高中數(shù)學經(jīng)典題一題多解(一)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)一題多解---23題59解(編輯修改稿)
2025-04-05 05:33 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，也未必保證一次解題就是最佳思路與最優(yōu)最簡捷的解法，不能解完題就此罷手，應(yīng)該進一步反思，探求一題多解，開拓思路，勾通知識，掌握規(guī)律，權(quán)衡解法優(yōu)劣，培養(yǎng)學生發(fā)散思維能力；探求一題多變，做到舉一反三，在更高層次更富有創(chuàng)造性地去學習，摸索總結(jié)，使自己的解題能力能更上一層樓。第12題 特值壓縮法求解參數(shù)取值范圍已知函數(shù)＝，＝，若曲線和曲線都過點P(0，2)，且在點P處有相同的切線。（Ⅰ）求，，的值（Ⅱ）若≥－2時，≤，求的取值范圍．解：（Ⅰ）由已知得，而=，=，∴=4，=2，=2，=2；……4分（Ⅱ）解法一：（按部就班分類討論法）由（Ⅰ）知，，設(shè)函數(shù)==（），==，有題設(shè)可得≥0，即，令=0得，=，=－2，（1） 若，則－2＜≤0，∴當時，＜0，當時，＞0，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故在=取最小值， 而==≥0，∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，(2)若，則=，∴當≥－2時，≥0，∴在(－2,+∞)單調(diào)遞增，而=0，∴當≥－2時，≥0，即≤恒成立，(3)若，則==＜0，∴當≥－2時，≤不可能恒成立，綜上所述，的取值范圍為[1,].解法二：特值法先壓縮參數(shù)范圍，可以大大減少討論步驟，但是這是一個特殊方法，不被重視。當然不具備一般性。但對于一些題目可以減少討論步驟。設(shè)函數(shù)==（），由得得，當時，由得，當時，顯然當時，為增函數(shù)，從而，當時，則，所以當時，為減函數(shù)，當時，為增函數(shù)，所以的最小值為，所以求的取值范圍是.第13題 分離解題 已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果當，且時，求的取值范圍．解：（Ⅰ） 由于直線的斜率為，且過點，故即 解得，．（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知，所以 ．考慮函數(shù)，則．(i)設(shè)，由知，當時，．而，故當時，可得；當x（1，+）時，h（x）0，可得 h（x）0從而當x0,且x1時，f（x）（+）0，即f（x）+.（ii）設(shè)0k（1，）時，（k1）（x2 +1）+2x0,故,而h（1）=0，故當x（1，）時，h（x）0，可得h（x）0,與題設(shè)矛盾．（iii）’ （x）0,而h（1）=0，故當x（1，+）時，h（x）0，可得 h（x）0,與題設(shè)矛盾． 綜合得，k的取值范圍為（，0]． 解法二： （這一步的目的是提取因式，分離出，由于的符號不確定，所以分類討論如下）令設(shè)，于是原題等價于 ，若是通分，分子是一個關(guān)于的二次函數(shù)，討論比較復(fù)雜，不如再次提取，分離參數(shù)，這樣會轉(zhuǎn)化為對號函數(shù)，可謂一舉兩得：于是 令，由對號函數(shù)的單調(diào)性，在單調(diào)遞減，當時，從而，所以當，即時，恒成立，從而為增函數(shù)，所以恒成立；當時，所以存在，使得當時，從而為減函數(shù)，所以，不合題意.同理可討論當時，仍然是時，恒成立，從而為增函數(shù)，所以恒成立；當時，所以存在，使得當時，從而為減函數(shù)，所以，不合題意.綜上，．第14題 一道含有l(wèi)nx的高考題的3種解法已知函數(shù).（1）當時，求曲線在處的切線方程； （2）若當時，求的取值范圍. 解：（1）的定義域為.當時，又所以曲線在處的切線方程為（2） 解法一：分離法當時，等價于，設(shè)，因為方程的判別式（i）當且時， ，所以，即，所以在上單調(diào)遞增，因此，即恒成立.（ii）當時，令得的兩根為：.顯然，又因為得，故當時，即，所以在單調(diào)遞減，因此.綜上所述，的取值范圍是解法二：二次求導(dǎo)法因為設(shè)則（1）當時，所以，在是增函數(shù)，所以在上是增函數(shù)，.故成立.（2）當時，令得所以當時，在是減函數(shù)，所以即，所以在上是減函數(shù)，顯然不恒成立.綜上所述：的取值范圍是.解法三：分離參數(shù)法等價于恒成立，很容易證明在單調(diào)遞增，但不存在最小值，故應(yīng)用現(xiàn)有知識無法求解．考慮洛必達法則：，所以，即的取值范圍是.說明：本題函數(shù)比較簡單，可以避開洛必達法則，方法是利用極限定義，但是對于變形要求較高，解析如下：其中，，所以。第15題 一道任意存在問題的2種解法已知函數(shù).(Ⅰ)當時,討論的單調(diào)性。(Ⅱ)設(shè)當時,若對任意,存在使求實數(shù)的取值范圍.（高考題）解:(Ⅰ),其中.(1)當時，由得單調(diào)增區(qū)間為，由得單調(diào)減區(qū)間為.(2)當,令得,①當=1即時, ,的單調(diào)減區(qū)間為.②當時, ,由得單調(diào)增區(qū)間為，由得單調(diào)減區(qū)間為,.③當時, 由得單調(diào)增區(qū)間為，由得單調(diào)減區(qū)間為.綜上,當時，單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為。當時, 的單調(diào)減區(qū)間為,當時, 單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為,.(Ⅱ)解法一：由(1)知,當時, 在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以的最小值為
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