高中數(shù)學(xué)經(jīng)典題一題多解(一)：函數(shù)導(dǎo)數(shù)一題多解---23題59解-資料下載頁(yè)
2025-04-05 05:33本頁(yè)面
【正文】 解 （１）證明：當(dāng)時(shí)，即，即， 令，則．當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，即，所以當(dāng)時(shí)，． (2) 是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，若，則，不成立．對(duì)于時(shí)，有下面的三種解法：解法１ 放縮法 當(dāng)時(shí)，即，令，則，注意到，則，又由（１）知，，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，即．仍由（１）知，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，若時(shí)，，即，不合題意．綜上，的取值范圍是．說(shuō)明 使用放縮法，要把握放縮的尺度，要恰到好處，要求有較高的技巧．本解法中，需要巧妙利用進(jìn)行放縮，達(dá)到了目的．解法2 連續(xù)求導(dǎo)法當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，，當(dāng)時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，即，在上是減函數(shù)，即． 當(dāng)時(shí)，則當(dāng)時(shí)，有， ，在上是增函數(shù)，即，在上是增函數(shù)，即．不合題意．綜上，的取值范圍是．說(shuō)明 ：使用連續(xù)求導(dǎo)法，不能盲目連續(xù)求導(dǎo)，為了減小計(jì)算量，導(dǎo)數(shù)中能夠判斷符號(hào)的因式一般不要參與下一次求導(dǎo)．解法３ 利用羅比達(dá)法則（高等解法）時(shí)，即，即，當(dāng)時(shí)，顯然成立．當(dāng)時(shí)，令，則，令，則，令，則，由（1）知，當(dāng)時(shí)，，，，在上是增函數(shù)．由羅比達(dá)法則，，．綜上，的取值范圍是．說(shuō)明： 解法３一開(kāi)始用的是常見(jiàn)的分離參數(shù)法，但是分離后的新函數(shù)的單調(diào)性較難判斷，只好使用連續(xù)求導(dǎo)法，更讓高中學(xué)生感到困惑的是，證明了單調(diào)遞增之后，極限很難求解，需要利用羅比達(dá)法則，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)在大學(xué)里才能學(xué)到，有興趣的同學(xué)查找資料了解可以了解這個(gè)法則．第20題 一道不等式證明題的2種解法已知正數(shù)滿足求證：分析：用代數(shù)法可以使用分析法，并隨時(shí)利用這個(gè)條件進(jìn)行化簡(jiǎn).證法一：要證只要證即證即證即證注意到即證即證即證即證而故成立.所以原不等式成立.如果用幾何法，開(kāi)始要用消元法，中間利用兩點(diǎn)間距離公式配湊，最后也用到了三角形不等式：證法二：左邊 設(shè)，，則，關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，由對(duì)稱及三角形不等式知，當(dāng)為與軸交點(diǎn)時(shí)取等號(hào).即原不等式成立。第21題 一道二次不等式問(wèn)題的2種解法二次函數(shù)滿足且的最大值為，解不等式.我們先來(lái)看參考答案的解法：設(shè)由得∴由得即∴不等式的解集為仔細(xì)想想，命題者給了我們?nèi)齻€(gè)式子，這三個(gè)式子中右邊都是這說(shuō)明命題人對(duì)于解題的思路一定是由所設(shè)計(jì)的，不是象參考答案中的解題人給出的解法那樣按部就班的解出二次函數(shù)解析式的一般形式，一定有一個(gè)更加合理簡(jiǎn)捷的解法，仔細(xì)思考，我們可以這樣認(rèn)為，命題人在設(shè)計(jì)這個(gè)題目時(shí)可能考慮了圖形，于是我們作出的圖象（圖1）：利用這個(gè)函數(shù)圖象，不寫一個(gè)式子就可以直接寫出答案但是，也許有人認(rèn)為，這種解法僅僅用了一個(gè)圖形，不是缺少步驟嗎？事實(shí)上，我們只要回顧一下一元二次不等式的解法，實(shí)際上就是結(jié)合二次函數(shù)圖象直接寫出解集的，也是很容易辦到的： 由題意可以設(shè)于是就是 ，也就是∴不等式的解集為第22題 一道二次不等式整數(shù)解問(wèn)題的2種解法關(guān)于的不等式的解集中的整數(shù)解恰有3個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________.先看某市編資料中參考答案的解法：易知，原不等式化為：則有∴，即，由知，所以解得.一個(gè)小小的填空題，會(huì)有這么大的計(jì)算量嗎？帶著這樣一個(gè)疑問(wèn)，我們就自然開(kāi)始了探究命題者的命題意圖，尋求著題目的簡(jiǎn)單解法：在同一個(gè)坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象，由圖象可知當(dāng)，且時(shí)，不等式僅有三個(gè)整數(shù)解由，且得，且，解之得.顯然這才是命題者把這個(gè)題目作為一個(gè)小小的填空題的解法.俗話說(shuō)，殺雞何用宰牛刀，許多題目，我們往往用的解法不是命題者當(dāng)初的設(shè)計(jì)的最好解法，沒(méi)有把握命題的意圖，正因?yàn)槿绱?，所用的解法顯得笨拙，花時(shí)間增多，以至于考試兩個(gè)小時(shí)的時(shí)間不夠用.第23題 由函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍的2個(gè)解法若函數(shù)在上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)的取值范圍. 思路點(diǎn)撥: 先求出導(dǎo)函數(shù),再利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系或轉(zhuǎn)化為恒成立問(wèn)題求解. 解法一 分離參數(shù) 由在上單調(diào)遞減知，即在上恒成立, , 故. 綜上可知，的取值范圍是［3,+∞). 解法二 分類討論 當(dāng)時(shí)，,故在上單調(diào)遞增，與在 上單調(diào)遞減不符，舍去. 當(dāng)時(shí)，由得≤x≤0，即的單調(diào)遞減區(qū)間為，與 在上單調(diào)遞減不符，舍去. 當(dāng)時(shí)，由得0≤x≤，即的減區(qū)間為，由在 上單調(diào)遞減得,得a≥3. 綜上可知，的取值范圍是［3,+∞).32
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1