高中數(shù)學(xué)-(32-簡單的三角恒等變換)教案-新人教a版必修4-展示頁
2025-04-03 04:05本頁面
【正文】 的三角函數(shù)種類方面的差異,因此三角恒等變換常常首先尋找式子所包含的各個(gè)角之間的聯(lián)系,并以此為依據(jù)選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式,這是三角式恒等變換的重要特點(diǎn).推進(jìn)新課新知探究提出問題①α與有什么關(guān)系?②如何建立cosα與sin2之間的關(guān)系？③sin2=，cos2=，tan2=這三個(gè)式子有什么共同特點(diǎn)？④通過上面的三個(gè)問題，你能感覺到代數(shù)變換與三角變換有哪些不同嗎?⑤證明(1)sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(αβ)]。(2)sinθ+sinφ=2sin.并觀察這兩個(gè)式子的左右兩邊在結(jié)構(gòu)形式上有何不同？ 活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想關(guān)于余弦的二倍角公式cosα=12sin2,將公式中的α用代替,，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)：=12sin2α中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=12sin2,所以sin2=. ①在倍角公式cos2α=2cos2α1中,以α代替2α,以代替α,即得cosα=2cos21,所以cos2=. ②將①②兩個(gè)等式的左右兩邊分別相除,即得tan2=. ③教師引導(dǎo)學(xué)生觀察上面的①②③式，可讓學(xué)生總結(jié)出下列特點(diǎn)：(1)用單角的三角函數(shù)表示它們的一半即是半角的三角函數(shù)。,cos=177。,并稱之為半角公式(不要求記憶),符號(hào)由所在象限決定. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過這兩種變換共同討論歸納得出：對于三角變換,由于不同的三角函數(shù)式不僅會(huì)有結(jié)構(gòu)形式方面的差異，而且還有所包含的角，三角恒等變換常常先尋找式子所包含的各個(gè)角間的聯(lián)系，并以此為依據(jù)，選擇可以聯(lián)系它們的適當(dāng)公式，. 對于問題⑤：（1）如果從右邊出發(fā)，僅利用和（差）的正弦公式作展開合并，把兩個(gè)三角式結(jié)構(gòu)形式上的不同點(diǎn)作為思考的出發(fā)點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考，哪些公式包含sinαcosβ呢？想到sin(α+β)=sinαcosβ+，sinαcosβ，必須有2個(gè)方程，這就促使學(xué)生考慮還有沒有其他包含sinαcosβ的公式，列出sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ后，解相應(yīng)的以sinαcosβ，cosαsinβ為未知數(shù)的二元一次方程組，就容易得到所需要的結(jié)果.（2）由（1）得到以和的形式表示的積的形式后，解決它的反問題，即用積的形式表示和的形式，在思路和方法上都與（1），令α+β=θ，αβ=φ，則α=，β=,代入(1)式即得(2)式.證明:(1)因?yàn)閟in(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,sin(αβ)=sinαcosβcosαsinβ,將以上兩式的左右兩邊分別相加,得sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβ,即sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(αβ)].(2)由(1),可得sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβ.①設(shè)α+β=θ,αβ=φ,那么α=,β=.把α,β的值代入①,即得sinθ+sinφ=2sincos. 教師給學(xué)生適時(shí)引導(dǎo)，指出這兩個(gè)方程所用到的數(shù)學(xué)思想,可以總結(jié)出在本例的證明過程中用到了換元的思想,如把α+β看作θ,αβ看作φ,從而把包含α,β的三角函數(shù)式變換成θ,把sinαcosβ看作x,cosαsinβ看作y,把等式看作x,y的方程,通過解方程求得x,這就是方程思想的體現(xiàn).討論結(jié)果：①α是的二倍角.②sin2=1cos.③④⑤略(見活動(dòng)）.應(yīng)用示例思路1例1 化簡:. 活動(dòng)：此題考查公式的應(yīng)用，它們的功能各異，本質(zhì)相同，具有對立統(tǒng)一的關(guān)系.解:原式==tan. 點(diǎn)評(píng)：本題是對基本知識(shí)的考查，重在讓學(xué)生理解倍角公式與半角公式的內(nèi)在聯(lián)系.變式訓(xùn)練 化簡:sin50176。).解:原式=sin50176。cosx與sinx177。cos3x的化簡問題之中.解:由sinxcosx=,得(sinxcosx)2=,即12sinxcosx=,∴sinxcosx=.∴sin3xcos3x=(sinxcosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)=(1+)=. 點(diǎn)評(píng)：本題考查的是公式的變形、化簡、求值,注意公式的靈活運(yùn)用和化簡的方法.變式訓(xùn)練 (2007年高考浙江卷,12) 已知sinθ+cosθ=,且≤θ≤,則cos2θ的值是______________.答案:例1 已知. 活動(dòng)：此題可從多個(gè)角度進(jìn)行探究,由于所給的條件等式與所要證明的等式形式一致,只是將A,B的位置互換了,因此應(yīng)從所給的條件等式入手,而條件等式中含有A,B角的正、余弦,已知條件是a2+b2=1的形式,可利用三角代換.證明一:∵,∴cos4Acos2B=sin2Bcos2B=(1cos2B)cos2B,即cos4Acos2B(cos4Asin4A)=cos2Bcos4B.∴cos4A2cos2Acos2B+cos4B
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