高中數(shù)學-(32-簡單的三角恒等變換)教案-新人教a版必修4-閱讀頁
2025-04-03 04:05本頁面
【正文】 ∈Z). 所以y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間為［kπ,kπ+］(k∈Z). 點評:本題主要考查三角函數(shù)公式,三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎知識,考查綜合運用三角函數(shù)有關知識的能力.例1 求函數(shù)y=sin4x+23sinxcosxcos4x的最小正周期和最小值。最小值是2。(2)若x∈[0,],求f(x)的最大、最小值.解：f(x)=cos4x2sinxcosxsin4x=(cos2x+sin2x)(cos2xsin2x)sin2x=cos2xsin2x=cos(2x+),所以，f(x)的最小正周期T==π.(2)因為x∈[0,]，所以2x+∈[，].當2x+=時，cos(2x+)取得最大值,當2x+=π時，cos(2x+)取得最小值1.所以，在[0,]上的最大值為1，最小值為.思路2例1 已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω0,0≤φ≤π)是R上的偶函數(shù),其圖象關于點M(,0)對稱,且在區(qū)間[0,]上是單調(diào)函數(shù),求φ和ω的值. 活動：提醒學生在解此題時,對f(x)是偶函數(shù)這一條件的運用不在問題上,而在對“f(x)的圖象關于M(,0)對稱”這一條件的使用上,:定義在R上的函數(shù)y=f(x)對定義域內(nèi)任意x滿足條件:f(x+a)=2bf(ax),則y=f(x)的圖象關于點(a,b)對稱,，多做些這種類型的變式訓練.解：由f(x)是偶函數(shù),得f(x)=f(x),即sin(ωx+φ)=sin(ωx+φ),所以cosφsinωx=cosφsinωx對任意x都成立.又ω0,所以,得cosφ=0.依題設0≤φ≤π,所以,解得φ=.由f(x)的圖象關于點M對稱,得f(x)=f(+x).取x=0,得f()=f(),所以f()=0.∵f()=sin(+)=cos,∴cos=0.又ω0,得=+kπ,k=0,1,2,….∴ω=(2k+1),k=0,1,2,….當k=0時,ω=,f(x)=sin(x+)在[0,]上是減函數(shù)。當k≥2時,ω≥,f(x)=sin(ωx+)在[0,]上不是單調(diào)函數(shù).所以,綜合得ω=或ω=2. 點評：本題是利用函數(shù)思想進行解題，結合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對函數(shù)進行變換然后進而解決此題.變式訓練 已知如圖2的Rt△ABC中,∠A=90176。若不能,請說明理由.解:在Rt△BAD中,=cos,在Rt△BAC中,=sinC,∴mcos=asinC.圖2同理,ncos=asinB.∴mncoscos=a2sinBsinC.而a2=2mn,∴coscos=2sinBsinC=8sin若推出合理結果,——推證——定論.例2 已知tan(αβ)=，tanβ=，且α,β∈(0,π)，求2αβ的值.解：∵2αβ=2(αβ)+β,tan(αβ)=，∴tan2(αβ)==.從而tan(2αβ)=tan［2(αβ)+β］==.又∵tanα=tan［(αβ)+β］==1.且0απ，∴0α.∴02α.又tanβ=0，且β∈(0,π)，∴βπ，πβ.∴π2αβ0.∴2αβ=. 點評：本題通過變形轉化為已知三角函數(shù)值求角的問題，關鍵在于對角的范圍的討論，注意合理利用不等式的性質(zhì)，必要時，根據(jù)三角函數(shù)值，縮小角的范圍，求角一般都通過三角函數(shù)值來實現(xiàn)，但求該角的哪一種函數(shù)值，往往有一定的規(guī)律，若α∈(0,π)，則求cosα。②，得=，即cosαcos2βsinαsin2β=0，∴cos(α+2β)=0.∵0α，0β，∴0α+2β.∴α+2β=.知能訓練課本本節(jié)練習4.解答:4.(1)y=,遞增區(qū)間為[](k∈Z),最大值為。(3)y=2sin(4x+).最小正周期為,遞增區(qū)間為[](k∈Z),最大值為2.課堂小結 本節(jié)課主要研究了通過三角恒等變形,把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì),達到解決問題的目的,充分體現(xiàn)出生活的數(shù)學和“活”的數(shù)學.作業(yè)課本復習參考題A組112.設計感想，通過三角恒等變形,把形如y=asinx+bcosx的函數(shù)轉化為形如y=Asin(ωx+φ)的函數(shù),從而能順利考查函數(shù)的若干性質(zhì),：分析、研究三角函數(shù)的性質(zhì)，我們必須先通過三角恒等變換，將三角函數(shù)的解析式變形化簡，然后再根據(jù)化簡后的三角函數(shù)，在三角恒等變換過程中，由于消項、約分、合并等原因，函數(shù)的定義域往往會發(fā)生一些變化，在對三角函數(shù)式進行三角恒等變換后，還要確定原三角函數(shù)的定義域，并在這個定義域內(nèi)分析其性質(zhì).，首先是掌握利用向量的數(shù)量積推導出兩角差的余弦公式，并由此導出角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式和積化差、和差化積及半角公式，要結合第一章的三角函數(shù)關系、誘導公式等基礎知識，對三角知識有整體的把握.、差、倍、半角的三角函數(shù)公式、同角關系的運用仍然是重點考查的地方，應該引起足夠重視，特別是對角的范圍的討論，在三角形中的三角變換問題，估計仍然以三角與數(shù)列、不等式、平面向量、解析幾何、三角與解三角形的實際應用為主，題型主要是選擇題、填空題，也可能以解答題形式出現(xiàn)，.
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