基本的運算性質(zhì)，即，事實上證法二也是利用這一公式找到構(gòu)造方法的，可以看出無論多么復(fù)雜的題目，其根仍然是最基本的數(shù)學(xué)公式． 第18題 2017年全國2卷文科第二問的2種解法設(shè)函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，求的取值范圍.解：（1）令得，當時，；當時，；當時，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2） 解法一：當時，設(shè)函數(shù)，因此在單調(diào)遞減，而，故，所以當時，設(shè)函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，而，故當時，取，則，故當時，取，則綜上，的取值范圍是.解法二：我們看到，第二問是利用了放縮法處理的,這個技巧很難掌握，下面我給出這個題目的一般解法，就是利用二次求導(dǎo)法：先構(gòu)造函數(shù),第一次求導(dǎo),第二次求導(dǎo),從第二次求得的導(dǎo)數(shù)開始:因為,所以在上是減函數(shù),所以有 ,我們看到,需要討論與0的關(guān)系,當,即時,所以在上是減函數(shù),所以有 ,符合題意.當,即時,存在,當時,所以在上是增函數(shù),所以,不合題意.綜上,的取值范圍是.你看,用二次求導(dǎo)法多么簡單! 用圖形解釋：當時,如右圖:本題還可以用分離參數(shù)法求解，但是分參后的函數(shù)比較復(fù)雜,但是可以二次求導(dǎo),這個函數(shù)在單調(diào)遞減，需要利用極限知識求它在0的極限，有興趣的同學(xué)可以試一下，一些參加自主招生的同學(xué)學(xué)習了大學(xué)
研究報告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1