高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題一題多解(一)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)一題多解---23題59解-wenkub
2025-04-05 05 本頁(yè)面
【正文】 數(shù)學(xué)中洛必達(dá)法則，可以使用。但對(duì)于一些題目可以減少討論步驟。數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)聯(lián)系縱橫交錯(cuò)，解題思路靈活多變，解題方法途徑眾多，但最終卻能殊途同歸，即使一次性解題合理正確，也未必保證一次解題就是最佳思路與最優(yōu)最簡(jiǎn)捷的解法，不能解完題就此罷手，應(yīng)該進(jìn)一步反思，探求一題多解，開拓思路，勾通知識(shí)，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力；探求一題多變，做到舉一反三，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學(xué)習(xí)，摸索總結(jié)，使自己的解題能力能更上一層樓。且與的最大值，最小值分別為。解法1是基本方法，解法4都緊緊地抓住題設(shè)條件的特點(diǎn)，與相關(guān)知識(shí)聯(lián)系起來，所以具有靈巧簡(jiǎn)捷的優(yōu)點(diǎn)，特別是解法4，形象直觀，值得效仿。 解法一：（用反證法，用絕對(duì)值定義）若，則（1） +（2）得，由（3）得，矛盾！所以，中至少有一個(gè)不小于解法二：（直接法，用絕對(duì)值不等式性質(zhì)） 由絕對(duì)值不等式性質(zhì)，得，所以，中至少有一個(gè)不小于．第9題 分子分母都是二次式的分式型函數(shù)值域問題的3種解法求的值域解法一：（常數(shù)分離法） ∴ 即∴值域?yàn)閇，1解法二：（反解法） 由∴函數(shù)的值域?yàn)閇，1解法三：（判別式法）由（1）當(dāng)時(shí) ， ， 故舍去（2）當(dāng)時(shí)所以函數(shù)的值域?yàn)閇，1第10題 一道條件最值題的4種解法已知，求的最小值。題目有層次，有教材基礎(chǔ)題 ，有高考題和模擬題，自主招生題和競(jìng)賽題，適合不同程度的學(xué)生使用。目錄第1題 真數(shù)相同的對(duì)數(shù)式比較大小的3種解法第2題 真數(shù)底數(shù)都不同的對(duì)數(shù)式比較大小的2種解法第3題 一對(duì)特殊關(guān)系的指數(shù)方程與對(duì)數(shù)方程的兩根和的3種解法第4題 一道含有絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)問題的2種解法第5題 一道自主招生函數(shù)零點(diǎn)問題的2種解法第6題 分子分母都是二次式的分式型函數(shù)值域問題的2種解法第7題 一道分式不等式恒成立題的3種解法第8題 一道絕對(duì)值不等式證明題的2種解法 第9題 分子分母都是二次式的分式型函數(shù)值域問題的3種解法第10題 一道條件最值題的4種解法第11題 一道根式函數(shù)題的6種解法第12題 特值壓縮法求解參數(shù)取值范圍第13題 分離lnx解題 第14題 一道含有l(wèi)nx的高考題的3種解法第15題 一道任意存在問題的2種解法第16題 一道聯(lián)賽題的2種解法第17題 與自然數(shù)有關(guān)的不等式證明問題的3種解法第18題 2017年全國(guó)2卷文科第二問的2種解法第19題 2010年全國(guó)卷二壓軸題3種解法第20題 一道不等式證明題的2種解法第21題 一道二次不等式問題的2種解法第22題 一道二次不等式整數(shù)解問題的2種解法第23題 由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的2種解法 題目及解答第1題 真數(shù)相同的對(duì)數(shù)式比較大小的3種解法比較大?。? 解法一（圖象法）： 利用兩個(gè)函數(shù)和圖象如右圖，得．解法二： （單調(diào)性法）利用一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性 考慮函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)在上是增函數(shù)，所以在上是減函數(shù)，又，所以．解法三：（作差法） 利用函數(shù)的單調(diào)性，直接作差表達(dá)更簡(jiǎn)單因?yàn)?，所以．第2題 真數(shù)底數(shù)都不同的對(duì)數(shù)式比較大小的2種解法 比較與的大小解法一：（作差法） ∵ ，∴，∴．解法二： （分離常數(shù)法，利用換底公式），∵ ∴，∴．第3題 一對(duì)特殊關(guān)系的指數(shù)方程與對(duì)數(shù)方程的兩根和的3種解法設(shè)方程的根為，方程的根為，求.解法一：（觀察法+證明法） 因?yàn)椋苑匠痰囊粋€(gè)根，又在上為增函數(shù)，所以在上最多只有一個(gè)零點(diǎn)，所以因?yàn)?，所以方程的一個(gè)根，在上為增函數(shù)，所以在上最多只有 一個(gè)零點(diǎn)， 所以 所以解法二： （化歸為同種函數(shù)法）顯然上面提供的代數(shù)解法僅僅局限于能夠用觀察法求出方程根的情況，對(duì)于含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式及整式的方程，一般無(wú)法用初等方法求出方程的根，因此可以考慮從整體上求出. 此題的特殊性決定了題目的確具有更有一般性的代數(shù)方法，但是要用到指數(shù)與對(duì)數(shù)的互化，很難想到，下面提供給同學(xué)們僅供參考： ① ②①式可以變形為，即為，若設(shè)，則，于是，②式變?yōu)?，與都是方程的根，而這個(gè)方程即，又函數(shù)在上為增函數(shù)，最多只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，因此必有，所以解法三: （利用一對(duì)反函數(shù)圖象）將方程變形為，將方程變形為，在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別作出函數(shù)， 的圖像，因?yàn)榕c互為反函數(shù)，圖像關(guān)于直線對(duì)稱，而與垂直，設(shè)垂足為C，則直線與，的圖像的交點(diǎn)A，B關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱，易求得C點(diǎn)坐標(biāo)為，又A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得第4題 一道含有絕對(duì)值函數(shù)的零點(diǎn)問題的2種解法已知函數(shù)，方程有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的
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