高中數(shù)學(xué)-(32-簡單的三角恒等變換)教案-新人教a版必修4-在線瀏覽
2025-04-03 04:05本頁面
【正文】 =0.∴(cos2Acos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.∴cos2B+sin2B=1.證明二:令=sinα,則cos2A=cosBcosα,sin2A=sinBsinα.兩式相加,得1=cosBcosα+sinBsinα,即cos(Bα)=1.∴Bα=2kπ(k∈Z),即B=2kπ+α(k∈Z).∴cosα=cosB,sinα=sinB.∴cos2A=cosBcosα=cos2B,sin2A=sinBsinα=sin2B.∴=cos2B+sin2B=1. 點(diǎn)評:要善于從不同的角度來觀察問題,本例從角與函數(shù)的種類兩方面觀察,利用平方關(guān)系進(jìn)行了合理消元.變式訓(xùn)練 在銳角三角形ABC中,ABC是它的三個內(nèi)角,記S=,求證:S1.證明:∵S=又A+B90176。A90176。.∴tanAtan(90176。tanB1.∴S1.思路2例1 證明=tan(+). 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，對于三角恒等式的證明，可從三個角度進(jìn)行推導(dǎo)：①左邊→右邊；②右邊→左邊；③左邊→中間條件←,三角函數(shù)的種類為正弦，余弦，右邊是半角，三角函數(shù)的種類為正切.解：方法一：從右邊入手，切化弦，得tan(+)=,由左右兩邊的角之間的關(guān)系，想到分子分母同乘以cos+sin,得方法二：從左邊入手，分子分母運(yùn)用二倍角公式的變形，降倍升冪，得由兩邊三角函數(shù)的種類差異，想到弦化切，即分子分母同除以cos,得=tan(+). 點(diǎn)評：本題考查的是半角公式的靈活運(yùn)用，以及恒等式的證明所要注意的步驟與方法.變式訓(xùn)練 已知α,β∈(0,)且滿足:3sin2α+2sin2β=1,3sin2α2sin2β=0,求α+2β的值.解法一:3sin2α+2sin2β=13sin2α=12sin2β,即3sin2α=cos2β, ①3sin2α2sin2β=03sinαcosα=sin2β, ②①2+②2:9sin4α+9sin2αcos2α=1,即9sin2α(sin2α+cos2α)=1,∴sin2α=.∵α∈(0,),∴sinα=.∴sin(α+2β)=sinαcos2β+cosαsin2β=sinα3sinαcosα=3sinα(sin2α+cos2α)=3=1.∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.解法二:3sin2α+2sin2β=1cos2β=12sin2β=3sin2α,3sin2α2sin2β=0sin2β=sin2α=3sinαcosα,∴cos(α+2β)=cosαcos2βsinαsin2β=cosα3sinαcosα=0.∵α,β∈(0,),∴α+2β∈(0,).∴α+2β=.解法三:由已知3sin2α=cos2β,sin2α=sin2β,兩式相除,得tanα=cot2β,∴tanα=tan(2β).∵α∈(0,),∴tanα0.∴tan(2β)0.又∵β∈(0,),∴2β.結(jié)合tan(2β)0,得02β.∴由tanα=tan(2β),得α=2β,即α+2β=.例2 求證: 活動：證明三角恒等式,一般要遵循“由繁到簡”的原則,另外“化弦為切”與“化切為弦”也是在三角式的變換中經(jīng)常使用的方法.證明:證法一:左邊===右邊.∴原式成立.證法二:右邊=1===左邊.∴原式成立. 點(diǎn)評：此題進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生三角恒等式的變形,靈活運(yùn)用三角函數(shù)公式的能力以及邏輯推理能力.變式訓(xùn)練:.分析：運(yùn)用比例的基本性質(zhì),可以發(fā)現(xiàn)原式等價于,此式右邊就是tan2θ.證明:原等式等價于.而上式左邊==tan2右邊.∴上式成立,即原等式得證.=msin(α+β)cosα=(1+m)BC=(cosαsinα)sinα=sinαcosαsin2α.求這種y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x函數(shù)的最值，應(yīng)先降冪，再利用公式化成Asin(ωx+φ)型的三角函數(shù)求最值.教師引導(dǎo)學(xué)生思考：要求當(dāng)角α取何值時,矩形ABCD的面積S最大,可分兩步進(jìn)行:圖1(1)找出S與α之間的函數(shù)關(guān)系。=,所以O(shè)A=DA=BC=sinα.所以AB=OBOA=cosαsinα.設(shè)矩形ABCD的面積為S,則S=AB(2)若函數(shù)y=f(x)的圖象與直線y=1的兩個相鄰交點(diǎn)間的距離為,求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)增區(qū)間.解:(1)f(x)=sinωx+cosωx+sinωxcosωx(cosωx+1)=2(sinωxcosωx)1=2sin(ωx)1.由1≤sin(ωx)≤1,得3≤2sin(ωx)1≤1,可知函數(shù)f(x)的值域?yàn)椋?,1］.(2)由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì),可知y=f(x)的周期為π,又由ω0,得=π,即得ω=2.于是有f(x)=2sin(2x)1,再由2kπ≤2x≤2kπ+(k∈Z),解得kπ≤x≤kπ+(k
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